Clasificación DE Conjuntos PDF

Preview

Summary

INFORME...

Description

CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS

Definición de conjuntos Un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.

Relación de pertenencia Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolo ∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1,2,3,4,5,6}, podemos escribir 1 ϵ A, 2 ϵ A, …, 6 ϵ A. Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolo ∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉ A, - 3 ∉ A.

Determinación de conjuntos Por Extensión Un conjunto "D" está determinado por extensión cuando se mencionan uno por uno todos sus elementos o cuando, si son números, se mencionan los primeros de ellos (y se coloca puntos suspensivos). Ejemplos: D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado,domingo} C = {0, 1, 2, 3, 4, 5,…………………} Sin embargo, no todos los conjuntos pueden ser determinados de esta sobre todo cuando el número de elementos que constituyen el conjunto es muy elevado. Imagine los casos de aquellos conjuntos que tienen infinitos elementos como el conjunto de estrellas del universo. Es por ello, que necesariamente, se debe emplear otro procedimiento para determinar los conjuntos que tienen muchos elementos. A esta otra forma de determinar a un conjunto se le denomina comprensión que también se puede utilizar para cualquier conjunto.

Por Comprensión Un conjunto "D" está determinado por comprensión cuando se enuncia una ley o una función que permite conocer que elementos la cumplen y por tanto, van a pertenecer al conjunto D. Para diferenciar cada forma de determinar un conjunto veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1 D = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} Por comprensión: (una posible respuesta sería) D = {x/"x" es un día de la semana} Se lee: "El conjunto D está formado por todos los elementos "x" que satisfacen la condición de ser un día de la semana". Otra posible respuesta sería: "D es el conjunto constituido por todos los elementos "x" tal que X es un día de la semana"

Clases de conjuntos 1. Conjunto finito 1

Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

2. Conjunto infinito Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión.

3. Conjunto unitario En un conjunto formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.

4. Conjunto vacío 2

Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión.

5. Conjuntos homogéneos Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos.

6. Conjuntos heterogéneos A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel.

7. Conjuntos equivalentes Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos.

3

Conjunto Universal Con el ánimo de evitar ambigüedades, cuando definimos conjuntos debemos especificar de donde se están tomando los elementos que los conforman. Este conjunto base sobre el cual trabajamos es llamado conjunto universal. Si por ejemplo queremos definir B como el conjunto conformado por las vocales, nuestro conjunto universal podría ser el abecedario. Esta relación entre un conjunto y el conjunto universal al cual pertenecen sus elementos también puede ser representada por diagramas de Venn, utilizaremos siempre la letra U para representar el conjunto universal.

Relaciones entre conjuntos Al trabajar con conjuntos haciendo operaciones matemáticas, es importante saber representarlos de manera escrita. Por ello existen algunos símbolos importantes que te ayudaran a representar las relaciones entre ellos.

Subconjunto Para representar que un conjunto es subconjunto de otro usamos este símbolo que tiene la forma de una U acostada y subrayada. En este caso, queremos determinar que el conjunto A es subconjunto del B ya que 2, 4, 6 y 8 son números que también forman parte este último.

4

Unión Cuando queremos representar la unión de los elementos de dos conjuntos, usamos la letra U como símbolo. En la siguiente imagen, se simboliza un conjunto formado con todos los elementos tanto del conjunto C como del D. Por lo anterior, para representarlo de forma matemática usamos: "C U D".

Intersección Una intersección es el conjunto formado por los elementos que comparten o son comunes entre dos conjuntos, es decir, que forman parte tanto del uno como del otro. Para representar una intersección utilizamos este símbolo parecido a una U, pero al revés. En este caso, el ejemplo de la imagen señala la intersección de los conjuntos E y F.

Diferencia La diferencia se forma con los elementos de un conjunto que no pertenecen a otro. Dicho así, parece difícil de comprender, pero no lo es. En la imagen se representa un conjunto con los elementos de J que no pertenecen a K. Eso quiere decir que ambos conjuntos tienen elementos comunes, pero queremos formar un conjunto con aquellos elementos del conjunto J que no forma parte de la intersección.

5

OPERACIONES CON CONJUNTOS Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son: Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y B

Intersección La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Propiedades 6

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números naturales. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión. Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.

UNION DE CONJUNTOS DEFINICION DE UNION DE CONJUNTOS La UNION DE CONJUNTOS es la operación binaria, en la cual dos conjuntos cualesquiera, A y B, reunen sus elementos para formar otro conjunto U. EJEMPLO El conjunto de los numeros naturalez es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los números impares positivos.

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.

INTERSECCION DE CONJUNTOS La intersección de dos (o más) conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los números pares P y el conjunto de los cuadrados C de numeros naturales, su intersección es el conjunto de los cuadrados pares D :

En otras palabras: Así, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o}, entonces la intersección de dichos conjuntos estará formada por todos los elementos que estén a la vez en los dos conjuntos, esto es: A B = { a, e}

7

La intersección de conjuntos se denota por el símbolo ∩ por lo que D = P ∩ C.

EJEMPLO

Intersección de dos conjuntos A y B. Dados dos conjuntos A y B, su intersección es otro conjunto que contiene los elementos que pertenecen a ambos conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∩ B cuyos elementos son los elementos comunes a A y B :

Ejemplo.  Sean A = {5, λ, ♠, c} y B = {ω, c, 0, Δ, 5, R}. Entonces la intersección es A ∩ B = {5, c}.  Sean los conjuntos de números naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D = {n: n es un cubo}. Su intersección es C ∩ D = {n: n es una potencia de 2 y un cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es multiplo de 3} = {8, 64, 512, ...}.  Sean los conjuntos de números pares e impares. Su intersección es el conjunto vacio ∅, ya que no existe ningún número natural que sea par e impar a la vez. Cuando la intersección de dos conjuntos es vacía, se dice que son disjuntos: Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su intersección es el conjunto vacío:

Generalizaciones La intersección de un número finito de conjuntos, superior a dos, se define teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (mas abajo), el orden en el que se intersequen los conjuntos es irrelevante: La definición más general en teoria de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez: Sea M una familia de conjuntos. Su intersección ∩M se define como:

8

De este modo, la intersección de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de esta definición general: A ∩ B = ∩M, donde M = {A, B} A1 ∩ ... ∩ An = ∩M, donde M = {A1, ..., An} La intersección general de conjuntos se denota de diversas maneras:

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjuntos indice, definiendo M como {Ai: i ∈ I}.

Propiedades Artículo principal: Algebra de conjuntos De la definición de intersección puede deducirse directamente:  Idempotencia. La intersección de un conjunto A consigo mismo es el propio A : 

La intersección de A y B es un subconjunto de ambos:



La intersección de un conjunto B con un conjunto A que lo contenga, deja a B inalterado:

La intersección de conjuntos posee también propiedades similares a las operaciones con números:  Propiedad asociativa. La intersección de los conjuntos A y B ∩ C es igual a la intersección de los conjuntos A ∩ B y C : 

Propiedad conmutativa. La intersección de los conjuntos A y B es igual a la intersección de los conjuntos B y A :



Elemento absorbente. La intersección de un conjunto A con el conjunto vacío ∅ es ∅:

Todas estas propiedades se deducen de propiedades análogas para la conjunción lógica. En relación con la operación de unión existen unas leyes distributivas: Propiedad distributiva  A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), y por tanto: o A ∪ ( A ∩ B) = A  A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), y por tanto: o A ∩ ( A ∪ B) = A

Diferencia de conjuntos La diferencia entre dos conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el segundo. Por ejemplo, la diferencia entre el conjunto de los numeros naturales N y el conjunto de los numeros pares P es el conjunto de los números que no son pares, es decir, los impares I:

Como no hay ningún número par que no sea un número natural, la diferencia P menos N no tiene ningún elemento, por lo que es el conjunto vacio. La diferencia entre dos conjuntos A y B se denota por A \ B ó A − B, por lo que: N \ P = I, y también P − N = ∅. 9

EJEMPLO Dados dos conjuntos A y B, su diferencia es el conjunto que contiene todos los elementos de A que no están en B:

La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:

La diferencia entre A y B también se denomina complemento relativo de B en A, y se denota ∁AB, cuando el segundo es un subconjuntos del primero. Este nombre proviene de la relación entre las operaciones de diferencia y complemento. La norma ISO da preferencia a la notación conbarra invertida. Ejemplo.  Sean A = {♠, 5, z, R, 0} y B = {0, p, 9, z, Δ}. Sus diferencias son A \ B = {♠, 5, R} y B \ A = {p, 9, Δ}  Sean los conjuntos de numeros naturales P = {n: n es par} y P = {n: n es primo}. La diferencia P \ P es entonces {n: n es par y no es primo} = {n: n es par y compuesto} = {4, 8, 6, ...}. Por otro lado, P \ P = {n: n es primo y no es par} = {n: n es primo e impar} = {3, 5, 7, 11, ...}.  En la introducción se mostró que la diferencia P \ N es el conjunto vacío. Además, P \ I es igual a P: ningún número par es a la vez un número impar.

Propiedades Artículo principal:Algebra de conjuntos De la definición de la diferencia de conjuntos, puede deducirse inmediatamente:  Elemento neutro. La diferencia entre un conjunto y el conjunto vacío es el propio conjunto: 

La diferencia de un conjunto menos él mismo es el conjunto vacío:

Estas igualdades son un caso particular de la siguiente propiedad:  La diferencia entre dos conjuntos es el conjunto vacío si y sólo si el primero es un subconjunto del segundo: 

La diferencia entre dos conjuntos es igual al primer conjunto si y sólo si ambos 10

conjuntos son disjuntos: La intersección de dos conjuntos es la parte que tienen en común, mientras que la diferencia es la parte que no comparten. Esto se traduce en la siguiente propiedad: Dados dos conjuntos, su intersección y su diferencia son disjuntos entre sí, y su unión es el primero de los conjuntos iniciales: Esto quiere decir que la intersección y la diferencia entre A y B son una (posible) particion de A. La diferencia de conjuntos está muy relacionada con el complemento de un conjunto: El complemento de un conjunto es la diferencia entre el conjunto universal y él mismo: Es por esto que la diferencia de dos conjuntos, A menos B, se denomina también el complemento relativo de B respecto de A: A \ B es el complemento absoluto de B, considerando a A como el conjunto universal . Las leyes de De Morgan y otras propiedades del complemento de un conjunto tienen entonces su contrapartida en la diferencia de conjuntos, si se tiene en cuenta que Si se considera un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos es la intersección del primero con el complemento del segundo:

DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOS la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operacion que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de los numeros pares P y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados:

La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

Definición

11

Diferencia simétrica de dos conjuntos A y B. Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos: La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son todos los elementos de A o B, a excepción de los elementos comunes a ambos: si y sólo si, o bien o bien Ejemplo.  Sean A = {a, ♠, 5, Z} y B = {8, #, a, Γ, ♠}. La diferencia simétrica es A Δ B = {5, Γ, #, Z, 8}.  Sean los conjuntos de poligonos T = {pentagonos} y R = {poligonos regulares}. La diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o sea: R Δ T = {Pentágonos irregulares y polígonos regulares que no posean 5 lados}. La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de unión, intersección y diferencia:

Generalizaciones La diferencia simétrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia simétrica de más de dos conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones es irrelevante. Así es que se puede definir la diferencia simétria de una familia de conjuntos finitas Puede comprobarse que una definición alternativa para esta diferencia de varios conjuntos es incluir sólo los elementos que aparecen un número impar de veces:

Propiedades Artículo principal: Algebra de conjuntos De la definición de diferencia simétrica puede deducirse directamente:  Nilpotencia. La diferencia simétrica de un conjunto consigo mismo es el conjunto vacío: 

La diferencia simétrica de un conjunto y uno de sus subconjuntos es la diferencia entre ellos:

La diferencia simétrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con números:  Propiedad asociativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B Δ C es igual que la diferencia simétrica de los conjuntos A Δ B y C : 

Propiedad conmutativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es igual a la diferencia simétrica de los conjuntos B y A :



Elemento neutro. La diferencia simétrica de un conjunto A con el conjunto vacío es el mismo conjunto A:

12

Además, con respecto a la intersección existe una ley distributiva: Propiedad distributiva Las propiedades de la intersección y la diferencia simétrica son similares a las del producto y la suma en Z2. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto dado X tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de X con valores en Z2, con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada subconjunto de X su función característica.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO El complemento o el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar qué tipo de elementos se están utilizando, o de otro modo, cuál es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de numeros naturales, el complementario del conjunto de los numeros primos P es el conjunto de los números no primos C, que está formado por los numeros compuestos y el 1:

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se denota por una barra horizontal o por el superindice « ∁», por lo que se tiene: P∁ = C, y también C = P. El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y diferencia) tienen propiedades similares.

Definición

Complementario de un conjunto A. Dado un conjunto A, su complementario es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A: El complementario de A es otro conjunto A∁ cuyos elementos son todos aquellos que no están en A: 13

Esta definición presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues de otro modo, en la afirmación «todos los x que no están en A», la palabra «todos» es ambigua. Si se menciona explícitamente el conjunto universal U, entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que no están en A, por lo que la relación con la diferencia es clara: Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos conjuntos puede expresarse utilizando la noción de complementariedad:...