TP 2 Grupo 2 PDF

Preview

Summary

Teoría de la medida:Péndulo simpleTP N°Docentes: Ferrini Adrián, Viñales Daniel.Curso: 02Grupo N°Fecha límite entrega: 07 -08-Nombre y apellidoalumno/asE-mailBolívar, Melany [email protected], Zoe Adela [email protected], Fernando [email protected]íguez, Eloy Guillermo [email protected]...

Description

Teoría de la medida: Péndulo simple

TP N°2

Docentes: Ferrini Adrián, Viñales Daniel.

Curso: 02

Grupo N°2

Fecha límite entrega: 07-08-2020

Nombre y apellido alumno/as Bolívar, Melany Britos, Zoe Adela Cabral, Fernando Rodríguez, Eloy Guillermo Vera Benítez, Sebastián Vieito, Juan Ignacio

E-mail [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected]

Resumen y objetivo. El presente trabajo tiene como objetivo determinar el valor de la aceleración de la gravedad, variando la longitud de un péndulo simple en 5 mediciones distintas, con objetos tales como una masa, hilo, cinta métrica y cronómetro. Con los valores obtenidos se llevó a cabo una medición indirecta utilizando la fórmula 𝑔 =

4𝜋 2 ∙𝐿 , 𝑇2

para finalmente hallar el valor de g con un error porcentual

del 2%. Por último, comparamos la experimentación con el modelo teórico, con el fin de analizar la dependencia entre la longitud y el período. Introducción teórica El péndulo ideal se define como una partícula de masa m suspendida de un hilo inextensible que oscila en un plano. Las fuerzas que actúan sobre la masa son el peso (P) y la fuerza que ejerce el hilo. Cuando la partícula se coloca en una posición A, de modo que la cuerda forma un ángulo inicial θ 0, y luego se suelta se puede observar que el péndulo oscila entre A y la posición simétrica de A, A´. Consideramos como ejes del movimiento a Ût y a Ûn (eje en el cual se presenta la fuerza que ejerce el hilo). Considerando a S la trayectoria realizada por la partícula podemos decir que y que la aceleración tangencial (la derivada segunda de S en función del tiempo) resulta 𝑑 2 (𝑆) 𝑑2𝜃 = 𝑚𝐿 𝑑2𝑡 𝑑2𝑡

DCL Péndulo simple

Ecuaciones de Newton

Ût: 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚. 𝑎𝑡 = 𝑚𝐿

Ûn: 𝑇 − 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚. 𝑎𝑛

𝑑2 𝜃

𝑑2 𝑡

De estas ecuaciones, resulta la siguiente ec diferencial

𝑑2 (𝜃) 𝑑2 𝑡

𝑔

+ 𝐿 . sin 𝜃 = 0

El movimiento del péndulo no corresponde a un movimiento armónico simple (aunque si es periódico) a menos que la amplitud de oscilaciones sea pequeña, por lo que 𝜃0 debe ser de un valor tal que sinθ ≅ 𝜃 por lo que la ecuación que describe el movimiento es

𝑑2 (𝜃) 𝑑2 𝑡

𝑔

+ . 𝜃 = 0 (i) 𝐿

Al ser considerado como un MAS, debido a la aproximación de ángulos pequeños, podemos utilizar la relación entre θ y el tiempo: 𝑆(𝑡) = 𝜃sin( 𝜔𝑡 + 𝜑) (ii) Derivando dos veces 𝜃 en función de t, se consigue

Empleando (i) y (ii) ⟹

−𝑔 𝐿

𝜃 = 𝜔2 𝜃, siendo 𝜔 =

De la cual surge, finalmente 𝒈 =

𝟒𝝅𝟐 𝑳 𝑻𝟐

2𝜋 𝑇

𝑑2 (𝜃) 𝑑2 𝑡

= 𝜃sin(𝜔𝑡 + 𝜑)

⟹ 𝑇 = 2𝜋 ∙ √

(iii)

Desarrollo práctico. Instrumental de medida: Cinta métrica. Cronómetro digital manual. Transportador. Variables por medir: período de oscilación, longitud del hilo.

•

Longitud del hilo Se situó la cinta métrica desde el punto de suspensión hasta el centro de la masa para obtener la longitud del hilo (1). Reiterando el procedimiento con cinco longitudes distintas.

𝐿

𝑔

• Período de oscilación Tras colocar un transportador en un soporte, se ató en perspectiva con el centro de este, un hilo que en el otro extremo sostenía una masa m. La masa fue llevada hasta una posición tal que forme un ángulo de aproximadamente 10° (2). Se midió, en un número fijo de oscilaciones (n=15) con un cronómetro digital, el tiempo que tardaba la masa en completar la trayectoria. Este proceso se repitió cinco veces; se mantiene constante la masa y la amplitud mientras que la longitud varía desde 0,8m hasta 1,20m.

Determinación de n (cantidad de oscilaciones) Se realizó una medición indirecta para obtener los n periodos que serían utilizados en la experiencia con el objetivo de mantener un error porcentual de 2%. Se tomó el tiempo de una oscilación para una longitud de 0,9m. Ángulo inicial 𝜶 ≈ 𝟏𝟎° T= 1,86 seg, L= 0,9 m. ∆𝒕(𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐) = 𝟎, 𝟐𝟎𝒔

∆𝑳 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝒎 (se asume ∆𝐿 considerando que el error debe ser mayor a la mínima división de la cinta métrica (0,001m) puesto que existe incerteza al medir el radio de la esfera)

∆𝑡 ∆𝑔 ∆𝐿 (𝒊𝒗) +2 = 𝑛∙𝑇 𝐿 𝑔

→ 0,02 =

0,005𝑚

0,9𝑚

0,20𝑠

+ 2 𝑛∙1,86𝑠

→ 𝑛 = 14,88 ⟹ 𝒏 = 𝟏𝟓

Tablas de mediciones Tabla 1: Medición directa del tiempo de oscilación en función de la longitud (L)- Medición indirecta del período al cuadrado (T2) 𝛼 ≈ 10°, ∆𝐿 = 0,005𝑚, ∆𝑡 = 0,20𝑠

Medición directa Longitud (L) [m]

0,8 ± 0,005

0,9 ± 0,005 1,0 ± 0,005

1,10 ± 0,005 1,20 ± 0,005

Tiempo (t) [𝒔]

26,10 ± 0,20 28,13 ± 0,20

29,26 ± 0,20 30,89± 0,20 32,42± 0,20

Medición indirecta n 15

𝑻𝟐

[𝒔𝟐 ]

(𝑡⁄ 𝑛)

2

3,03

∆𝑻𝟐

[𝒔𝟐 ]

(2𝑇∆𝑇)

0,03

15

3,52

0,04

15

3,81

0,04

15

4,24

0,04

15

4,67

0,04

Las ecuaciones correspondientes a los valores obtenidos en la tabla 1 se encuentran en la sección “Cálculos”

Gráfico 1: 𝑻𝟐 en función de la longitud (L)

Cálculos

•

Cálculo ∆𝑻𝟐 ∆𝑻𝟐 = |

𝒅𝑻𝟐 𝟐𝒕 𝟐𝒕 | . ∆𝒕 = | 𝟐| . ∆𝒕 = 𝟐 . ∆𝒕(𝒗) 𝒅𝒕 𝒏 𝒏

Siendo 𝑻=

𝒕 𝟏 𝒅𝑻 ⟹ ∆𝑻 = | | ∙ ∆𝒕 → | | ∙ ∆𝒕 𝒏 𝒅𝒕 𝒏

⟹ ∆𝑻 =

∆𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟏𝒔 𝒏

Operando con ∆𝑇 en (𝒗) ∆𝑻𝟐 = 𝟐𝑻 ∙ ∆𝑻

•

Cálculo g 𝒈 = (𝒈𝟎 ± ∆𝒈)

𝒎

𝒔𝟐

Siendo 𝑇 2 = 𝑓(𝐿), al reemplazar en la ecuación (𝒊𝒊𝒊) mencionada en el

marco teórico, se obtiene 𝑇 2 = función.

4𝜋2 𝑔

𝐿 donde

Pendiente según el Gráfico 1 = (3,99 ± 0,11)

𝟒𝝅𝟐 ⟹ 𝟑, 𝟗𝟗 = 𝒈𝟎 ⟹ 𝒈𝟎 =

𝟒𝝅𝟐 𝟑, 𝟗𝟗

⟹ 𝒈𝟎 = 𝟗, 𝟖𝟗

𝒎 𝒔𝟐

4𝜋2 𝑔

𝟏

𝒎⁄ 𝒔𝟐

es la pendiente de la

Despejando de (𝒊𝒗)

∆𝒈 = (

∆𝑳 𝑳

∆𝒕 + 𝟐 𝒏 ∙ 𝑻) ∙ 𝒈𝟎

Valor promedio de L y T (N=5 mediciones) para verificar que no supere un error porcentual del 2% 𝑳=

𝟏

𝑵

∑𝑵 𝒊=𝟏 𝑳𝒊 = 𝟏𝒎

𝑻=

⟹ ∆𝒈 = ( ∆𝒈 = (

𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝒎

∆𝑳 𝑳

𝑵

∑𝑵 𝒊=𝟏 𝑻𝒊 = 𝟏, 𝟗𝟔𝒔

∆𝒕

+ 𝟐 𝒏∙𝑻) ∙ 𝒈𝟎 +𝟐

𝟏𝒎

∆𝒈 = 𝟎, 𝟏𝟗

𝟏

𝒎 𝟎, 𝟐𝟎𝒔 ) ∙ 𝟗, 𝟖𝟗 𝟐 𝒔 𝟏𝟓 ∙ 𝟏, 𝟗𝟔𝒔

𝒎

𝒔𝟐

→ 𝒈 = (𝟗, 𝟖𝟗 ± 𝟎, 𝟏𝟗)

𝒎 𝒔𝟐

𝜺% = 𝟏, 𝟗𝟐%

Conclusión A partir de los datos alcanzados en la tabla 1 con los correspondientes métodos empleados, hemos comprobado que el modelo teórico se aproxima al experimental. Para ángulos pequeños donde se cumple que sin(𝜃) ≈ 𝜃 , 𝐿

analíticamente en 𝑇 = 2𝜋 ∙ √ se observa que el péndulo ideal es independiente 𝑔

de la masa y de la amplitud, de modo que los resultados obtenidos coinciden con el modelo teórico propuesto con el respectivo margen de error presente en la

experiencia: el período es proporcional a la longitud y depende únicamente de ésta. Respecto al cálculo de g, se obtuvo a partir de una regresión lineal un valor mayor 𝒎 𝒎 al real siendo (𝟗, 𝟖𝟗 ± 𝟎, 𝟏𝟗) 𝒔𝟐 y 𝟗, 𝟖𝟐 𝒔𝟐 respectivamente; consideramos existen

diversas fuentes principales de incerteza tales como considerar al dispositivo utilizado como un “péndulo ideal” cuando efectivamente posee imperfecciones. A su vez, se despreciaron varios factores como el rozamiento del péndulo con el aire, las vibraciones y corrientes de este mismo, como así tampoco se ha tenido en cuenta el rozamiento con el punto de sujeción, lo que contribuye a que el valor de g calculado difiera con el real....