Toán cao cấp 2 bài tập PDF

Preview

Summary

Download Toán cao cấp 2 bài tập PDF

Description

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH ----

BÀI TẬP LỚN Toán cao cấp 2

Giáo v

: Ts.Đào Trọng Quyết p 09.04/ Nhóm 2

THÀNH VIÊN NHÓM 2 1. Nguyễn Phương Nga 2. Trần Bảo Ngọc 3. Lê Thị Ngọc Phương 4. Nguyễn Thị Thảo Phương 5. Phạm Thị Thanh Phương 6. Vũ Đức Quý 7. Nguyễn Đức Tâm 8. Hoàng Hương Thảo 9.Vũ Thị Thu Thảo 10. Trần Vân Thủy 11. Lê Thu Trang 12. Lê Thu Trang 13. Nguyễn Thu Trang (NHÓM TRƯỞNG) 14. Trần Tuấn Vũ 15. Nguyễn Minh Vương

Bài 1: Lương cơ bản của các nhân viên bán hàng phụ thuộc doanh số bán hàng mà họ thực hiện được trong tháng và được xác định như sau: Doanh số bán hàng (x triệu 0 x > 15 0  x 5 0  x 5 đồng) Lương cơ bản (triệu đồng) 3 4 5 7 Lập hàm số tính tiền lương trong tháng của nhân viên bán hàng. Cho biết tiền lương được tính bằng lương cơ bản cộng thêm 10% doanh số bán hàng vượt trên mốc dưới trong khoảng để tính mức lương cơ bản. Giải Gọi y là số tiền lương (triệu đồng) của nhân viên bán hàng theo doanh số bán hàng x mà họ bán được trong tháng +) Nếu x = 0 thì y = 3 +) Nếu 0  x 5 thì y = 4 + 10%. x = 4 + 0,1x +) Nếu 5  x 15 thì y = 5 + 10%.(x-5) = 4,5+0,1x +) Nếu x > 15 thì y = 5 + 10%.(x-15) = 5,5 + 0,1x 3 khi x 0   4  0,1x khi 0  x 5  y  4,5  0,1x khi 5  x 15  5  0,1x khi x  15 Vậy Bài 2: Giá nước sinh hoạt hàng tháng phụ thuộc lượng nước sử dụng và được tính theo phương pháp lũy tiến với 3 mức như trong bảng dưới đây: 0  x 20 20  x 30 Lượng nước sử dụng x (m3) x > 30 Giá cho 1 m3 (nghìn đồng) 4 5 7 a) Một khách hàng sử dụng 25m3 nước trong tháng thì phải trả bao nhiêu tiền? b) Lập hàm số xác định giá trung bình cho 1m 3 theo lượng nước sử dụng. c) Nếu một khách hàng phải trả số tiền nước là 400 nghìn đồng cho một tháng thì số mét khối nước sử dụng của khách hàng trong tháng đó là bao nhiêu? Giải Gọi y là số tiền phải trả (nghìn đồng) khi sử dủng x (m 3) nước trong 1 tháng +) Nếu 0  x 20 thì y 6 x +) Nếu 20  x 30 thì y 8 x  40 +) Nếu x  30 thì y 10 x  100 khi 0  x 20  6x  y 8 x  40 khi 20  x 30 10 x  100 khi x  30  Vậy a. Số tiền khách hàng phải trả là:

y= 8x-40 = 8.25-40 = 160 (nghìn đồng) b. Gọi u là giá trị trung bình cho 1 m 3 nước

 6 khi 0  x 20  40  8x  40 khi 20  x 30 8   x x  y  10 x  100 10  100 khi x  30 u  x x x=  Ta có: c. TH1: 0  x 20 y 6 x 400  x 

200  x 66,6 3 (Không thỏa mãn).

TH2: 20  x 30 y 8 x  40 400  x 55 (Không thỏa mãn).

TH3: x  30 y 10 x  100 400  x 50 (Thỏa mãn).

Vậy nếu một khách hàng phải trả số tiền nước là 400 nghìn đồng cho một tháng thì số mét khối nước sử dụng của khách hàng trong tháng đó là 50m 3 Bài 3: Một nhà máy đưa ra quy định tính lương hàng tháng cho công nhân như sau: giá định mức cho một giờ làm việc là 40 nghìn đồng, nếu làm việc trên 200 giờ trong tháng thì mỗi giờ vượt được tính 200% giá định mức, trường hợp công nhân không có việc làm trong tháng sẽ được hưởng trợ cấp 1,5 triệu đồng. Biết rằng số giờ làm việc trong tháng của mỗi công nhân không vượt quá 300 giờ. a) Lập hàm số tính lương hàng tháng của công nhân nhà máy đó. b) Nếu lương trên 12 triệu đồng/tháng thì người đó phải đóng thuế thu nhập cánhân 10% trên số tiền vượt mức 12 triệu đồng. Hãy lập hám tính lương hàng tháng của công nhân khi có áp dụng tính thuế. Giải a. Gọi y là số lương hàng tháng của công nhân (nghìn đồng) khi làm việc trong x (giờ) +) Nếu x = 0 thì y = 1500 +) Nếu 0  x 200 thì y 40 x

+) Nếu 200  x 300 thì y = 80x -8000 x 0  1500 khi  y  40 x khi 0  x 200 8 x  8000 khi 200  x 300  Vậy hàm b. Gọi y là số lương hàng tháng công nhân khi áp dụng thuế (nghìn đồng) trong x giờ khi có lương trên Lương 12 triệu: TH1: 0  x 200 => 40 x = 12000  x =300 (h) (Không thỏa mãn)

TH2: 200  x 300 => 12000 = 80 x – 800  x =250(h) (Thỏa mãn)  Số giờ làm việc tối thiếu là 250h để được lương 12 triệu Hàm lương hàng tháng của công nhân khi tính thuế +) Nếu x = 0 thì y = 1500 +) Nếu 0  x 200 thì y = 40 x +) Nếu 200  x 250 thì y = 80 x -8000 +) Nếu x > 250 thì y = 0,1 x + 10000 khi x 0  1500  40 x khi 0  x 200  y  80 x  8000 khi 200  x 250 72 x  7200 khi x  250 Vậy Bài 4: Giá một loại rau tại một cửa hàng đại lý được tính theo phương pháp lũy thoái với 3 mức như trong bảng dưới đ}y: 200  x 500 0  x 200 Lượng rau (x) (kg) x > 500 Giá cho 1 kg (nghìn đồng) 5 4 3 a) Một khách hàng mua 400kg rau thì phải trả bao nhiêu tiền? b) Lập hàm số xác định giá trung bình cho 1kg rau theo lượng rau đã mua. Giải a. Số tiền phải trả khi mua 400 kg là 200.5 + 200.4 = 1800 (nghìn đồng) b. Gọi y là số tiền (nghìn đồng) phải trả khi mua x (kg) rau +) Nếu 0  x 200 thì y = 5x +) Nếu 200  x 500 thì y = 5.200 + 4.(x-200) +) Nếu x  500 thì y = 5.200 + 4.300 + 3.(x-500) 5x khi 0  x  200  y 4 x  200 khi 200  x 500 3x  700 khi x  500  Vậy Gọi u là giá trung bình cho 1 kg rau khi mua x (kg) (x>0)  5x  x 5 khi 0  x  200  200  4x  200 khi 200  x 500 4   x x   3 x  700 700 3  khi x  500  x x Ta có: u = =  Bài 5: Một cửa hàng có một chương trình khuyến mại như sau: Nếu mua không quá 50 sản phẩm thì giá mỗi sản phẩm là 15 nghìn đồng. Nếu mua nhiều hơn 50 sản phẩm và không quá 100 sản phẩm thì giá mỗi sản phẩm là 14 nghìn đồng. Nếu mua nhiều hơn 100 sản phẩm thì giá mỗi sản phẩm là 13,5 nghìn đồng. a) Nếu một khách hàng mua 70 sản phẩm thì khách hàng đó phải trả bao nhiêu tiền? b) Lập hàm số tính số tiền phải trả theo số sản phẩm mà khách hàng mua. Giải

a. Nếu khách hàng mua 70 sản phẩm thì khách hàng đó phải trả: 70.14= 980 (nghìn đồng) b. Gọi y là số tiền (nghìn đồng) phải trả khi mua x (sản phẩm) 15 x khi 0  x 50  y 14 x khi 50  x 100  13, 5x khi x  100  Bài 6: Trong một cửa h|ng đại lý, giá của mỗi đơn vị sản phẩm (đvsp) trong một lô hàng là như nhau và phụ thuộc vào số đvsp trong lô hàng đó. Với mỗi lô hàng, nếu dưới 100 đvsp thì giá là 20000 đồng/1 đvsp, từ 100 đến 500 đvsp thì giá là 18000 đồng/1đvsp và từ trên 500 đvsp thì giá là 10000 đồng/1đvsp. Lập hàm số tính số tiền phải trả theo số đvsp trong lô hàng đã mua. Giải Gọi y là số tiền (đồng) phải trả khi mua x (đvsp) 20000 x khi 0  x  100  y 18000 x khi 100  x 500 10000 x khi x  500  Bài 7. Sử dụng định nghĩa giới hạn, chứng minh rằng: 1 1 x 1 lim  lim 5  x  1 (x  1)2 b, x 1 a, Giải 1 lim  x  1 (x  1)2 a,  ε > 0, ta phải chỉ ra số δ >0 sao cho nếu: 0  x  1  1  ( x  1)2 1   ( x  1) 2   0 x1 

1 2

Do đó   0 chọn

lim 5

1 x 1

1 2 khi đó x thỏa mãn 1 0 x 1  2 thì sẽ có đpcm





b, x 1 Theo định nghĩa   0 ta phải chỉ ra số   0 sao cho: Nếu 0  x  1  

Thì 5

1 x 1



 0  x  1

1 log5 

1 log 5  ta được đpcm. Do đó , nếu chọn Bài 8. Khảo sát tính liên tục của hàm số sau trên miền xác định của nó: khi x1  4 x  2 2  x  3 x  6 khi x  2  (x  2)  2 khi 1 x  3 f ( x)  2 x  ln(x  2) khi x 3 khi x 2  6x  x b,  a, Giải  x2  3 x  6 khi x  2 f ( x)  2 khi x 2  6x  x a, f ( x) là hàm số phi sơ cấp có TXĐ: D   ;  

 

3  ; 2 Trên khoảng  , ta có f ( x) x  3 x  6là hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục trên   ; 2 2 2;   Trên khoảng  , ta có f ( x) 6 x  x là hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục trên  2; 

 f ( x) liên tục trên   ;   Xét tại điểm x 2 ta có: f (2) 8

 2

lim f ( x)  lim ( x3  3 x  6) 8

x  2

x 2

lim f ( x )  lim (6x  x 2 ) 8

x  2

x 2

 f (2)  lim f ( x )  lim f ( x ) x 2

x 2

 ;   ` Vậy f ( x) liên tục trên đoạn  .

b,

4 x khi x 1   2  ( x  2)  2 khi 1  x  3  x  ln(x  2) khi x3 

f ( x) là hàm số phi sơ cấp có TXĐ: D   ;    3  ;1 Trong khoảng  ta có f ( x) 4  x là hàm số sơ cấp

 f ( x) liên tục trên   ;1 2 1; 3 Trong khoảng   ta có f ( x) ( x  2)  2 là hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục trên  1;3 3;  Trong khoảng  ta có f ( x) x  ln( x  2) là hàm số sơ cấp  f ( x) liên tục trên  3;   Xét tại điểm x 1 ta có:

f (1) 3  x) 3 lim f ( x) lim(4  x 1

x 1

lim f ( x) lim( x  2) 2  2 3  x 1

x 1

 f (1) lim f ( x) lim f ( x) x 1

x 1

  ;   3 . Vậy f ( x) liên tục trên đoạn Bài 9. Tìm tham số a, b để hàm số sau liên tục trên miền xác định:

 x2  a  f ( x)   b 2 x  ln(2 x 3) 

 x2  a khi x   1  f (x )  b khi x  1  2 x  ln(2 x  3) khi x   1  Giải khi x   1 khi x  1 khi x   1

TXD D 

 ;  1  Trên khoảng  ta có f ( x) là hàm số sơ cấp  f ( x ) liên tục trên   ;  1  1;   Trên khoảng  ta có f ( x) là hàm số sơ cấp  f ( x ) liên tục trên   1;  

 f ( x ) liên tục trên   1  f ( x) liên tục trên   f ( x) liên tục trên x 1

 f (1) lim f ( x) lim f ( x) x1

x 1

 Ta có f (  1) b lim f ( x )  lim (x 2  a ) 1 a

(*)

 1 lim f (x )  lim (2 x  ln(2 x  3))  x 1 x1 2  Thay    vào (*) 1  b 1 a  2 1   b  2   a   1  2 1 1 a  ,b  2 2 thì f ( x) luôn tồn tại trên  Vậy với Bài 10. Sử dụng định lý Bolzano-Cauchy chứng minh rằng các phương trình: 1 3 5   8 3 7    ( x 1) ( x 1) x 1 có duy nhất 1 nghiệm dương a, x  1

x  1

2 3 5   9 7 5   1;     ( x 2) ( x 2) x 2 b, có duy nhât 1 nghiệm  Giải 1 3 5 8 3  7  x 1  có duy nhất 1 nghiệm dương a, ( x  1) ( x  1) TXĐ:

D 

 1

1 3 5    8 0 3 7    ( x 1) ( x 1) x 1   1 3 5   8 f ( x)  3 7 x x x    ( 1) ( 1) 1 Đặt : f ( x) 

9  21 5   0 10 8 ( x 1) ( x 1) ( x  1) 2

 f ( x) nghịch biến trên D  f ( x) có duy nhất 1 nghiệm (*)

do f ( x) là hàm số sơ cấp và xác định trên  f (0) 1    2803   0 f (1)   512 Lại có  f (0). f (1)  0 Xét

x   0;1

0;1

0;1 nên f ( x) liên tục trên  

Theo định lý Bolzano-Caucchy 1 thì phương trình  có nghiệm Từ (*) và (**) đpcm

  0;1 

(**)

2 3 5   9 7 5    1;     ( x 2) ( x 2) x 2 b,  có duy nhât 1 nghiệm D    2 TXĐ 2 3 5    9 0 7 5 x 2  ( x  2) ( x  2) 2 3 5   9 f ( x)  7 5 x 2 ( x  2) ( x  2) Đặt 2 3 5    9 7 5 ( x  1  1) ( x  1  1) x  1 1 Đặt t x  1 2 3 5   9 f (t )  7 5 (t 1) (t 1) t 1  t   0;    0;   nên f ( x) liên tục trên Xét do f (t ) là hàm số sơ cấp và xác định trên  0;   f (0) 1  0 t   0;    t  1 1;   

  t  1   7

2 3 5   0 7 5 (t  1) t  1  (t  1) 2 3 5    9 0 f (t )  7 5 (t 1) (t 1) t 1   f (0). f ( )  0  0;  Theo định lí Bolzano-Cauchy 1  f (t ) có nghiệm 

 f ( x) có nghiệm   1;  (*)  14  15 5    0 x  2 f ( x)  8 6 ( x  2) ( x  2) ( x  2)2 Có  f ( x) nghịch biến trên D  f ( x) có duy nhất 1 nghiệm Từ (*) và (**)  đpcm.

(**)

Bài 11. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số, chứng minh rằng: lim f ( x) 2 lim g( x) 3 lim  f ( x )  g ( x)  5 và x    thì x    a, Nếu x    f (x ) 0 lim  lim f ( x) 2 lim g ( x)   x   ( ) g x x x     b, và thì c,

lim f ( x) 3 x 1

và

lim g (x )  x 1

thì

lim f ( x). g( x)  x 1

Giải lim g (x ) 3 và x    lim x  Với mọi dãy  x n sao cho n   n   thì lim f ( x n) 2 lim g( xn ) 3 n   và n   lim ( f  g )( xn )  lim  f ( xn )  g( xn )  n  Khi đó: n   lim f ( xn )  lim g ( xn ) 2  3 5

a,

lim f ( x) 2

x  

n  

n  

 lim  f ( xn )  g ( xn )  5 x  

b, lim f ( x) 2 x  

và

(đpcm)

lim g ( x)  

x  

lim x  Với mọi dãy  x n sao cho n   n  thì: lim f ( x n) 2 lim g( xn )   n   và n  f f ( x n) 0 lim ( xn )  lim n   g n   g ( x ) n Khi đó: f ( x)  lim  0 x  g ( x) (đpcm)

c,

lim f ( x) 3 x 1

và

lim g ( x)  x 1

lim x 1  Với mọi dãy  x n sao cho n   n thì: lim f ( x n) 3 lim g( xn )  n   và n  lim  f .g ( xn. )   lim  f ( xn ). g ( xn. )  n   Khi đó: n    lim f ( xn ). lim g (xn )  n  

 lim f ( xn ). g ( xn . )  x1

n  

(đpcm)

Bài 12, Tính đạo hàm của hàm số sau trên miền xác định của nó: khi 0  x  1  ln x  2 f ( x)  2 2 x  x  1 khi 1  x  5 Giải khi 0  x 1  ln x  2 f ( x)  2 2 x  x  1 khi 1  x  5 Ta có: 1  f ( x)  x   0;1  f ( x )  ln x  2 x Với thì là hàm sơ cấp 2 x  1;5 Với thì f ( x ) 2 x  x  1 là hàm sơ cấp  f ( x )  4x  1 Tại x 1

f ( x)  x 1 x f (x )  lim  x 1 x   f (1) lim 

Bài 13: Cho hàm số

f (1) ln( x  2)  2 ln x 1    1 1 x 1 x 1 x f (1) 2x2  x  1  2  2 x 1 3 1 x 1

1 3 2  x  x  5 khi 1 x  3 f ( x)  3 ax  b khi 3 x  4

a. Tìm a,b để hàm số f ( x) có đạo hàm trên (1,4). b. Với các giá trị của a,b tìm được ở câu (a), hãy xác định xem tại x 3 , nếu x tăng 2% giá trị thì giá trị của f ( x) thay đổi thế nào? Giải 1 f ( x )  x3  x 2  5 3 a. Với x  (1,3) thì là hàm sơ cấp

 liên tục trên (1,3) 2  f '( x) x  2 x

Với x  (3,4) thì f ( x) ax  b là hàm sơ cấp và liên tục /(3,4)  f '( x) = a

Với x=3 Xét : lim f (x )  lim (ax  b ) 3a  b

x 3

x 3

1 lim f (x )  lim ( x 3  x 2  5)  5 x 3 x3 3

Để f ( x) có đạo hàm / (1,4) thì f ( x) liên tục tại x=3  lim f ( x) x 3

 3a  b 5

(1)

Để hàm số f ( x) có đạo hàm / (1,4) thì f ( x) có đạo hàm tại x=3 Xét lim

x 3

f (x )  f (3) ax  b  3a  b  lim x3 x3 x3 lim x 3

a ( x  3) a  f '(3 ) x3

1 2  x 5 5 L f ( x )  f (3) x 2  2x  lim 3 lim  3  f '(5) lim x 3 x3 x3 1 x3 x3 Để f '(3) thì a=3  b=-4 Vậy a=3, b=-4 là giá trị cần tìm Bài 14: Sử dụng định lí Rolle, hãy tìm số nghiệm và khoảng chứa nghiệm của phương 2 trình f '( x) 0 , biết rằng: f ( x) x(2 x  3x  1)( x  2) ,

xR

Giải Do f ( x ) là hàm sơ cấp xác định với x  nên nó liên tục trên R và có đạo hàm trên R

f ( x) x(2 x2  3 x 1)( x  2) x( x  1)(2 x  1)( x  2) 1  f (0)  f (1)  f ( )  f (2) 2

Vậy

f '( x) 0 (1) pt có ít nhất 3 nghiệm phân biệt

 1  0;  Xét trên  2 , hàm y  f ( x) thoả mãn định lí Rolle  1 c1  0;    2 để f '( c1) 0 Vậy

1  c 2   ;1   2  để f '( c2) 0 c3  1; 2 để f '(c3) 0  PT(1) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt Mặt khác, do f ( x ) là đa thức bậc 4  f '( x) là đa thức bậc 3  f '( x) không quá 3 nghiệm (**) f '( x )  0 Từ (*) và (**), vậy có 3 nghiệm phân biệt và khoảng nghiệm  0; 1  ;  1 ;1  ; 1; 2  2  2        Bài 15: Sử dụng định lí Lagrange, chứng minh bất đẳng thức sau: a b a a b  log3  (0  b  a) a ln 3 b b ln 3 Giải f ( x ) log3 x Xét hàm b; a  f ( x ) log3 x do là hàm sơ cấp, xác định trên  nên nó liên tục và có đạo hàm trên R c  b; a sao cho áp dụng định lí Lagrange, tồn tại f '( c ).( a  b )  f ( a )  f ( b )  1 f (a )  f (b )  f '( c)  f '( x)  log 3 x  '  a b x.ln 3 mà 1 log a  log3 b  3 f '( c)   c.ln 3 a b 1 1 1 1 log 3 a  log 3 b 1 b c a      .ln 3  b c a b a b a Với ab a ab   log 3  b ln 3 b a ln 3 a b a a b  log3  b b ln 3 (đpcm) Vậy a ln 3

 x2 - ax  1 khi x  0 f ( x )  x  2 e  x  b khi x  0 . Tìm a,b để hàm số f thoả mãn Bài 16: Cho hàm số  2; 4 định lí Lagrange trên đoạn  Giải 2  2;0  f ( x) x  ax  1 là hàm sơ cấp  f ( x) liên tục trên   2;0 Trên

 f '( x) 2 x  a

Trên  0; 4 ; Với

f ( x) 2 e  x  b là hàm sơ cấp  f ( x ) liên tục trên  0; 4   f '( x ) 2ex  1 x 0  f (0) 1 x

f (0  ) lim ( x 2  ax 1) 1 x 0



f (0 ) lim (2 ex  x  b) 2  b x 0





Để f (0)  f (0 )  f (0 )  1 1 2  b  b 1 Lại có f ( x)  f (0) x 2  ax  1  1 x 2  ax L  lim  lim lim (2 x  a) f '(0)  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x x x f ( x )  f (0) 2e  x  b  1 L lim lim(2 f '(0  ) lim ex 1) 3  0 0 x 0 x x   x 0 x   Để f '(0 )  f '(0 )   a 3  a  3 Vậy với a=-3; b=1 thì thoả mãn định lí Lagrange trên

  2; 4

Bài 17: Dùng định nghĩa, tính các đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại điểm x = 0 của hàm số:  s inx khi x 0  f ( x )  x  1 khi x 0 Giải x    ;0    0;   Với , có:  cos x s in x f ( x)   f '( x)  2 x là hàm sơ cấp x Với x = 0 f (x )  f (0) 1 1 lim 0  f '(0) lim x 0 x  0 x 0 x Xét Vậy f '( x)  Với

x   ;0    0; 

, có :

 cos x x2 là hàm sơ cấp  2 xsin x  f "(x )  x4

f '( x) 

Với x=0 f '( x )  f '(0) 0 0 lim 0  f "(0) x  0 x 0 x Xét   2 x sin x khi x 1  f "(0)  x4  x 3  5x khi x  1 Vậy lim x 0

Bài 18: Cho hàm số: ax 2  b khi x 1 f ( x )  3  x  5x khi x  1 a) Tìm giá trị của a,b để hàm số sau khả vi tại x=1

b) Với a,b vừa tìm được thì hàm số có khả vi cấp 2 tại x = 1 không? Vì sao? Giải 2

a) Với x + Với (2,6) thì f ( x ) 2 ln( x  1 ) 1 là hàm sơ cấp 2 Þ f ¢(x) = x- 1

Þ f (x) liên tục trên (2;6) + Với , ta có lim f (x )  lim  2ln(x  1)  1 1 x 2

x 2

lim f (x )  lim   x 2  6x  7 1 x 2  lim f ( x)  f (2) x 2

x 2

Þ f ( x ) liên tục tại =2 Xét

f ( x)  f (2) 2 ln( x  1) 1  1 L 2  lim lim 2  f (2 ) x 2 x 2 x 2 x  1 x 2 x 2 f (x )  f (2)  x 2  6x  7  1 lim  lim  lim x  4  2  f (2 ) 2 x 2 x x 2  x 2 x 2  f (2) 2 Vậy khả vi trên (0,6) Ta có: f f (2) 2  (2)  .2  .2  4 x f (2) 1 lim

Ý nghĩa: Vậy tại thì hàm số thay đổi bằng hệ số co giãn là -2% tại thì hàm số tại thay đổi bằng hệ số co giãn là 4% Bài 20: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm có hàm tổng chi phí là 1 TC (Q)  Q3  3 Q2  5 Q  2 0 3

trong đó: Q  0 là sản lượng sản phẩm. Với mức giá thị trường của sản phẩm là p12, doanh nghiệp phải sản xuất với mức sản lượng bao nhiêu để mức lợi nhuận thu được là tối đa? Giải

1 TC (Q)  Q 3  3 Q 2 5 Q  2 0 3

ĐK:Q

Hàm doanh thu TR(Q)=pQ=12Q =>Hàm lợi nhuận theo sản phẩm Q là

 (Q) TR (Q )  TC (Q ) + Điều kiện cần để điểm sản lượng Q* làm tối đa hoá lợi nhuận  '(Q *) TR '(Q *)  TC '(Q *)  0  TR (Q* )  TC (Q* ) 0  12  Q *2  6Q *  5 0  '( Q *)  Q* 7 (1) + Điều kiện đủ để với , hàm lợi nhuận đạt tối đa:  ''(Q *)  0   2(Q *)  6 0  Q* 3 (2) Từ (1) và (2) thoả mãn Vậy với mức sản lượng thì doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa Bài 21: Một hãng sản xuất một loại sản phẩm với giá bán p = 243 – 2 và hàm tổng chi phí có dạng TC (Q ) 2Q2  3Q 1000  0 (đơn vị: 100.000 đồng). a) Tính doanh thu biên tại điểm  15 và nêu ý nghĩa kinh tế của giá trị nhận được. b) Tính lợi nhuận của hãng biết chi phí bỏ ra là 289 triệu đồng. c) Tại điểm cho lợi nhuận thỏa mãn ý b), hãy tính chi phí trung bình và giá bán trung bình cho 1 đơn vị sản phẩm. Giải a) Hàm doanh thu là: TR(Q)  pQ 243Q  2Q 2 Hàm doanh thu biên: MR(Q) TR '(Q ) 243  4Q

 MR(15) 183 Ý nghĩa kinh tế: tại điểm =15, nếu sản lượng tăng thêm 1 đơn vị (∆ = 1) thì h...