CURS 4 Probab TEMA - probleme PDF

Preview

Summary

Warning: TT: undefined function: 32ȘIRURI DE VARIABILE ALEATOARELEGEA NUMERELOR MARITEOREMA LIMITĂ CENTRALĂAtenție!!! La fiecare problemă încercați să folosiți toate metodele învățate !!!  Fie  0 0 0 0.0 0...

Description

ȘIRURIDEVARIABILEALEATOARE LEGEANUMERELORMARI TEOREMALIMITĂCENTRALĂ  Atenție!!! Lafiecareproblemăîncercațisăfolosițitoatemetodeleînvățate!!!  

 0.2 0.3 0.4 0.5  1) Fie X    . Să se estimeze probabilitatea P  0.1 0.2 0.3 0.4 unde m  M  X  . Rezolvare:FolosiminegalitatealuiCebâșevînformaP

 X  m  0.2 , 2

 X  m      1  

2

,cu

  0.2 .Pentruacalculadispersia 2  D 2  X   M  X 2    M  X  ,calculămmai 2



întâi: M  X   0.4 , M  X 



2

 0.16 și

 0.2 2 0.3 2 0.4 2 0.5 2   0.04 0.09 0.16 0.25 2 X     ,deci M  X   0.17 .  0.1 0.2 0.3 0.4   0.1 0.2 0.3 0.4  2 2 Înconcluzie,  D  X   0.17  0.16  0.01șidininegalitatealuiCebâșevobținem: 2

P

 X  m  0.02   0.9975 



2) Se aruncă 2 monede, simultan, de 800 ori. Determinați probabilitatea de apariție a ”stemei”pefiecaremonedădeunnumărdeoricuprinsîntre150și250. 

Rezolvare:Considerămevenimentul A =”aparestemapefiecaremonedă”,laoaruncare

1 1 1   . Considerăm o variabilă aleatoare 2 2 4 k   1 binomială: X   k k n k  , cu n  800 , k  1,800  și p  . Media variabilei 4 Cn p q  1 2 binomialeeste M  X   np  800   200 iardispersia   np 1  p  150 .Folosim 4 simultană de monede, p  P  A  

2  , unde m  M  X  . Trebuie 2 determinată valoarea lui  : X  m    se scrie: m    X    m , adică 200    X    200 , dar din enunț avem cerința: 150  X  250, de unde obținem  200    150 , cu soluția   50 . Revenind în inegalitatea lui Cebâșev, sistemul:   200    250

inegalitatea lui Cebâșev: P   X  m     1 

obținem: P 150  X  250  1

150 ,adică P150  X  250  0.94 . 502 1



3) Săsedeterminenumărulminimdearuncărialeuneimonedecaresăasigurecelpuțin cuoprobabilitatede0.9,cadiferențadintrefrecvențarelativăobținutășiprobabilitatea deaparițieauneifețesăfiemaimicăînvaloareabsolutădecât0.2.Careesteintervalul devariațiealfrecvențeiabsolute(număruldecazurifavorabile)înacestcaz? 

Rezolvare:Considerămevenimentul A =”aparefațacubanul”, n =număruldearuncăriși

k . Aplicăm Legea Numerelor Mari (forma n k  generală) pentru variabile binomiale și avem: P   p     1 , unde p  0.5  n 

notăm frecvența de apariție cu f n  A  

(probabilitateateoreticădeaparițieauneia dintrefețeîntr‐oaruncare,de exemplufața cubanul),   0.2 și 1    0.9 ,adică   0.1.Determinămvaloarea minimăa lui n , notată n0  ,   , folosind inegalitatea: n0  ,   

n0   ,   

1 4 2

, de unde obținem:

1 , adică n0   ,    62.5 , deci  n  63 .  Concluzia este că un 4  0.1  0.04

număr de cel puțin 63 de aruncări ale monedei asigură probabilitatea





P f 63  A   0.5  0.2  0.9 . Putemdeterminaacumșiintervalulîncarevariazăfrecvențaabsolutăastfelîncâtcerința săfiesatisfăcută. Frecvența relativă este f n  A 

k k , deci f63  A  0.5  0.2  devine:  0.5  0.2 , n 63

k  0.5 0.2 , echivalent cu 18  k  44 . Din 63 de aruncări ale 63 monedei, numărul de cazuri favorabile evenimentului A  variază între 18 și 44, cu o

adică 0.5 0.2 

probabilitatedeapartenențălaacestintervalde0.9.  4) Folosind Teorema Moivre‐Laplace, estimați probabilitatea ca din 100 de aruncări ale uneimonedesăapară”banul”deunnumărdeoricuprinsîntre40și60. 

Rezolvare: Considerăm n  100  variabile aleatoare identic repartizate binomial:

 1 0 Xk    ,cu P  X k  1  p  0.5 .Mediavariabileibinomialeeste M  X k   p . p q 100   Avemdecalculat P  a   X k  b  pentru a  40 și b  60 .AplicămTeoremaMoivre‐ k 1   n  b  n p   a  n p     Laplace în forma: lim P  a   Xk  b        și obținem    n    k 1  npq   npq  100   lim P  a   X k  b    2    2  .Dintabelulrepartițieinormalestandard(Anexa n  k 1   3, Tabelul A) obținem   2   0.9772  iar   2   1    2   0.0228  (am folosit 2 

proprietatea

de

simetrie

a

funcției

lui

Laplace).

În

final

obținem:

  P  a   X k  b   0.9544 . k 1   100



5) Timpul mediu de răspuns al unui calculator este de 15 secunde pentru o anumită operație,cuabatereastandardde3secunde.Estimațiprobabilitateacatimpulderăspuns săseabatăcumaipuținde5secundefațădemedie. Rezolvare: Aplicăm inegalitatea lui Cebâșev pentru m 15,   3  și   5  și obținem: 2

P

 X  15  5  1 35 ,adicăprobabilitateacerutăestemaimarede0.64. 2



6) Într‐o școală se află 100 de unități electrice care funcționează independent. Probabilitateadeconectăriiuneiunitățiîntr‐unintervaldetimpdateste0.05.Determinați probabilitateacaînacestintervaldetimpsăfiedeconectate: a) numaipuținde5unități; b) numaimultde5unități; c) între5și10unități. Rezolvare: Se folosește Teorema Moivre‐Laplace. Avem un șir de 100 de variabile

0   1  , cu p  0.05  din  0.05 0.95  2 enunț; media este m  p  0.05  , dispersia   pq  0.0475 și n  100 . Formula n n  b n p   a  n p      folosită: P  a   X k  b     .Notăm  X k  X .    npq   npq  k 1 k 1        100  5   5  5  a) P  X  5  P  5  X  100            43.59     0   0.5 ;  4.75   4.75   5 5  b) P  X  5        0   0.5 ;  4.75   10 5   5  5  c) P  5  X  10           2.29     0   0.489 ;  4.75   4.75  aleatoare independente, repartizate Bernoulli: X k  



7) Seștiecă5%dintreproduseleunuianumitlotsuntdefecte.Careesteprobabilitateaca dintr‐oselecțiede200deproduse,celpuțin10%săfiedefecte? Rezolvare: Se folosește Teorema Moivre‐Laplace. Avem un șir de 200 de variabile

0   1  , cu p  0.05  din  0.05 0.95 

aleatoare independente, repartizate Bernoulli: X k  

enunț(codul1estepentru”defecte”iar5%transformatînprobabilitateînseamnă0.05); 2 media este m  p  0.05  , dispersia   pq  0.0475  și n  200 .  Notăm

3

n

X

k

X .

k1

 200  10   20  10  P 20  X  200          58, 4   3, 244   0.0006   9.5   9.5  8) Ofabricăfolosește2tipurideaparate(lenotămAșiB).Dupăuntimp,tipulAtrebuie reparatcuprobabilitatea1/5iarunaparatdetipulBcuprobabilitatea2/5.Numărultotal deaparatetipAeste1000iarnumărultotaldeaparatedetipBeste1500. a) Care este probabilitatea ca la un moment dat numărul de aparate care trebuie reparate(dinambeletipuri)esteîntre750și850? b) Determinați,cuoprobabilitatede0.99,numărulmaximdeaparatecareatrebui reparatelaunmomentdat. Rezolvare:SefoloseșteTeoremaMoivre‐Laplace.Avemdouășiruridevariabilealeatoare

1 independente, repartizate Bernoulli: X k   1  5

0 1 4  , cu pA   din enunț (codul 1 este 5  5 4 1  și pentru ”reparații”);  media este M  X k   m  p A   , dispersia  2  p Aq A  25 5 nA  1000 ..Aldoileașirdevariabilealeatoare,independente,repartizateBernoullieste 1 0  2 Yk   2 3  , cu pB   din enunț (codul 1 este pentru ”reparații”);  media este   5 5 5  2 6 și n B  1500 . M Yk   m  pB  ,dispersia  2  pB qB  5 25 Fie Z  X  Y variabila aleatoarepentru numărul de aparate caretrebuie reparate,din 1000  1500  1 2 ambele tipuri. M  Z   M  X k   M  Yk   1000   1500   800  și 5 5  k 1   k 1 



1000

1500



4 5 1500   520  25 25 k 1 k 1  850  800   750  800 2 2.19 1 0.912 a) P 750  Z  850            22.8   22.8  D 2 Z  



D2X k 

D

2

Yk   1000 

b) Notăm numărul maxim de aparate care ar trebui reparate la un moment dat cux .

x  800  x  800   0.99 , adică  2.33 , de unde obținem  22.8  22.8 

Avem: P Z  x   

x  853 .

4 ...