đề Toán cao cấp nhóm 2 PDF

Preview

Summary

HỌC VIỆN TÀI CHÍNHKHOA NGÂN HÀNG VÀ BẢO HIỂMBài kiểm tra điều kiệnMôn : Toán cao cấp 1Lớp : CQ59/10.Giảng viên : Đào Trọng QuyếtNhóm thực hiện : Nhóm 2Lê Thị Kỳ DuyênĐào Thị Vân AnhTrịnh Nguyễn Khánh LinhNguyễn Thị VuiHoàng Bảo NgọcNguyễn Phương LinhHoàng Thu HuyềnTrần Linh HươngNgô Phúc KhangNgô Th...

Description

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA NGÂN HÀNG VÀ BẢO HIỂM

Bài kiểm tra điều kiện Môn: Toán cao cấp 1 Lớp: CQ59/10.21 Giảng viên: Đào Trọng Quyết Nhóm thực hiện: Nhóm 2 Lê Thị Kỳ Duyên Đào Thị Vân Anh Trịnh Nguyễn Khánh Linh Nguyễn Thị Vui Hoàng Bảo Ngọc Nguyễn Phương Linh Hoàng Thu Huyền Trần Linh Hương Ngô Phúc Khang Ngô Thị Thảo Đỗ Thị Thu Trang

1

4 Bài 1: Trong không gian  cho hệ véc tơ:  A1  1,3,0,  1 ; A2  1, 2,  1, 2 ; A3   3,1,1,2 

Lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau: a)  1  2, 2 1, 3 3

b)  1  1, 2  3, 3 2

Trả lời : a.Theo định nghĩa,ứng với  1  2, 2 1,  3 3 ta có tổ hợp:   1  1    3   6          1 3 2 1  1 A1  2 A2  3 A3  2   1   3     0    1  1   2            1  2   2   10 

b.Theo định nghĩa, ứng vớ 1  1, 2  3, 3 2 ta có tổ hợp:   1   3  1 A1   2 A2   3 A3  1   0      1

1    3   8        7 2  1   2    3   1 1   5        2   2    1

Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính vecto X qua hệ vecto 

A1   1,0,2  ; A2  2,  1,0  ; A3  1,1,3 ; X   3,1,  1

A1, A2 , A3

với:

.

Trả lời: Ta có : Theo định nghĩa ta cần tìm các số  1 , 2 ,  3 sao cho :   3   1 2   1            1   1  0   2   1  3  1    1 2  0   3          1  2 2   3  3    2 3 1 2   3  1  1 3  1 0  4    2  3   1  3  3

2

Vậy ta có biểu thị tuyến tính :

X 

4 1 A2  A3 3 3

Bài 3. Sử dụng định nghĩa, xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ  A1  1,  1,2 ; A2  3,0,1 ; A3  2,  1,4 Trả lời : Theo định nghĩa , ta cần biện luận sự tồn tại của 1 ,  2 . 3 để có đẳng thức vectơ:

1 A1   2 2  3 A3  03 1   3 2         1   1   2  0   3   1 2   1 4        1  3 2  2 3  0     1   3 0 2   a  4  0 3  1 2  1  2  3 0

 0    0  0  

Dễ thấy rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thường (0, 0, 0) Nghĩa là đẳng thức vecto trên chỉ xảy ra với Như vậy , theo định nghĩa 

A1, A2 , A3

1 2 3 0

là hệ độc lập tuyến tính.

Bài 4. Xét xem hệ véc tơ sau có là cơ sở của không gian tương ứng không?



A1  0,  1,1 ; A2  2,1,  1 ; A3  4,  1,1 

3

không gian  .

Trả lời : 3 +) Hệ có 3 véc tơ bằng số chiều của 

Xét đẳng thức: k1 A1  k2 A2  k3 A3 03 0   2  4   0          k1  1 k 2 1  k 3  1  0         1  1   1   0          2k 2  4k 3 0     k 1  k 2  k 3 0  k  k  k 0  1 2 3

3

Chọn

k 2 1  k 3  12  k1 3 2

 Hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính 3  Hệ véc tơ ban đầu không phải là cơ sở của không gian 

Bài 5. Hãy chỉ ra một cơ sở và tìm biểu diễn tuyến tính của các véc tơ còn lại qua cơ sở của hệ véc tơ:

 A  1,  3 ; A  5, 2 ; A   1,0 ; A   2,1  1

2

3

4

4

Trả lời : Lập ma trận A với mỗi cột là hệ vecto của hệ đã cho :

 1 5  1  2 A    3 2 0 1  Thực hiện khử toàn phần ma trận A ta được: 2 9   1  5  1  2   1 5  1  2   1 0 17 17  B A        3 2 0 1   0 17   3  5   0 1  317  517  Ta thấy hai cột đầu của ma trận B là độc lập tuyến tính Vậy 

A1 , A2

cũng độc lập tuyến tính và là một cơ sở của S với:

2 3 A1  A2 17 17 9 5 A 4  A1  A 17 17 2 Bài 6. Một hãng dùng 3 loại vật liệu để sản xuất 5 loại sản phẩm. Cho các véc tơ: A3 

1  2 1  3  3          A1   2  ; A2   1  ; A3   2  ; A4  1  ; A5   0  1  1  2  2  1           

Trong đó

Aj

là vecto định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j.

A ,A ;A a. Chứng minh rằng hệ B =  2 4 5  là 1 hệ độc lập tuyến tính. b. Viết biểu diễn tuyến tính của các vecto còn lại qua hệ B và nêu ý nghĩa kinh tế c. Tính số lượng các loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng được 10,45,30,72,20 đơn vị sản phẩm từ loại 1 đến loại 5.

1 A2  2 A4  3 A5 03  2  3  3   0          1  1   2  1   3  0  0 1  2  1   0          21  3 2  3 3  0    1  2 0   2    0 2 3  1  1 2 3 0

Trả lời : a) Theo định nghĩa , ta cần biện luận sự    tồn tại của 1 , 2 , 3 để có đẳng thức vectơ:

5

Dễ thấy rằng hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có duy nhất nghiệm tầm thường (0, 0, 0)

Nghĩa là đẳng thức vecto trên chỉ xảy ra với Như vậy, theo định nghĩa B=

 A 2, A4; A5

1  2  3 0

là hệ độc lập tuyến tính

b) +Biểu diễn

A1

ta có:

 2 1  32  33 1    1  2 2    2    1 2 3  1

 1 2   2 0   3  1

 A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 Ý nghĩa kinh tế : Nếu bớt đi 2 đơn vị sản phẩm 2 thì ta được 1 đơn vị sản phẩm 1 và 1 đơn vị sản phẩm 5. +Biểu diễn

A3

ta có :

1   1  2  2 1  32  33 1    3   2  1   2  2 2   2    2  2 3  1  3  3  2  1 3 3  A3  A2  A4  A5 2 2 2 3 1 3  A3  A5  A2  A4 2 2 2 6

Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đi 1/2 đơn vị sản phẩm 2 và 3/2 đơn vị sản phẩm 4 ta được 1 đơn vị sản phẩm 3 và 3/2 đơn vị sản phẩm 5. c. Số lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất lượng sản phẩm như yêu cầu là :  400  10 A1 45 A2 30 A3 70 A4  20 A5 195   275    Vật liệu = n A, B ,C , X  Bài 7: Trong không gian  cho hệ vecto S= .Chứng minh rằng nếu S độc A  X , B  X ,C  X  lập tuyến tính thì hệ  cũng độc lập tuyến tính, điều ngược lại có đúng không ?

Trả lời: Giả sử {A, B, C, X} độc lập tuyến tính. Ta chứng minh {A+X, B+X, C+X} cũng độc lập tuyến tính Xét: k1( A  X )  k 2( B  X )  k 3(C  X ) 0 n  (k 1  k 2  k 3 )X  k 1A k 2B  k 3C 0n

Do {A, B, C, X} độc lập tuyến tính nên đẳng thức xảy ra khi k1 k 2 k 3 k1  k 2  k 3 0 Từ đó => hệ {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính Ngược lại, nếu {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính, ta sẽ chứng minh {A, B, C, X} độc lập tuyến tính Vì {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính nên đẳng thức k1 ( A  X )  k 2 (B  X )  k 3 (C  X ) 0n

chỉ xảy ra khi

k1 k 2 k3 0

Hay k1 A  k 2 B  k 3C  (k 1  k 2  k 3 ) X 0 n chỉ xảy ra khi k1 k 2 k3 0  k1 k 2 k3 k1  k 2  k 3 0

Chứng tỏ hệ {A, B, C, X} là độc lập tuyến tính Bài 8: Cho ma trận:  2  1 3 A   ;B 1 0  2

  2  1  1  1 1      3 1  ; C  2 3 0   2  3   1 2 4    

7

Tìm ma trận X biết :

X  2 AT  B  0 12

Trả lời : Ta có: X  2 A T  B  0 12  4   X   2    6 

2  0  4 

  2  1   6 3  3 1    0 0    5 1  0 0  X        2  3   4 1     (1)

Từ (1) => ma trận X là ma trận cấp (1x3) Gọi

X  a b c 

ta được:

 6 3  6 a  5b  4c 0  5 1  0   a b c       0   3  a  b  c 0  4  1     6 a  5b  4 c 0 b 2c    X   c 2c c  6 a  2b  2c 0 a c Kết luận : Hệ phương trình trên có vô số nghiệm nên có vô số ma trận X thỏa mãn X  2 A T  B  0 12

Bài 9 : Cho các ma trận: 2 1  1 3  A = 2 1

1   0  2  ;

 2  1 1 B   0 1 3

 1 1  C  2  1     0  3  

; Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo: AX=C. Trả lời: Có

AX C  X  A  1.C

8

 1  2 2 A 1    2 3  3  7 4  3 3

Với

 1  1  3 5  3 



 4 0    1  X  A  1 .C   2 3    4  5 3 

Bài 10. Bằng việc tính định thức hoặc hạng của ma trận, hãy xét sự độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ sau: { A₁  0,1, 2, 3  ; A₂   3, 2, 3, 0 ; A₃  5, 3, 4,  3 }

Trả lời: 0  1 X   2  3

     3 5 0  3    5    0 0 11  2 3   1 2 3    1 0  1  3 4     0  1  2  0 1 2     0  3   0 0 0   0  6  12   

Xét ma trận Vậy hệ vectơ ban đầu độc lập tuyến tính

 0  1  0  0

0 0 1 0

 1  0  0 0 

Bài 11. Sử dụng phương pháp khử toàn phần, tìm hạng, một cơ sở và viết các biểu thị tuyến tính của các hệ véc tơ ngoài cơ sở qua cơ sở đối với hệ véc tơ sau:



A1  1, 2,  1 ; A2  0,1, 2 ; A3  1, 4,  1 ; A4   1, 4,3 ; A5   1,  5,  1 

Trả lời : 1 1 1   1 0 1  1  1   1 0 1  1  1  1 0  2 1 4 4     2 6  3    5    0 1 2 6  3    0 1 X          1 2  1 3  1  0 2 0 2  2   0 0  4  10 4 

1 0 0 7 0 2   0 1 0 1  1    0 0 1 5  1   2

Vậy : h(X) = 2 Cơ sở :  A1; A2; A3

A ₄  7 2 A₁  A₂  5 2 A₃ Với : A5  A₂  A₃

9

Bài 12. Một doanh nghiệp sử dụng 4 loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất 3 loại sản phẩm X, Y, Z.Định mức tiêu hao vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho ở bảng sau: Loại vật liệu thô

Định mức nguyên liệu cho 1 đơn vị sản phẩm X

Y

Z

I

2

4

5

II

3

3

2

III

4

1

4

IV

5

4

3

a) Hãy mô tả dưới dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên. b) Viết dưới dạng biểu thức ma trận và tính giá trị của biểu thức để xác định số lượng vật liệu thô các loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị các loại sản phẩm X, Y, Z tương ứng. Trả lời: a) Ta có : Ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu trên là: 2  4 A  3  5  

4 3 1 4

5  2 4  3  

b)  30  B  50  20    là ma trận sản lượng +) Gọi ma trận

+) Ta có số lượng vật liệu thô các loại để để sản xuất 30,50,20 đơn vị các loại sản phẩm X,Y,Z tương ứng là:

10

2 4  A B   3  5  

4 5  360  3 2   30   310  1 4   50     220   4 3   20     410   

Bài 13. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu thô R1, R2 và R3 để sản xuất 4 loại sản phẩm trung gian S1, S2, S3 và S 4. Sau đó, từ 4 loại sản phẩm trung gian người ta có thể sản xuất ra 2 loại thành phẩm F 1 và F 2. Hai bảng dưới đây cho biết định mức vật liêu thô cho các sản phẩm trung gian và định mức sản phẩm trung gian cho các loại thành phẩm: Loại

Định mức vật liệu thô 1 đơn vị sản phẩm trung gian

vật liệu thô

S1

S2

S3

S4

R1

3

1

2

4

R2

1

3

1

2

R3

2

4

3

1

Loại sản phẩm trung gian

Định mức sản phẩm trung gian cho 1 đơn vị thành phẩm

F1

F2

S1

5

3

S2 S3

2

1

1

4

S4

4

2

Viết các ma trận định mức vật liệu thô cho mỗi đơn vị sản phẩm trung gian, định mức sản phẩm trung gian cho mỗi đơn vị thành phẩm và ma trận định mức vật liệu thô cho mỗi đơn vị thành phẩm. a)

b)

Viết biểu thức ma trận và thực hiện các phép toán cần thiết để tính số 11

lượng các loại vật liệu thô vừa đủ để sản xuất 120 đơn vị thành phẩm F1 và 150 đơn vị thành phẩm F2 . Trả lời a)  3 1 2 4 A  1 3 1 2  2 4 3 1   là ma trận định mức tiêu hao vật liệu thô để sản xuất 4 +) Có ma trận

loại sản phẩm trung gian   B     +) Ma trận

5 3  2 1 1 4  4 2 là ma trận định mức tiêu hao sản phẩm trung gian để sản xuất 2

loại thành phẩm  35 26  AB  20 14   25 24    là ma trận định mức vật liệu thô cho 2 loại thành phẩm +) Có

b)

120  C    150  là ma trận thành phẩm Gọi

+) Số đơn vị sản phẩm trung gian cần có là : 5  2 B C  1  4

3  1050    1   120   390    X  4  150   720     2  780 

+) Để sản xuất được lượng sản phẩm trung gian như trên, ta cần số đơn vị vật liệu thô là :  1050   3 1 2 4    8100  390      A X  1 3 1 2    4500     720   6600    2 4 3 1    780 

12

Bài 14. Cho ma trận  17  6  A    35  12 . Tính

A6

Trả lời  10039  3990  A 6  A.A.A.A.A.A    23275  9246 

Bài 15 Tìm  để hệ phương trình tuyến tính sau là hệ Cramer và với  1 tìm nghiệm của hệ tương ứng theo phương pháp ma trận nghịch đảo.  x1  5 x2  4 x3  7  2 x1  9 x2   x3 4  x  x  x  3 1 11 2 7 3 17

Trả lời : +) Hệ đã cho có số phương trình bằng số ẩn (cùng bằng 3) +) Để hệ là hệ Cramer thì det(B) phải khác 0 1 2

+) Ta có: detB =

3

5 9

4

  0  11  7

=> Hệ Cramer

 (63  15  88)  ( 108  70  11 ) 0  63  15  88  108  70  11 0  13  4 0  13   4

Vậy để hệ PTTT là hệ Cramer thì



 13 4

+) Xét ma trận

13

1  5 4 1 0 0    B / E   2  9  1 0 1 0   3  11  7 0 0 1    52 41    79 17 17   1 0 0 17    11 19 9  0 1 0  17 17 17  0 0 1 5 1  4  17 17 17   41   52  79 17 17   17 1    11 19 9 B  17 17   17  5 4 1   17 17 17 

Ta có: B.X=C  X B  1 .C 41   79  52 17 17    7   1   17   . 4   0   11 19 9  X  17 17       17      5 4 1   17    2   17 17 17  1  X  0    2   Vậy nghiệm của hệ là

Bài 16. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử toàn phần (tìm nghiệm tổng quát và chỉ ra một nghiệm riêng của hệ)  x  x  x  x 1 2 3 4  1   x1  x3  2 x4 2  2 x1  x2  3x3  x4 0  2 1   x1  x2  x3 

Trả lời : Xét A

14

  A    

1

1

1

0

2 1

1

1  0  0  0

2

0 0 1 0 0 1 0 0

1 11   1 2 2   3 1 0    1 0  1

1  1 1  11    0 1 2 3 1   0 3  5 1  2   0  1 0  0 1

 6  3   1    13  9   0 8  5  0   12 9   0 

 HPT có nghiệm duy nhất

3  0 0 0 2 1 0 0 3  4 0 1 01   0 0 13  4

1  0 0  0

0 1 1 2 0 0

1 2

2 2   3 1   8  5   4  1

 x1  3 2   3  x2  4   x3 1   x4  3 4

X 0 ( 3 , 3 ,1, 3 ) 2 4 4

Bài 17. Tìm một nghiệm không âm của hệ ràng buộc sau:  x1  3 x2  x3  3 x5 7  2 x1  2 x2  2 x4 12 4 x  x  2 x  2 x  x 12 3 4 5  1 2

Trả lời :  x1  3x2  x3  3x5  7  2x1  2x 2  2x 4 12 4x  x  2x  2x  x 12 3 4 5  1 2

Xét A

15

1 3 1 A  2 2 0  4 1 2  1 3 1   1 1 0 2  1 2  0 7 2 0   1 1 0  1  1 1 2  0 1 0 0   1 1 0 1 1 0 1 0 

0 2 2

3 7  0 12  112

0 3 7  1 0 6 0  1 0   2 7 1 0 6  0  12 0   1 2  06 0 1  0

7

Từ ma trận cuối ta có hpt mới:  x2  x5 2   x1  x 2  x 4 6  x  x 1  1 3

Đặt

x 3, x4, x5

là các ẩn cơ sở

x1 , x2 là các ẩn tự do

Cho x1  , x 2  ta có công thức nghiệm tổng quát:

X=

 x 1   x   2  x 3 1    x 6      4  x 5 2  

Cho α=β=0 => 1 nghiệm không âm của hệ ràng buộc X= (0 0 1 6 2)T Vậy 1 nghiệm không âm của hệ ràng buộc là: 16

X= (0 0 1 6 2)T Bài 18. Tìm một nghiệm của hệ ràng buộc sau bằng phương pháp khử toàn phần 2 x1  x2  x3  2 x4  x5 1  x  1  2 x2  x3  3 x 4  2 x5 1  x  x  2 x  x  x 0 3 4 5  1 2  x 0,  j 1, 5  j Trả lời : Xét A  2 1 1 2 1 1 A   1 2  1 3  2 1      1 1 2 1 1 0     3 0 3 1 0 1   1 0  1      3 4 3 5 0 1   0 4 0      1 1 2 1 1 0  0 1 1  1  1  5 0 1 1  4 4 4 4      1 9 9 1   0 2 2 0 2 2    3 0 3 1 3 1  4 4 4 4 

1 3 6 4

3

0 13   02   1 13  

Từ dòng 2 ma trận cuối => Hệ ràng buộc vô nghiệm không âm

Bài 19. Chuyển hệ hỗn hợp sau về dạng chính tắc rồi tìm một nghiệm của hệ:  x1  2 x2  x3  x 4 9   x1  x2  2 x3  2 x4  10  x1  3x2  4 x3  x4  4   x  0, j 1, 4  j

Trả lời :

17

 x1  2x 2  x 3  x 4  9    x1  x2  2 x3  2 x4  10   3  4   4 x3 x 4  x1 x 2  x 0,  1, 4 j  j

Sử dụng ẩn bù x5 , x6 ta thu được hệ:  x1  2 x2  x3  x 4  x 5 9  x  x  x  x  x  10  1 2 2 3 2 4 6   x  3x  4x  x  4 1 2 3 4   x j 0,  j 1,6 

 x1  2 x 2  x 3  x 4  x 5 9 x  x  x  x  x   1 2 2 3 2 4 6 10  x  3x  4x  x  4 2 3 4  1  x j 0,  j 1,6 

Xét ma trận  1 2 1 1 1 0 9  A  1 1  2 2 0 1 10     1 3 4 1 0 0 4    1  2 1 1  1 0 9     0 3 3 1 1 1 1   0 1  3 0  1 0 13    1 0  1    0 1  1  0 0  2 

5

3 1 3 1 3

1 3 1 3 4 3

29  3 1 1  3 3   1 38  3 3 2

3

Từ dòng 3 của ma trận cuối => Hệ ràng buộc vô nghiệm không âm (vì phần tử bên ma trận A < 0 mà phía ma trận B > 0

Bài 20. Một hãng sử dụng 3 loại vật liệu để sản xuất 4 loại sản phẩm. Cho các véc tơ  3  2  1         A1  4 , A2  3 , A3  2 , A4   2  4  1        

 155 4    2 ,B  160 ,C  195 3  

 x1   4     x 3   ,X  2  5 x  3  7    x4 

18

Trong đó Ak ,k 1,4 là véc tơ định mức thể hiện số đơn vị vật liệu các loại đủ dùng để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm loại k , B là véc tơ thể hiện số lượng đơn vị vật liệu các loại mà hãng sử dụng ,

cj

x trong ma trận C là lãi của một đơn vị sản phẩm loại j và j cho trong

ma trận X là sản lượng sản phẩm loại j ( j 1,4) .

a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm mà

hãng có thể sản xuất khi sử dụng hết số vật liệu cho trong B. b) Tìm một nghiệm cơ sở, với 2 , 3 ,x 4 xlà cxác ẩn cơ sở, của hệ lập được trong

ý a)bằng phương pháp khử toàn phần. Tính tổng số lãi ứng với kết quả vừa tìm được.

Trả lời : a) Hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng các loại sản phẩm là: 3 x1  2 x2  x3  4 x4 155  x  x  x  x  4 1 3 2 2 3 2 4 160 2 x  4 x  x  3 x 195 2 3 4  1  x j 0,j 1, 4  (1)

b) *Xét ma trận 3 A  4  2   1   2 0  

2

1

3

2

4

1

0

0

0

1

1