definicion de conjuntos diferencia simetrica PDF

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matematica basica describe la definicion y aplicacion delos conjuntos en la vida cotidiana y aplicacion basica...

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Diferencia de conjuntos La diferencia de dos conjuntos A y B esta definido como el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto AA pero no pertenecen al conjunto BB, esta denotado como A–B y simbólicamente cumple la propiedad ya expuesta: A–B={x|x∈A∧x∉B} Proposicionalmente lo podemos escribir así: x∈(A–B)⇔x∈A∧x∉B Con la ayuda del diagrama de Venn, podemos notar visualmente el comportamiento de la diferencia de los conjuntos A y B en las partes sombreadas del diagrama:

A y B se interceptan.  x∈A∧x∉B⇒x∈(A–B)  y∈A∧y∈B⇒y∉(A–B)  z∈B∧z∉A⇒x∉(A–B)

AA y BB son disjuntos.  x∈A∧x∉B⇒x∈(A–B)  z∈B∧z∉A⇒z∉(A–B)

Ejemplo Volvamos a tomar los mismos ejemplos que usamos para la unión e intersección de conjuntos, estos son A={1,2,3}B={4,5,6} y C={1,2,3,4,5,7,8,9}Hallaremos y graficaremos los conjuntos A–B,B–C y A–C, veamos:

 Caso A–B La diferencia de los conjuntos A y B es únicamente el conjunto Atal como se encuentra sombreado, la razón es sencilla, el conjunto B no tiene ningun elemento con que quitarle al conjunto A.  Caso A–C Para este caso, la diferencia de los conjuntos de A y C resulta ser el conjunto vacio, ya que todos los elementos de A los tiene CC y tranquilamente se los puede quitar todos sus elementos quedando el conjunto vació ϕϕ.  Caso B–C Aquí vemos que los elementos de B no son completamente eliminados por C ya que algunos elementos de B le pertenecen a C, es por ello que la diferencia entre B y C no es total y quedan algo de B, esto es, el elemento número 6 que no le pertenece a C. Pero si invertimos la posición de los conjuntos de las diferencias de A–B, A–C y B–C en B–A, C–A y C– B respectivamente, los diagramas de Venn tomarian la siguiente forma:

Ahora veamos las propiedades de la diferencia de conjuntos en el siguiente apartado. Propiedades Las siguientes propiedades de la diferencia de conjuntos que presentaremos a continuación vendrán conjunto con la unión e intersección de conjuntos. Sean los conjuntos A, B y C, se cumples las siguientes propiedades: 1. A–A=ϕ 2. A–ϕ=A 3. ϕ–A=ϕ 4. (A–B)⊆A 5. A⊆B⇒A–B=ϕ 6. B∩(A–B)= ϕ 7. A–B=(A∪B)–B=A–(A∩B)) 8. A–B≠B–A 9. A–(B∪C)=(A–B)∩ (A–C) 10. A–(B∪C)=(A–B)∪(A–C) 11. (A∪B)–C=(A–C)∪(B–C) 12. (A–B)–C=(A–C)–B 13. A∩(B−C)=(A∩B)–(A∩C) 14. ∀C,A⊆B⇔(A–C)⊆(B–C) Complemento de un conjunto El complemento de un conjunto A respecto a otro conjunto B que lo contiene, resulta ser lo que le falta al conjunto A para ser igual a B. Sea los conjuntos A y B tal que A⊆B, definimos el complemento denotado por CABCBA de la siguiente manera: CBA=B–A Por comprensión, lo podemos escribir así: CBA={x∈B|x∈(B–A)∧A⊆B} Proposicionalmente lo podemos escribir así: x∈CBA⇔x∈(B–A)∧A⊆B Cuando indicamos el complemento de un conjunto sin indicar ningún conjunto respectivo, entonces se hace referencia al conjunto universal. Sea el conjunto A y el conjunto universal U. definimos el complemento de un conjunto representado por C(A)=A′=Ac de la siguiente manera: A′=U–A A partir de ahora, usaremos la notación A′ para referirnos al complemento de un conjunto respecto al universo, tener en cuenta que A⊆U. Veamos los diagramas de Venn del complemento de un conjunto A sombreados en los siguientes diagramas de Venn:

A⊆U  x∈A⇒x∉A′  y∉A⇒y∈A′ El siguiente diagrama esta determinado el complemento del conjunto A respecto al conjunto B, el diagrama de Venn para CBA es:

A⊆B  x∈A⇒x∉CBA  y∈B⇒y∈CBA Por lo general, el complemento de un conjunto respecto a otro conjunto es lo mismo que tratar con la diferencia entre dos conjuntos por lo que no haremos ejemplos de este tipo por ser un asunto repetitivo con respecto al apartado anterior. Realizaremos un ejemplo solo para el complemento de un conjunto A respecto al universo U simbolizado por A′. Tener en cuenta que CUA=A′, donde U es el conjunto universal. Ejemplo Sea el conjunto universal definido por U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}y el conjunto A={1,2,3}Como A⊆U, el complemento de A es:

A′=U–A

A′ ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}–{1,2,3} A′={4,5,6,7,8,9} El conjunto A′ es la parte sombreada del diagrama. Propiedades Para dos conjuntos A y B tal que A⊆B y el conjunto universal U, se satisface las siguientes propiedades para el complemento de un conjunto dado:  (A′)′=A  A∪A′=U  U′=ϕ  ϕ′=U  A∩A′=ϕ  A–B=A∩B′A–B=A  A⊆B⇔B′⊆A′  CBA⊆B  A∪CBA=B  A∩CBA=ϕ  B∩CBA=B–A  CAA=ϕ  CAϕ=A  CB(CB)A=A Leyes de Morgan para el complemento de conjuntos:  

(A∪B)′=A′∩B′ (A∩B)′=A′∪B′

Diferencia simétrica entre conjuntos La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B simbolizado por A△B se define como la union de los conjuntos diferencia A–B y B–A, formalmente se representa así: B△A=(A–B)∪(B–A) También se puede definir como la la unión de los conjuntos A y B menos la intersección de las mismas, osea: B△A=(A∪B)–(B∩A) Para verlo con mas claridad, nos apoyaremos como es de costumbre con los diagramas de Venn. Sean los conjuntos intersecantes A y B, el diagrama de Ven de la diferencia simetrica A△B es:

A y B son conjuntos intersecantes.  x∈A∧x∉B⇒x∈(A△B)  y∈A∧y∈B⇒y∉(A△B)  z∉A∧z∈B⇒z∈(A△B)

Fíjense en la parte sombreada para los conjuntos A y B lo cual representa la diferencia simétrica A△B, y esta representados por las diferencias A–B y B–A. Dado un elemento x, por comprensión lo podemos escribir así: A△B={x|(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A)} Proposicionalmente lo podemos escribir así: x∈(A△B)↔(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A) Ejemplo No necesariamente los conjuntos deben ser intersecantes para realizar cualquier tipo de ejemplo, usamos conjuntos intersecantes para visualizar el comportamiento de la diferencia simétrica de dos conjuntos A y B, definamos estos conjuntos así A={1,2,3,4}y B={3,4,5,6}la diferencia simétrica de estos dos conjuntos con su diagrama de Venn, sería:

A△B=(A–B)∪(B–A) A△B={1,2}–{5,6} A△B={1,2,5,6} Propiedades Para los conjuntos no vacíos A, B y C cuales quiera, se cumplen las siguientes propiedades:  A△A=ϕ  A△ϕ =A (propiedad del elemento neutro)  A△B=B△A (propiedad conmutativa)  (A△B)△C=A△(B△C) (propiedad asociativa)  (A△B)∩ C=(A∩C)△(B∩C) (propiedad distributiva)  (A△B)∪(B△C)=(A∪B∪C)–(A∩ B∩ C) Con esto estaríamos terminando con todas las propiedades de las operaciones entre conjuntos. en el siguiente aparatado trabajaremos con el numero de elementos de un conjunto dado y sus propiedades.

Pares ordenados (Plano cartesiano)

Par Ordenado Es una pareja de elementos dados en cierto orden; estos elementos pueden ser numéricos o de otra clase. Los encontramos en la vida diaria de diferentes maneras, por ejemplo: el marcador de partidos deportivos entre dos equipos, los pares entre: país -capital; provincia-capital; esposo-esposa; nombresapellidos, nombre-edad, etc. Concepto (x, y) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y, en donde x es el primer elemento llamado primera componente y y es el segundo elemento llamado segunda componente. IMPORTANTE: (x, y) ≠ (y, x). Es decir el orden de las componentes no puede ser cambiado. Estas componentes numéricas, se pueden graficar en los ejes cartesianos o plano cartesiano; la primera componente representa la abscisa y se ubica en el eje x; la segunda componente representa la ordenada y se ubica en el eje y. (x, y). Plano Cartesiano El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y) El punto donde se cortan recibe el nombre de origen. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el numero cero

La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su distancia respecto de los ejes x e y. El primer número del par ordenado ( -3 , 1 ) determina el desplazamiento horizontal respecto del cero: Positivo para los puntos ubicados a la derecha Negativo para los puntos ubicados a la izquierda El segundo número del par ordenado ( -3 , 1 ) determina el desplazamiento vertical respecto del cero: Positivo para los puntos ubicados hacia arriba

Negativo para los puntos ubicados hacia abajo

Ubicar los puntos en el plano cartesiano

Producto Cartesiano ¿Qué es un producto cartesiano? Se conoce como producto cartesiano al conjunto de todas las tuplas que se puedan obtener con los elementos de varios conjuntos. Una tupla es una secuencia ordenada de los elementos de un producto cartesiano o cualquier entidad matemática. Cuando una tupla esta formada sólo con dos elementos se le conoce como par ordenado ó dupla. El producto cartesiano de dos conjuntos, es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden obtener con los elementos de dos conjuntos. Un par ordenado o una tupla de dos elementos, estará compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento de otro conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis y separados por una coma. Es decirdado dos conjuntos A y B, el producto cartesiano estará formado por los pares ordenados (a,b) en donde el

primer elemento a pertenece al Conjunto A y el segundo elemento b pertenece al conjunto B. Expresado simbólicamente tenemos: A x B = {(a,b)/ a ∈ A y b ∈ B} En donde nos dice que el producto cartesiano de AxB, esta formado por los pares ordenados (a,b), tal que el primer elemento a pertenece al conjunto B y el segundo elemento b pertenece al conjunto B. Ejemplo 1.

Si

A={3,4}

y

B={1,3,8}

y

C={3,8,9},

hallar

(A

x

B)

⋂

(B

x

C).

Hallamos el producto cartesiano de AxB ={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)} Hallamos el producto cartesiano de BxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)} Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3,3),(3,8)} La representación gráfica de un producto cartesiano se puede hacer con una tabla cartesiana, diagrama de flechas, diagrama cartesiano o un diagrama de árbol. Ejemplo 2.

Sea A={3,4} y B={5,6,7}, representar gráficamente el producto cartesiano de AxB, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de AxB={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)} Tabla

Diagrama

Diagrama

cartesiana:

con

flechas:

cartesiano:

Diagrama

de

árbol:

Para productos cartesianos de más de dos conjuntos, las tuplas estarán formadas por más de dos elementos, y en estos se suelen nombrar del siguiente modo. Para 3 elementos 3-tupla, tripla, tripleta, terna o triada, para 4 elementos 4-tupla o cuádrupla, para 5 elementos 5-tupla o quíntupla, para 6 elementos 6-tupla o sixtupla, para 7 elementos 7-tupla o septupla, para 8 elementos 8-tupla o octupla, para 9 elementos 9-tupla y asi sucesivamente. Ejemplo 3.

Sea A={3,4}, B={5,7} y C={1,2} representar gráficamente el producto cartesiano de AxBxC, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de AxBxC={(3,5,1)(3,5,2)(3,7,1)(3,7,2)(4,5,1)(4,5,2)(4,7,1)(4,7,1)} Tabla

Diagrama

cartesiana:

con

flechas:

Diagrama

cartesiano

(En

perspectiva):

Definición Se llama relación binaria del conjunto A al conjunto B a todo subconjunto de A×B. Si R es una relación binaria para dos conjuntos A y B, simbólicamente se representa así a secas: R⊆A×B

¿que diferencia hay entre una relación binaria y un producto cartesiano si los dos están formados por pares ordenados? Simple, una relación binaria no siempre se puede expresar como un producto cartesiano, no es mas que una colección de pares ordenados cualesquiera. Por ejemplo, sea la siguiente relación binaria: R={(1,2),(3,5),(6,4)} Este conjunto-relación no se puede expresar en términos de un producto cartesiano, es algo similar como los números primos y los números compuestos. Sabemos que los números primos no se pueden descomponer en otros números primos pero los compuestos si. Si tomamos las primeras componentes de los pares ordenados de R como una colección de elementos de un conjunto E y las segundas componente como una colección del conjunto D, tenemos:  E={1,3,6}  D={2,5,4} Si realizamos el producto cartesiano de estos conjuntos, notamos que R⊆E×D no siempre una relación es un producto cartesiano. La otra razón que lo diferencia de un producto cartesiano es que existe una propiedad que verifica a una relación binaria. Veamos este punto en la siguiente definición: Definición según el axioma de comprensión Llamamos una relación binaria de dos conjuntos A y B a los conjuntos de pares ordenados (x,y) que cumplen una propiedad P(x,y) donde x∈A y y∈B. Simbólicamente se expresa así: R={(x,y)∈A×B|P(x,y)} Entonces, una relación binaria es un conjunto de pares ordenados pertenecientes al producto cartesiano de dos conjuntos que cumple una propiedad en particular. este axioma nos dice que si algunos elementos de un conjunto A cumplen una propiedad P en particular, es obvio que ese grupo de conjuntos que cumplen tal propiedad es subconjunto (pequeño grupo de elementos) del conjunto A. Aplicando el axioma a la definición de relación binaria, cumple la misma función, si algunos pares ordenados de A×B cumplen una propiedad P(x,y), es obvio que esos conjuntos de pares ordenados que cumplen dicha propiedad son subconjuntos de A×B. Ejemplos 1- Sean los conjuntos M={a,b}y N={1,2,3}su producto cartesiano es: M×N={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)} Los siguientes conjuntos son relaciones binarias del producto M×N: o R1={(a,1),(a,3)} o R2={(a,2),(a,3),(b,1)} o R3={(a,2),(a,3),(b,1),(b,2)} Los siguientes diagramas sagitales describen mejor el concepto de relación para los conjuntos R1, R2 y R3:

Dominio y rango de la relación

Estos conceptos son fáciles de entender, te lo resumo de la siguiente manera antes de definirlo correctamente: El dominio de una relación son todas las primeras componentes de los pares ordenados de una relación.  El rango de una relación son todas las segundas componentes de los pares ordenados de una relación. Definición de dominio de una relación 

Sea la relación R⊆A×B, definimos D(R) como el dominio de la relación tal que: D(R)={x∈A|∃y∈B∧(x,y)∈R} Esta definición significa que el dominio de una relación D(R) representan aquellos elementos x que pertenecen al conjunto A, ¿cualquier conjunto de A?, no, solo aquellos conjuntos que tengan una correspondencia con algún elemento y (por eso el símbolo de existencia ∃∃) como elemento de llegada que pertenezca a A tal que formen un par ordenado (x,y) que pertenezca a la relación R. Definición de rango de la relación Sea la relación R⊆A×B, definimos R(R) como el rango de la relación tal que: R(R)={x∈B|∃y∈A∧(x,y)∈R} De la misma manera como en el caso de la definición del dominio, esta definición significa que el rango de una relación R(R) representan aquellos elementos y que pertenecen al conjunto B, ¿cualquier conjunto de B?, no, solo aquellos conjuntos que tengan una correspondencia con algún elemento xx como elemento de partida que pertenezca a B tal que formen un par ordenado (x,y) que pertenezca a la relación R. Puedes guiarte con el siguiente diagrama:

Ejemplos 1.

Sean los conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,8}y B={2,4,5,6,10}calcular el dominio y rango de la siguiente relación: R={(x,y)∈A×B|5≤x+y≤7} Solución: Primero debemos buscar aquellos elementos de A y B que cumple la siguiente condición 5≤x+y≤7, lo podemos visualizar en el siguiente tablero:

En este diagrama se observen que los valores de x de representan el dominio de la relación ya que x∈A siendo el conjunto inicial y los valores de y representan el rango de la relación ya que y∈B siendo el conjunto final, entonces: D(R)={1,2,3,4,5}∧R(R)={2,4,6} 2.

Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={1,2,3,4,5,6}, hallar el dominio y rango de la siguiente relación: R={(x,y)∈A×B|xy=12} Solución: Este ejemplo es mas sencillo que el anterior, los elementos de los conjuntos A y B que cumplen con la propiedad xy=12 son: x=2↔y=6 ∨ x=3↔y=4 de aquí deducimos el dominio y rango de RR son: D(R)={2,3}∧R(R)={4,6} Propiedades del dominio y rango en una relación Es cierto que no se menciona muchas operaciones entre relaciones binarias (no confundir con las operaciones binarias, es decir, a ley de composición interna) en un curso de matemática discreta, pero en esta sección te las presento. Sean dos relaciones binarias R1 y R2 para los conjuntos A y B, se admiten las siguientes propiedades:  D(R1∪R2)=D(R1)∪D(R2)  D(R1∩R2)⊆D(R1)∩D(R2)

   

D(R1–R2)⊆D(R1)–D(R2) R(R1∪R2)=R(R1)∪R(R2) R(R1∩R2)⊆R(R1)∩R(R2) R(R1–R2)⊆R(R1)–R(R2)...