Curva cicloide y su relacion con el calculo PDF

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iNVESTIGACION SOBRE LA CURVA CICLOIDE Y SU RELACION CON EL CALCULO ...

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Proyecto de Calculo II

Tema: La Curva Cicloide

Abril, 2018 San Pedro

Proyecto Calculo II Cicloide

Tabla de contenido

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Introducción ..................................................................................................................... 3

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Objetivo General............................................................................................................. 5

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Objetivos Específicos .................................................................................................... 5

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Metodología del proyecto ............................................Error! Bookmark not defined.

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Marco Teórico: ..................................................................Error! Bookmark not defined.

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Averiguar cuáles son las funciones de una cicloide en el campo de la Ingeniería ......................................................................................................................... 12

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Solución de problemas de cicloides en la vida real ........................................ 15

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Conclusión:..........................................................................Error! Bookmark not defined.

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Bibliografía ...................................................................................................................... 19

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Proyecto Calculo II Cicloide

1. INTRODUCCION En este proyecto de investigación lo que buscaremos es una compresión clara de la aplicación de este tema en la Ingeniería en general como tal, para ello necesitamos aplicar métodos matemáticos los cuales también aplicamos en nuestro curso de BMAT-02 Cálculo 2 que son las funciones integrales. Las cuales nos sirven para calcular las cicloides generadas por una circunferencia. El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas como un segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz. La cicloide es, sin lugar a duda, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este proyecto. ¿Qué es una cicloide? La cicloide es la curva trazada por un punto de una circunferencia (llamada circunferencia generatriz) cuando ésta gira sobre una línea (llamada recta directriz) sin deslizarse por ella. El gran interés suscitado por esta curva proviene de las curiosas características que posee. La cicloide tiene dos propiedades realmente interesantes y que en cierto modo atentan contra nuestra intuición. Concretamente son su condición de braquistócrona y su condición de tautócrona. Vamos a intentar explicar qué significan estas dos propiedades en este proyecto.

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TEMA DEL PROYECTO El tema que vamos a tratar se llama cicloide. Tiene vital importancia en la Ingeniería ya que con ella se fundamentan muchas de las necesidades como en el campo de la construcción. Debido a que nos ayuda a encontrar el punto de contacto de la circunferencia con la recta en el instante inicial del comienzo del rodamiento. También podemos realizar análisis del radio a que se apoya sobre el eje de abscisas en el origen. Todo esto lo podemos demostrar mediante fórmulas matemáticas las cuales son las que investigaremos a fondo para poder aplicarlo de una manera demostrativa con un problema matemático.

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2. Objetivo General •

Identificar las aplicaciones principales del tema de la curva Cicloide en el campo de la Ingeniería para su desarrollo en la vida cotidiana.

3. Objetivos Específicos •

Conocer qué es una cicloide y en que ámbitos de la ingeniería se aplica.

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Saber como hacer una curva braquistócrona y saber como hallar el área y la longitud de la cicloide.

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Averiguar cuáles son las funciones de una cicloide en el campo de la Ingeniería

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Aplicar los conocimientos adquiridos en la solución de problemas en la vida real.

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4. METODOLOGIA DEL PROYECTO La presente investigación describe y analiza la cicloide. De acuerdo con los resultados obtenidos se presentan métodos de dicha utilización de fórmulas matemáticas. Por lo tanto, dicha investigación se refiere al tipo descriptivo. La misma es la recolección y tabulación de datos, se ocupa del análisis e interpretación de aquellos que han sido reunidos con un propósito definido y la comprensión de los temas seleccionados. También se puede mencionar que la investigación descriptiva no se limita solamente a recopilar y tabular datos, sino que es necesario, un verdadero análisis e interpretación de lo que se describe. Para ello demostraremos varios ejemplos para la mayor comprensión de los temas.

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5. MARCO TEORICO ¿Cómo es una cicloide o curva braquistócrona?

La Cicloide puede ser definida como la curva plana que es descrita físicamente por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda sobre una recta horizontal.

La cicloide es la curva que genera un punto de una circunferencia que rueda sobre una línea recta, es decir, lo que dibujaría un rotulador pegado a la rueda de tu bicicleta, mientras te das un paseo pegado a la pared. Una forma sencilla de fabricar una curva braquistócrona: Se tienen unos ejes de coordenadas sobre la superficie donde se coloca una rueda y coincidente con la rueda se coloca el eje x y de manera perpendicular a la rueda se encontrará el eje Y por el punto que se señala en la rueda cuando se encuentre en el suelo Luego hacemos que la rueda ruede un poco y vemos que donde se va a detener va a ser en el punto P de la circunferencia. Cuando el centro del círculo C pasa a C, el punto P ha pasado a P. Este es el punto de la ecuación que se necesita. Las coordenadas son (X;Y). Como la rueda no resbala en el suelo, lo que sabemos es que la longitud del arco LP sobre la circunferencia es la misma a la longitud del segmento rectilíneo OL (OL=LP). Luego si llamamos al ángulo LC´P´medido en 7

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radianes (resulta OL=LP´=ra). Por otra parte, las coordenadas de P´en nuestro sistema son:

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x = OL - P´S = ra - rsena

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y = SL = C´L - C´S = r - rcosa

Así obtenemos la ecuación en coordenadas paramétricas de la cicloide •

x = ra - rsena

•

y= r - rcosa

La cicloide tiene propiedades geométricas muy interesantes:

Si tenemos dos puntos A y B, a diferente altura, ¿cuál es la forma más rápida de conectarlos? Es decir, si los unimos mediante una rampa y tiramos por ella una pelotita, ¿que forma debe tener para que tarde el menor tiempo posible en bajar por su propio peso? Una primera respuesta intuitiva es que la rampa sea una línea recta:

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Imagen tomada de Cycloids and Paths Sin embargo, nada más lejos de la realidad. Aunque la línea recta es la distancia más corta entre dos puntos, no es la más rápida. La pelota llegará antes si construimos un tobogán de la siguiente forma. De hecho, con ese tobogán no sólo llega antes que con una línea recta, sino antes que con cualquier otra curva.

Imagen tomada de Cycloids and Paths

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¿Cuál será su longitud? La longitud de un segmento ds en el plano x,y es ds=(dx2 +dy2)1/2, la longitud total es la suma de todos los ds, luego dx = r(1-cosa)da; dy = rsena. da

Haciendo uso de la identidad trigonométrica:

Resulta que la longitud de la cicloide es 8 veces la del radio de la rueda que la genera. ¿Cuál será el área bajo la cicloide? Se halla de modo sencillo una vez que tenemos la ecuación de la curva:

El área bajo la cicloide es tres veces la del círculo que engendra la curva. Por tanto las áreas de las tres regiones señaladas en la figura, marcadas con los números 1,2 y 3 son iguales:

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6. Averiguar cuáles son las funciones de una cicloide en el campo de la Ingeniería Construcción de medio-tubo La aplicación de cicloide en un medio-tubo tiene que ver con la construcción en sí. Un medio tubo tiene la característica visual para poder comprender que es una cicloide. Por esta razón este tema de investigación tiene relación directa. En la ingeniería civil se aplica en la parte estructural, en un plano constructivo se tiene que colocar los cálculos a escala real como quedaría una propuesta de construcción, se tiene que calcular cuán alto, ancho y largo queremos tener un medio- tubo.

Imagen tomada de soloplanos.com

Construcción de un puente 12

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La aplicación de una cicloide en un puente tiene que ver con su arco estructural. En 1599, Galileo demostró que por medio de sus cálculos matemáticos un trabajó con la cicloide y mostró que su área es casi tres veces la de un círculo que la genera y mencionó el arco creado por una curva plana descrita por un punto de una circunferencia cuando rueda está sobre una línea recta debería ser apropiada para la construcción de puentes.

Imagen tomada de http://gal-jones.com Como muestra la imagen, se puede apreciar que en un puente la cicloide se aplica ya su distribución de la fuerza gravitación que tiene que ver con la masa del puente hace que este tipo de construcción sea apropiada.

Construcción de ferroviarios La aplicación de la cicloide en un ferroviario es la curva que se construye en una vía. Cuando se está construyendo una vía de tren se tiene que tomar en cuenta el entorno donde se van a colar, como el suelo, la altitud, el espacio, el ambiente, el peso apropiado para el tipo de suelo, se necesita tomar en cuenta todas estas variables, pero en la mayoría de las vías construidas no se hacen línea recta ni en el mismo nivel de suelo. Por eso se tienen que crea curvas para movilizar o poder llegar a un punto en específico. 13

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Lo principal que se necesita es construir vías que se pueda transportar en el menor tiempo posible (con la mayor velocidad) y con la máxima seguridad. El radio de la curva tiene que ver con la velocidad con la que puede pasar la máquina por ella, porque si se somete a mucha velocidad a una curva de un radio pequeño esta se descarrila. Por esta razón existe una relación directa la velocidad con el radio. Menos radio menos velocidad y si aplicamos mucha velocidad el radio tiene que ser mayor.

Imagen tomada de http://www.railfanguides.us Como se puede mostrar en esta imagen que esta vía del tren la cicloide de se aplica en la construcción para evitar un descarrilamiento del tren que pasaría sobre la vía.

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7. Solución de problemas de cicloides en la vida real Longitud de arco • Ejercicio número 1 Calcular la longitud de arco de la parábola:

de (0,0) a (1,1)

Aplica la ecuación

Se evalúa los puntos

Finalmente: Unidades •

Ejercicio número 2

Encontrar la longitud de arco de la curva

Desde

hasta

Unidades 15

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Área bajo la curva •

Ejercicio número 1

Calcule el área de la superficie generada al hacer girar un arco de la cicloide. En torno al eje x.

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Ejercicio número 2

Encuentre el área de superficie de de los puntos Sabemos que se trata de un círculo y que sus ecuaciones en paramétricas son x=3cos (t), y=3sin (t) Para saber de donde a donde varía t utilizaremos una de las ecuaciones para despejar t de la siguiente forma

Ahora necesitamos averiguar

Entonces ahora ya podemos sustituir en nuestra ecuación para el área de superficie y obtenemos

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8. CONCLUSION En el desarrollo de esta investigación se logra mencionar que se analizó lo que es un cicloide y sus funciones, definiendo las para poder así comprender la utilización en las carreras de ingeniería de cada uno de los estudiantes. Se investigó para alcanzar exponer la importancia del tema, basándonos en ejemplos que se dan en la vida cotidiana de las personas con el fin de poder comprender mejor sobre el.

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9. Bibliografía •

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Rúbrica de evaluación: 1. Curso: BMAT-02 Cálculo2 3. Integrantes 4. Calificación Valor Portada

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Tabla de Contenido

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Tema del Proyecto

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Problema de Investigación

10

Objetivos

15

Metodología

10

Desarrollo de Objetivos

30

Conclusiones

20

Bibliografía

10

Anexos

0

Total

100

Obtenido

Nota: Aunque hayan apartados que no tiene valor porcentual como la portada y el tema del proyecto, se establece que ambas secciones son obligatorias presentar en el documento 20

Proyecto Calculo II Cicloide

Observaciones: __________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ____________________________________________________________

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