Definici´on de congruencia entre tri´angulos. 2. Postulado b´asico de congruencia entre tri´angulos LAL. 3. Teoremas b´asicos de congruencia entre tri´angulos ALA y LLL. PDF

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Presentaci´on de la clase. En esta clase se extiende el concepto de congruencia a tri´angulos.
Si bien, el concepto congruencia entre tri´angulos no es primitivo, requiere de un axioma
para su definici´on completa. A partir de este axioma, denominado LAL, se deducir´an dos
de los p...

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Escuela Polit´ecnica Nacional Curso de Geometr´ıa de Nivelaci´on Clase No. 07 Preparada por Juan Carlos Trujillo∗ Semestre 2021-B

1 Tema 1. Definicion ´ de congruencia entre tri a´ ngulos. 2. Postulado b´asico de congruencia entre tri´angulos LAL. 3. Teoremas b´asicos de congruencia entre tri´angulos ALA y LLL. 4. Tri´angulos equil´ateros e is´osceles. 5. La bisectriz de un a´ ngulo. 6. Existencia de perpendiculares.

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Resultados de aprendizaje 1. De conocimientos: i. Explicar la definicion ´ de congruencia de tri´angulos a trav´es de la noci o´ n de funci´on biyectiva. ii. Explicar la definicion ´ impl´ıcita de congruencia de tri´angulos mediante el postulado LAL. iii. Describir el procedimiento para “construir ” la bisectriz de un a´ ngulo. 2. Destrezas: i. Aplicar los postulados de congruencia de tri´angulos para determinar la longitud de un segmento, la medida angular de un ´angulo despu´es de establecer la congruencia entre segmentos y ´angulos. ii. Aplicar los postulados de congruencia de tri´angulos para demostrar teoremas y justificar sus demostraciones. iii. Justificar el procedimiento para “construir ” la bisectriz de un a´ ngulo mediante la congruencia de tri´angulos. ∗ Departamento de

de la Escuela Polit´ecnica Nacional Matematica ´

3 Introduccion ´ 3.1. Presentaci´on de la clase. En esta clase se extiende el concepto de congruencia a tri´angulos. Si bien, el concepto congruencia entre tri´angulos no es primitivo, requiere de un axioma para su definici o´ n completa. A partir de este axioma, denominado LAL, se deducir ´an dos de los principales teoremas que sirven para determinar si dos tri´angulos son congruentes, los denominados ALA y LLL. Con la congruencia entre tri´angulos ya dada, se probar´a la unicidad de la bisectriz de un angulo, ´ con lo cual se definir a´ bisectrices de un tri´angulo; tambi´ en se probar´a la existencia y unicidad de perpendiculares.

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Congruencia entre tri´angulos

4.1. Definicion: ´ correspondencia uno a uno entre dos tri´angulos. Dados los tri´angulos △ ABC y △ DEF, se definen los siguientes conjuntos: T1 = { A, B, C, AB , AC , BC , ∠ A, ∠ B, ∠C }

y

T2 = { D, E, F, DE , DF , EF , ∠ D, ∠ E, ∠ F}.

Es decir, estos conjuntos tienen como elementos los v´ertices, lados y ´angulos de cada uno de los tri´angulos, respectivamente. Dados los tri´angulos △ ABC y △ DEF, la funci o´ n ϕ : T1 −→ T2 tal que: i: ϕ(A) = D, ϕ(B) = E, ϕ(C) = F; ii: ϕ(AB ) = DE , ϕ(AC ) = DF , ϕ(BC ) = EF ; y iii: ϕ(∠ A) = ∠ D, ϕ(∠ B) = ∠ E; ϕ(∠C) = ∠ F se denomina correspondencia uno a uno entre los tri´ angulos △ ABC y △ DEF, y se representa por ABC ↔ DEF. Los puntos D, E y F son los v´ertices correspondientes de A, B y C, respectivamente. Los lados DE , DF y EF son los lados correspondientes de AB , AC y BC , respectivamente. ∠ D, ∠ E y ∠ F son los a´ ngulos correspondientes de ∠ A, ∠ B y ∠C, Los angulos ´ respectivamente. Es f´acil ver que la funcion ´ ϕ es invertible y, por tanto, posee inversa. Esa inversa es tambi´en una correspondencia, pero entre los tri´angulos △ DEF y △ ABC. Por tanto, es angulo se nombra en primer lugar. indistinto qu´e tri´ 4.2. Definicion: ´ congruencia entre tri´angulos. Dados dos tri´angulos △ ABC, △ DEF y la correspondencia ABC ↔ DEF, esta correspondencia es una congruencia si

∼ DE , AB = AC ∼ = DF , ∼ EF , BC =

∼ ∠ D, ∠A = ∼ ∠ E, ∠B = ∼ ∠ F. ∠C =

En este caso, se dir ´a que los tri´angulos △ ABC y △ DEF son congruentes y se escribir a´ △ ABC ∼ = △ DEF. J. C. Trujillo O.

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Obs´ervese que la “congruencia entre tri´angulos” implica un “orden” entre las partes correspondientes de uno de los tri´angulos con las del otro. Es decir, asegurar que △ ABC ∼ = △ DEF significa que el a´ ngulo de v´ertice A est´a en correspondencia con el ´angulo de v´ertice D y no con E ni F; que el a´ ngulo de v´ertice B est´a en correspondencia con el ´angulo de ∼ EF , etc´etera. v´ertice E y no con D ni F; que el lado AB ∼ = DE y no AB = 4.3. Terminolog´ıa para la congruencia entre tri´angulos. En un tri´angulo, cada lado se dice que est´a comprendido por los a´ ngulos cuyos v´ertices son los extremos de ese lado (segmento). Por ejemplo, en el tri´angulo △ ABC, el lado AB est´a comprendido entre los a´ ngulos ∠ A y ∠ B. En un tri´angulo, cada ´angulo se dice que est´a comprendido por los lados del tri´angulo que est´an contenidos en los lados del a´ ngulo. Por ejemplo, en el tri´angulo △ ABC, el a´ ngulo ∠ A est´a comprendido entre los lados AB y AC . 4.4. Teorema: la congruencia entre tri´angulos es una relaci´on de equivalencia. La congruencia entre tri´angulos es una relaci´on de equivalencia. Es decir, es reflexiva, sim´etrica y transitiva. En otras palabras, las proposiciones siguientes son verdaderas: i. Reflexiva: todo tri´angulo es congruente consigo mismo. Es decir, para todo tri´angulo △ ABC, se tiene que △ ABC ∼ = △ ABC. angulo es congruente con otro, el segundo lo es con el primero. De ii. Sim´etrica: si un tri´ = △ DEF, entonces △ DEF ∼ manera m´as precisa: si △ ABC ∼ = △ ABC. angulo es congruente con otros dos, estos dos son tambi´en coniii. Transitiva: si un tri´ ∼ △GHI, entonces △ DEF ∼ = △ DEF y △ ABC = gruentes entre s´ı. Es decir, si △ ABC ∼ = △GHI. La demostraci o´ n es sencilla y se sustenta en el hecho de que las congruencias entre segmentos y a´ ngulos son relaciones de equivalencia. Por esta raz´on se omite la demostraci ´on en detalle. ´ (LAL). La siguiente proposici´on es un axioma: 4.5. Axioma: el postulado Lado- Angulo-Lado Dada una correspondencia entre dos tri´angulos, si dos lados y el ´angulo comprendido por estos de uno de los tri´angulos son congruentes con las partes correspondientes del otro tri´angulo, entonces la correspondencia es una congruencia. De manera m´as precisa: Dada la correspondencia ABC ↔ DEF, si: i. L: AB ∼ = DE , ii. A: ∠ A ∼ = ∠ D, ∼ iii. L: AC = DF ,

∼ △ DEF. entonces △ ABC = Es decir, de las tres hip o´ tesis, se deduce que ∠B ∼ = ∠ E,

∠C ∼ = ∠F y

BC ∼ = EF .

de este postulado. Si La siguiente es una representaci ´on grafica ´

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Teoremas b´asicos de congruencia entre tri´angulos

5.1. Definiciones de tri´angulos equil´atero, is´osceles y escaleno. Un tri´angulo es isosceles ´ si por los menos dos de sus lados son congruentes. Si angulo se denomina un tri´angulo no es is o ´ sceles, se denomina escaleno. Y un tri´ equil a´ tero si sus tres lados son congruentes. Se deduce de la definici´on que todo tri´angulo equil´atero es is´osceles; la proposici´on rec´ıproca no es verdadera. Dado un tri´angulo isosceles, ´ los ´angulos del tri´angulo que se oponen a dos de los lados congruentes se denominan a´ ngulos base; el otro lado, se denomina base. Es decir, si △ ABC es tal que AB ∼ = AC , entonces los a´ ngulos ∠ B y ∠C son los ´angulos base de este tri´angulo y el lado BC es la base correspondiente. 5.2. Teorema del tri´angulo iso´ sceles. En todo tri´angulo iso´ sceles, los a´ ngulos base del tri´angulo son congruentes. De manera m´as precisa: Si el tri´angulo △ ABC es tal que AB ∼ = AC , entonces ∠ B ∼ = ∠C.

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Ilustremos gr´aficamente el teorema:

Si

entonces

∼ ∠C. Demostraci´on. Dado el tri´angulo △ ABC, la hip´otesis es AB ∼ = AC ; la tesis es ∠ B = Consideremos la correspondencia ABC ↔ ACB. Vamos a probar que esta correspondencia es una congruencia. Una vez hecho esto, podemos concluir que el angulo ´ ∠ B es congruente con el ´angulo ∠C, ya que el angulo ´ ∠ B es la parte correspondiente del a´ ngulo ∠C . He aqu´ı la deduccion ´ de que la correspondencia es una congruencia. Utilicemos el postulado LAL. i. La hipotesis ´ establece que

∼ AC . AB =

etrica, se tiene que ii. De i., porque la congruencia entre segmentos es sim´

∼ AB . AC = iii. La congruencia entre angulos ´ es reflexiva; as´ı, se tiene que

∼ ∠ A. ∠A = iv. De i.(L), iii.(A) y ii.(L), por el postulado LAL, se infiere que la congruencia ABC ↔ ACB es una congruencia. ∼ ∠C, como se v. De iv. y la definicion ´ de congruencia entre triangulos, ´ se concluye que ∠ B = dijo.

El siguiente dibujo ilustra esta demostraci´on:

5.3. Corolario del teorema del tri´angulo iso´ sceles. Todo tri´angulo equil´atero es equiangular; es decir, los tres ´angulos de un tri´angulo equil´atero son congruentes entre s´ı. De manera precisa: si △ ABC es equil ´atero, entonces

∠A ∼ = ∠ B,

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∼ ∠C y ∠ B ∼ = ∠C. ∠A =

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Demostraci´on. Como △ ABC es equil´atero, se tiene que AB ∼ = AC . Por tanto, por el teorema del ∼ ∠C. Pero tambi´en se tiene que AB = ∼ BC ; luego, por el tri´a ngulo is´osceles, se obtiene que ∠ B = ∼ ∠C. Por tanto, ya que la congruencia entre angulos mismo teorema, ∠ A = ´ es transitiva, se concluye ´ que tambi´en ∠ A ∼ = ∠ B, como se afirmo.

Un corolario de un teorema es, ante todo, un teorema. Sin embargo, por lo general se le da este nombre a un teorema cuando este se deduce de manera “casi inmediata” de otro teorema; la demostraci´on de un corolario consiste, por tanto, en exhibir esa “deducci´on casi inmediata”. ´ ´ 5.4. Teorema Angulo-LadoAngulo (ALA). Dada una correspondencia entre dos tri´angulos, si dos ´angulos y el lado comprendido entre estos de uno de los tri´angulos son congruentes con las partes correspondientes del otro tri´angulo, entonces la correspondencia es una congruencia. De manera m´as precisa: Dada la correspondencia ABC ↔ DEF, si i. ∠ A ∼ = ∠ D, ∼ ii. ∠ B = ∠ E, ∼ DE , iii. AB =

∼ △ DEF. entonces △ ABC = Es decir, de estas tres hip o ´ tesis, se deduce que ∼ ∠ F, ∠C =

∼ DF AC =

y

BC ∼ = EF .

Ilustremos gr´aficamente este teorema. Si

entonces

Demostraci´on. Las hip´otesis son: 1) ABC ↔ DEF, ∼ ∠ D, 2) ∠ A = 3) ∠ B ∼ = ∠E, ∼ DE . 4) AB = J. C. Trujillo O.

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∼ △ DEF. La conclusi´on es: △ ABC = Para demostrar la conclusion, ´ se va a probar que:

∼ ∠ F, ∠C =

∼ DF AC =

y

BC ∼ = EF .

La deduccion ´ es la siguiente: i. Por el teorema E5 , densidad de la recta, existe un punto G entre D y F:

−−→ ii. Por el teorema construcci´on de segmentos, aplicado al segmento AC y al rayo DG , existe un punto C ′ en este rayo tal que AC ∼ = DC ′ :

∼ △ DEC ′ . Por iii. Por el postulado LAL aplicado a las hipotesis ´ 4 y 2, y a ii., se tiene que △ ABC = ′ ∼ tanto, por la definicion ´ de congruencia entre triangulos, ´ se infiere que ∠ DEC = ∠ ABC:

∼ ∠ DEF, ya que la congruencia de a´ ngulos es transitiva. Por iv. De iii. y la hipotesis ´ 2, ∠ DEC ′ = −−→ −−→ −→ tanto, por el teorema construcci´on de a´ ngulos (la unicidad del rayo DC ′ ), los rayos DC ′ y DF son iguales. ←→ ← → ´ de dos rectas ocurre en un v. Y, como las rectas DF y EF se intersecan en F –y la interseccion solo punto—, se deriva que C ′ = F. ∼ △ ABC, como se afirm ´o. vi. De v. y iii., se concluye que △ DEF =

5.5. Teorema: rec´ıproco del teorema del tri´angulo iso´ sceles. Si dos ´angulos de un tri´angulo son congruentes, los lados opuestos a estos ´angulos tambi´en son congruentes; es decir, el tri´angulo es isosceles. ´ Ilustremos el teorema gr a´ ficamente:

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Si

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angulo △ ABC Demostraci´on. Este teorema es un corolario del teorema ALA. En efecto: dado el tri´ tal que ∠ ABC ∼ = ∠ ACB, la correspondencia ABC ↔ ACB es una congruencia gracias al teorema ALA, pues BC ∼ = CB ,

∼ ∠ ABC. ∼ ∠ ACB y ∠ ACB = ∠ ABC =

∼ AC . Por tanto, de la definici´on de congruencia entre tri´a ngulos, se concluye que AB =

5.6. Teorema: rec´ıproco del corolario del teorema del tri´angulo iso´ sceles. Todo tri´angulo equiangular es equil´atero. Este teorema es un corolario del teorema anterior. En efecto: Demostraci´on. Si △ ABC es equiangular, entonces

∠A ∼ = ∠ B,

∼ ∠C y ∠ B ∼ ∠A = = ∠C.

Luego, de la primera congruencia y el teorema rec´ıproco del teorema del tri´a ngulo is´osceles, se tiene que AC ∼ = AB . Por el mismo teorema y la segunda hip´ otesis, tambi´en tenemos

∼ CB ; AB = ∼ CB , ya que la congruencia entre segmentos es transitiva; luego, el triangulo es es decir, AC = ´ equil´atero, como se dijo.

5.7. Teorema Lado-Lado-Lado (LLL). Dada una correspondencia entre dos tri´angulos, si los tres lados de uno de los tri´angulos son congruentes con los lados correspondientes del otro tri´angulo, entonces la correspondencia es una congruencia. De manera m´as precisa: Dada la correspondencia ABC ↔ DEF, si i. AB ∼ = DE , ∼ ii. AC = DF , ∼ EF , iii. BC = ∼ △ DEF. entonces △ ABC = Es decir, de estas tres hip o ´ tesis, se deduce que

= ∠ D, ∠A ∼

∼ ∠ F. ∠B ∼ = ∠ E y ∠C =

Posponemos la demostraci ´on de este teorema, que es m´as larga y elaborada que las demostraciones de los teoremas anteriores, a la secci ´on de ejercicios resueltos. Ilustremos el teorema: si graficamente ´ J. C. Trujillo O.

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5.8. Teorema: existencia y unicidad de la bisectriz de un ´angulo. Todo a´ ngulo tiene una y solo una bisectriz. −→ La tesis es: existe un rayo BD , Demostraci´on de la existencia. La hip´otesis es: ∠ ABC es un angulo. ´ donde D est´a en el interior del a´ ngulo ∠ ABC, tal que = ∠ DBC. ∠ ABD ∼ Procedamos con la demostraci´on. i. Sea x un n u ´ mero real tal que r < BA. Por el teorema localizaci´on de puntos, existe un unico ´ −→ punto E en el rayo BA tal que BE = r:

(La eleccion ´ del n u ´ mero x menor que BA es irrelevante; puede elegirse, en su lugar, cualquier mayor que 0; por el teorema de E2 , el punto E est´ a entre B y A, aunque este hecho numero ´ tambi´en es irrelevante para la demostraci´on). −→ ii. Por el teorema construcci´on de segmentos, existe un punto F en el rayo BC tal que BF = BE:

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(Tambi´en es irrelevante la “localizacion” ´ de C. Para la representacion ´ gr´afica, hemos elegido B − F − C). iii. Sea D el punto medio del segmento EF (cuya existencia y unicidad est´ a garantizada por el teorema existencia del punto medio):

a en el interior del angulo ´ Por el teorema A de la clase No. 5, se sabe que D est´ ∠ ABC . ∼ iv. Por el teorema LLL, se tiene que △ FBD = △ EBD pues BF ∼ = BE ,

BD ∼ = BD

y

∼ ED FD =

on de punto por ii., la propiedad reflexiva de la congruencia entre segmentos, iii. y la definici´ medio, respectivamente.

de iv., se concluye que v. Por la definicion ´ de congruencia entre triangulos, ´

∼ ∠EBD; ∠ FBD = −→ es decir, el rayo BD es una bisectriz del angulo ´ ∠ ABC :

En resumen, existe al menos una bisectriz del angulo ´ ∠ ABC .

Ahora probemos que un a´ ngulo no tiene m´as de una bisectriz. Para ello, a˜nadamos a −→ las anteriores, como hip´otesis, la proposici o´ n: el rayo BG es una bisectriz del ´angulo ∠ ABC. −→ −→ La tesis en este caso es la proposici´on: BG = BD . Demostraci´on de la unicidad. i. Por la definicion ´ de bisectriz, el punto G est´a en el interior del a´ ngulo ∠ ABC :

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−→ ii. De i., por el teorema barra cruzada, el rayoBG y el segmento EF se intersecan. Sea D ′ el punto de tal interseccion: ´

(Es irrelevante para la demostraci´ on la “posici o ´ n” de G respecto de D ′ ). ∼ △ EBD ′ ya que iii. Por el postulado LAL, se tiene que △ FBD′ = FB ∼ = EB ,

BD′ ∼ = BD′

y

∼ ∠EBD ′ ∠ FBD′ =

por la “construccion” ´ de E y F, la propiedad reflexiva de la congruencia entre segmentos y la hipotesis, ´ junto con la definici ´on de bisectriz:

∼ ED′ : iv. De iii., la definicion ´ de congruencia entre tria´ ngulos, se tiene que FD′ =

Es decir, D ′ es el punto medio de EF . Y, dado que el punto medio de un segmento es unico, ´ −→ −→ inferimos que D ′ = D y, por tanto, D est´ a en el rayo BG , de donde, concluimos que BG = −→ BD , como se afirm o. ´

5.9. Teorema: existencia de perpendiculares. Dada una recta y un punto que no est´a en la recta, existe una recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta dada. J. C. Trujillo O.

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Las hip´otesis de este teorema son: m es una recta, A un punto que no est´a en m.

La conclusi´on es: existe una recta l que pasa por A y es perpendicular a m

Demostraci´on. i. Sean B y C dos puntos distintos de la recta (su existencia est´a garantizada por el axioma existencia de puntos):

← → ii. Por el teorema construcci´on de a´ ngulos, existe un punto D, en el lado de BC opuesto al lado = ∠ DBC: que contiene A, tal que ∠ ABC ∼

−→ iii. Por el teorema construcci´on de segmentos, existe un punto A′ en el rayoBD tal que BA ∼ = BA ′ :

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← → iv. De iii. y la definicion ´ de lados opuestos de una recta, la recta BC y el segmento AA ′ se intersecan. Sea E el punto de tal interseccion: ´

Se presentan dos posibilidades: E = B y E 6= B. v. Supongase ´ que E 6= B. Por el postulado LAL, se tiene que △ ABE ∼ = △ A′ BE, pues BA ∼ = BA ′ ,

BE ∼ = BE ,

∼ ∠ A′ BE, ∠ ABE =

por iii., la propiedad reflexiva de la congruencia entre segmentos y ii., junto con el hecho de −−→ = ∠ DBC (porque A′ est´a en el rayo AD ). As´ı, por la definicio´ n de congruencia que ∠CBA′ ∼ ∼ ∠ A′ EB: entre tri´angulos, se infiere que ∠ AEB =

As´ı, dado que A − E − A′ , por la definicion ´ de ´angulo recto, se concluye que ∠ AEB es un ←→ ← → ´angulo recto (tambi´ en ∠ A′ EB); es decir, AA ′ ⊥ BC . ←−→′ ← → Luego, si se toma l igual a AA , dado que m = BC (porque B y C est´an en m), se concluye que l ⊥ m y l pasa por A. ∼ ∠ DEC: vi. Ahora supongase ´ que E = B. En este caso, A − B − A′ y, por ii., ∠ AEC = J. C. Trujillo O.

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←→ Por tanto, por la definicion ´ de angulo ´ recto, se concluye que AA ′ ⊥ m, ya que ∠ AEC y ∠ A′ EC son rectos, igual que en el caso anterior.

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Ejercicios resueltos 1. Demostracion ´ del teorema LLL: Dada la correspondencia ABC ↔ DEF, si 1. AB ∼ = DE , 2. AC ∼ = DF , ∼ 3. BC = EF , entonces △ ABC ∼ = △ DEF. Demostraci´on.

−→ ←→ i. Por el teorema construcci´on de a´ ngulos, existe un rayoAG , en el lado de la recta AB opuesto ∼ ∠EDF: al lado en el que est´a C de manera que ∠ BAG =

−→ ∼ DF : ii. Por el teorema construcci´on de segmentos, existe un punto C ′ en el rayo AG tal que AC ′ =

J. C. Trujillo O.

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∼ △ DEF porque iii. Por el postulado LAL, se tiene △ ABC ′ = ∼ DE , AB =

AC ′ ∼ = DF

y

∼ ∠EDF ∠ BAG =

1, ii. y i.): (hipotesis ´

←→ ←→ iv. Dado que C y C ′ est´an en lados opuestos respecto de AB , el segmento CC′ y la recta AB se intersecan en un punto. Nombremos este punto con H . Se presentan los siguientes casos para H: A − H − B, H = B, H − B − A...