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operaciones con vectores...

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UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS FISICA – CONSULTA N5

1. MARCO TEORICO:

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres y se escogen como representantes dos vectores tales que el extremode uno coincida con el origen del otro vector.

Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectoresobteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores. Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Propiedades de la suma de vectores 1 Asociativa

+(

+

)=(

+

2 Conmutativa

+

=

+

3 Elemento neutro

+

=

4 Elemento opuesto

+ (−

)=

Resta de vectores

)+

Para restar dos vectores libres

y

se suma

con el opuesto de

.

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Ejemplo:

Vector negativo Un vector negativo se define como un vector que al sumarse a un vector original genera una suma 0.

Un vector negativo tiene el mismo origen que su vector positivo.

¿Fácil no?, tan solo invertir los signos, ¿cierto?

La respuesta es sí y no. Si para los vectores que tienen su origen en el punto (0 : 0), pero ¿qué sucede con un vector que dependa de otro? Observemos el siguiente ejemplo.

El vector negativo de [B] no se obtiene tan simplemente con volver negativo sus puntos, de hecho si lo hacemos, obtenemos un vector completamente diferente.

La mejor forma de obtener los nuevos puntos es conceptualizando. Los nuevos puntos de vector negativo a quien llamaremos [C] dependen de, su origen que está determinado por la punta de [A] y por la magnitud de [B]. Por lo tanto escribiremos esto.

El punto [Cx] será igual a la distancia que ya tiene y que obtenemos de [Ax] más la magnitud del vector [Bx], debido a que la magnitud es un escalar “no importa su sentido” nos sirve para encontrar la distancia entre el punto [Ax] y el punto [Cx].

Ahora, la magnitud en un solo eje es extremadamente simple de determinar, simplemente es el punto final menos el punto de inicio.

Por lo tanto reemplazamos la magnitud por la resta que ya conocemos.

Finalmente solo reorganizamos y listo.

Vector nulo Se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como

ó

.

En un espacio euclídeo, el vector nulo es el vector con todas sus componentes nulas; es decir, si el espacio es un "espacio euclídeo n-dimensional" (denotado

),

tiene sus n componentes nulas y se puede representar como

(0, 0,..., 0) en cualquier base generadora del mencionado espacio. Su representación gráfica es un punto, una entidad sin dimensiones. El vector nulo tiene módulo cero y cualquier dirección (o ninguna) porque, por definición, es ortogonal a cualquier otro vector de su espacio.

Levógiro

cuando gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, en contraposición al sentido dextrógiro. El concepto tambien se conoce como levorotatorio y se puede usar en los siguiente contextos: En química, se denomina así a la sustancia que tiene la propiedad de hacer girar el plano de la luz polarizada hacia la izquierda, en contraposición a las sustancias dextrógiras. Véase Isomería, enantiómero y quiralidad. En bioquímica, isómero óptico cuyo carbono asimétrico se encuentra desplazado a derechas, y es imagen especular del mismo isomero levógiro. En matemáticas, el sistema de referencia que cumple laregla de la mano izquierda. En biología, el sentido de giro del remolino del pelo cuando los cabellos están colocados en el sentido contrario a las agujas del reloj. En armamento y tiro: En revólver, el sentido de giro del cilindro cuando se monta el martillo o se dispara en doble acción y este gira en sentido contrario a las agujas del reloj.En balística, el sentido de giro de las estrías del ánima del cañón, que hace que al iniciarse el disparo el proyectil avance y rote sobre si mismo en sentido contrario a las agujas del reloj. Ver rama de balística interior.Sinónimo de zurdo. Antonimo de diestro

Dextrógiro

cuando gira en el mismo sentido que las agujas del reloj en contraposición al sentido levógiro. El concepto tambien se conoce como dextrorotatorio y se puede usar en los siguiente contextos: En química, se denomina así a la sustancia que tiene la propiedad de hacer girar el plano de la luz polarizada hacia la derecha, en contraposición a las sustancias levógiras. Véase Isomería, enantiómero y quiralidad. En bioquímica, isómero óptico cuyo carbono asimétrico se encuentra desplazado a la izquierda, y es la imagen especular del mismo isómero dextrógiro. En matemáticas, el sistema de referencia que cumple la regla de la mano derecha. En biología: En zoología, el sentido de giro del remolino del pelo cuando los cabellos están colocados en el sentido de las agujas del reloj.En botánica se refiere a la dirección de derecha a izquierda, como las agujas del reloj, de los bejucos y zarcillos de algunas plantas rastreras y trepadoras o enredaderas.En armamento y tiro: En revólver, el sentido de giro del cilindro cuando se monta el martillo o se dispara en doble acción y este gira en el mismo sentido que las agujas del reloj.En balística, el sentido de giro de las estrías del ánima del cañón, que hace que al iniciarse el disparo el proyectil avance y rote sobre si mismo en el sentido de las agujas del reloj. Ver rama de balística interior.Sinónimo de diestro. Antónimo de zurdo.

Espacio euclídeo

es un tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo y el espacio tridimensionalde la geometría euclidiana son casos especiales de espacios euclídeos de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. El concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a más dimensiones. Un espacio euclídeo es un espacio vectorial completo dotado de un producto interno (lo cual lo convierte además en un espacio normado, un espacio métrico y una variedad riemanniana al mismo tiempo).

Un conjunto de vectores es ortonormal si es a la vez un conjunto ortogonal y la norma de cada uno de sus vectores es igual a 1. Esta definición sólo tiene sentido si los vectores pertenecen a un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno, como sucede en los espacios euclídeos En donde el producto interno puede definirse en términos de distancias y proyecciones perpendiculares de vectores.

Se pueden dar varios ejemplos: 

En el espacio euclídeo tridimensional

el conjunto S =

{e1, e2, e3} formado por los tres vectores e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) y e3=(0,0,1) es un conjunto ortonormal. 

En espacios vectoriales más abstractos donde puedan definirse más de un producto interno, un conjunto podría ser ortonormal respecto al primer producto interno, pero no ser ortonormal respecto al segundo producto interno.



En mecánica cuántica un estado puro de un sistema es una combinación lineal de un conjunto no finito de vectores ortonormales....