Características de los conjuntos y subconjuntos en Conjuntos y Relaciones PDF

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Características de los conjuntos y subconjuntos con: su descripción su representación sus propiedades y operación en la materia Sistemas Numéricos tema Conjuntos y Relaciones...

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Tecnológic ecnológico Instituto T ecnológic o de Linares

ASIGNATURA: CONJUNTOS Y RELACIONES

DOCENTE: MIGUEL ANGEL GALLEGOS DE LA CRUZ

ACTIVIDAD:

CARACTERISTICAS DE LOS CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

CARRERA: INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

PRESENTA: PABLO ADRIEL NACIANCENO ARREDONDO No. De Control: 21720116

LINARES, NUEVO LEÓN 20 DE SEPTIEMBRE DE 2021

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Introducción al tema. En este trabajo se hablará de los conjuntos que es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX, concepto de conjunto es uno de las más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explica, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito. Incluyendo así mismo el tema de subconjuntos.

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Conjuntos y subconjuntos. Conjuntos. Un conjunto es la agrupación de diferentes elementos que comparten entre sí características y propiedades semejantes. Estos elementos pueden ser sujetos u objetos, tales como números, canciones, meses, personas, etc. Por ejemplo: el conjunto de números primos o el conjunto de planetas del sistema solar. A su vez, un conjunto puede convertirse también en un elemento. Por ejemplo: en el caso de un ramo de flores, en principio una flor sería el primer elemento, pero al conjunto de flores se lo puede considerar luego como un ramo de flores, convirtiéndose así, en un nuevo elemento. Para graficar un conjunto se utilizan corchetes para delimitar los elementos que lo conforman, que se separan entre sí mediante comas. Por ejemplo: Se define a “S” como el conjunto de los días de la semana, por lo tanto, S= [lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo].

Tipos de conjuntos A la hora de formar un conjunto, la manera y el porqué de la agrupación de los elementos que lo conforman puede variar dando lugar a diferentes tipos de conjuntos, que pueden ser: ● Conjuntos finitos. Sus elementos pueden contarse o enumerarse en su totalidad. Por

ejemplo: los meses del año, los días de la semana o los continentes. ● Conjunto infinito. Sus elementos no se pueden contar o enumerar en su totalidad, debido ● ● ● ●

a que no tienen fin. Por ejemplo: los números. Conjunto unitario. Está compuesto por un único elemento. Por ejemplo: La Luna es el único elemento en el conjunto “satélites naturales de la Tierra”. Conjunto vacío. No presenta ni contiene elementos. Conjunto homogéneo. Sus elementos presentan una misma clase o categoría. Conjunto heterogéneo. Sus elementos difieren en clase y categoría.

Respecto a la relación entre conjuntos, pueden ser: ● Conjuntos equivalentes. La cantidad de elementos entre dos o más conjuntos es la

misma. ● Conjuntos iguales. Dos o más conjuntos están compuestos por elementos idénticos.

Representación de los conjuntos.

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La representación de los conjuntos no es más que una forma de mostrar cómo se escriben o cómo se pueden dibujar. Hay tres formas de representar los conjuntos, por medio de diagramas de Venn, por extensión y por comprensión. Diagrama de Venn: El diagrama de Venn no es más que la representación gráfica de los conjuntos. Es decir, cuando los elementos que componen el conjunto se encuentran dentro de una superficie limitada por una línea:

Suponiendo que tienes una bolsa en la que hay diferentes frutas. Entonces, al traducirlo como un conjunto se vería la “A” como lo que representa todas frutas. El círculo sería la bolsa y lo que se encuentra adentro, en este caso cada una de las frutas (manzana, plátano, naranja) serían los elementos que forman el conjunto de las frutas. Por extensión: Es una representación escrita de los conjuntos y se utilizan las llaves para hacerlo. Por ejemplo: A={Manzana, Mora, Fresa, Sandia, Plátano, Naranja}

Básicamente, dice lo mismo que en el ejemplo que utilizamos en el Diagrama de Venn, solo que está de forma escrita: “A” es la representación de todas las frutas. Las llaves cumplirían el papel bolsa donde están las frutas. Y la Manzana, Banano, Naranja serían cada uno de los elementos que están conformando el conjunto.

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Por comprensión: Es otra forma de representar los conjuntos de manera escrita y se encontrara algo como esto: A={X | X es una fruta} Solo es una forma de abreviar la representación escrita de los conjuntos cuando están conformados por demasiados elementos y se complica mencionar cada uno de ellos. La expresión mencionada anteriormente se lee de la siguiente forma: "A” es el conjunto de los x tales que x es una fruta". Es decir, la x representa a cualquier elemento que haga parte de conjunto, en este caso, serían muchas frutas. Cuando se hace alusión a este tipo de representación de los conjuntos, solo se menciona la característica que tienen en común y no a cada uno de los elementos que lo componen. La primera x está representando o mencionando cada uno de los elementos que componen el conjunto. En la segunda, solo mencionas la característica que tienen en común todos los elementos de ese conjunto.

Operación y problemas de los conjuntos. También conocidas como algebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. Las operaciones con conjuntos son unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.

Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

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También se puede graficar del siguiente modo:

Intersección: Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir, dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Diferencia: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es

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decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será AB={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Diferencia simétrica: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Complemento: Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido

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en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

Subconjuntos. Se denomina subconjunto al conjunto que se encuentra dentro de otro conjunto, es decir, el conjunto A es subconjunto del conjunto B, si todos los elementos de A están incluidos en B.

Por ejemplo: ●

Los mamíferos son un subconjunto del conjunto animales.

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● ● ● ●

Los números impares son un subconjunto del conjunto números naturales. Los países de América del Sur son un subconjunto del conjunto países del mundo. Los meses de primavera son un subconjunto del conjunto meses del año. Los niños de primer grado son un subconjunto del conjunto de niños de la escuela.

Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si cada elemento en A está también en B . Por ejemplo, si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, entonces A es un subconjunto de B , y escribimos

La línea debajo de la U de lado significa que A también puede ser igual a B (esto es, estos pueden ser conjuntos idénticos). Si queremos decir que A es un subconjunto apropiado de B (esto quiere decir: es un subconjunto, pero hay por lo menos un elemento en B que no está en A ) entonces podemos eliminar la línea:

Para escribir que un conjunto no es un subconjunto de otro conjunto, solo coloque una diagonal a través de la U de lado:

Conclusión

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Se aprendió mucho en esta investigación, cosas como si un elemento tiene la característica común de los elementos de un conjunto, entonces pertenece al conjunto y si no tiene la característica común del conjunto no pertenece a este. Así comprendemos que se denomina conjunto unión al conjunto formado por la reunión de todos los elementos que conforman dos o más conjuntos. Trabajar el tema resulto muy entretenido, fue bueno desarrollar ejercicios referentes al tema, ya que nos permiten comprender mejor y de ese modo cambiemos nuestra perspectiva de ver las matemáticas.

Bibliografías https://concepto.de/que-es-un-conjunto/

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https://edu.gcfglobal.org/es/temas-basicos/la-representacion-de-los-conjuntos/1/ https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03OperacionesConjuntos.php https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/subsets...