1 - Conjuntos y Desigualdades PDF

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Explicación y ejemplos de los conjuntos y la desigualdades...

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Tema: Conjuntos y desigualdades ▪ Por qué estudiar matemáticas en Economía ▪ El sistema de los números reales ▪ Conceptos básicos ▪ Algunos aspectos de lógica ▪ Demostración matemática ▪ Teoría de conjuntos y desigualdades

Tema 1: Introducción

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La Economía como ciencia empírica •

Observación del fenómeno de estudio (directa o indirectamente).

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Procesamiento numérico y estadístico de los datos.

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Construcción de un modelo teórico que describa el fenómeno observado.

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Utilización del modelo teórico para predecir (o explicar).

•

Corrección y mejora del modelo para obtener mejores predicciones. – Hay teorías que quedan desacreditas por los datos. Ejemplo: La “Curva de Phillips” relaciona el empleo y la inflación ➔ se podía crear empleo con más inflación (aumentando el gasto público y reduciendo los impuestos) pero...entre 1973-1982 se observa una elevada inflación y alto desempleo que ponen en duda la teoría!

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El sistema de los números reales •

Números naturales (IN): los que se utilizan para contar (1,2,...). Parece fácil pero en sus orígenes fue una revolución! – Si se suman o multiplican dos números naturales se obtiene otro número natural. – Sin embargo, las operaciones como la diferencia o la división sugieren que debe existir el 0 (4-4), los negativos (3-5) y las fracciones (3/5)...

•

Números enteros (Z): 0, ±1, ±2, ±3, ... Se pueden representar en una recta numérica.

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El sistema de los números reales •

Números racionales (fracciones): son aquellos que se pueden escribir en la forma a/b donde a y b son enteros. Un entero n también es un número racional porque n/1=n. También pueden representarse en la recta numérica. – Número racionales con un número finito de cifras decimales ➔ Fracciones decimales finitas. – Número racionales con un número infinito de decimales ➔ Fracciones decimales infinitas , ej.: 100/3 = 33,3333...

•

Una fracción decimal es periódica si hay un cierto lugar en la expresión decimal a partir del cual se repite indefinidamente una sucesión finita de dígitos, ej.:11/70 = 0,1 571428 571428 ...

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El sistema de los números reales •

Números irracionales: aquellos que no son racionales, es decir, no se pueden expresar como una fracción finita o periódica. –

p y q tales

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α n (n=1,2,...) una sucesión de dígitos de 0 a 9. – Es complicado demostrar si un número real es racional o irracional – Cuando las cuatro reglas de la aritmética se aplican a los números reales, el resultado es un número real. La única excepción es que no se puede dividir por cero (x/0 no está definido para ningún nº real x).

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Algunos aspectos de lógica •

Proposiciones: Las afirmaciones que son ciertas o falsas se llaman enunciados o proposiciones. – “Todos los individuos que respiran están vivos” es un ejemplo de una proposición cierta. – “Todos los individuos que respiran están sanos” es un ejemplo de una proposición falsa. – La afirmación “x2 – 1=0” genera proposiciones diferentes al sustituir la x por diferentes números reales, algunas ciertas (x = 1 ó x = -1) y otras falsas (para x diferentes a 1 ó -1). Por tanto, se dice que la afirmación es una proposición abierta.

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Implicaciones: Supongamos que P y Q son dos proposiciones tales que, cuando P es cierta, Q lo es necesariamente. En este caso, escribimos P ➔ Q que se lee “P implica Q” o “Si P, entonces Q”.

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Algunos aspectos de lógica •

Implicaciones (cont.): algunos ejemplos de implicaciones verdaderas: a) x > 2 ⇒ x2 > 4 b) x·y = 0 ⇒ x = 0 ó y = 0 c) x es un cuadrado ⇒ x es un rectángulo d) x es una persona sana ⇒ x respira

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“P o Q” en matemáticas significa “o P, o Q, o ambas”.

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Equivalencia: en algunos casos en que la implicación P ➔ Q es válida, puede deducirse la conclusión lógica en la otra dirección Q ➔ P. En estos casos, se puede escribir ambas implicaciones en una única equivalencia lógica P ⇔ Q. En este caso, se dice que “P es equivalente a Q” o “P si y solo si Q”. * (b) es un ejemplo de equivalencia.

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Algunos aspectos de lógica •

Condiciones necesarias y suficientes: – Si “P implica Q”, es decir, P ➔ Q, se dice que P es una condición suficiente para Q ya que es suficiente que ocurra P para que ocurra Q. – Al decir que Q es necesaria para P, se dice que P no puede ser verdadera a menos que Q lo sea.

– Implicación cierta “X es una persona sana ➔ X respira” • Una condición necesaria para que X sea una persona sana es que X respire. • Una condición suficiente para que X respire es que X sea una persona sana.

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Algunos aspectos de lógica •

No es lo mismo decir que: 1. “P es una condición necesaria para Q” (Q ➔ P) 2. “P es una condición suficiente para Q” (P ➔ Q) Ejemplo: a) Respirar es una condición necesaria para que una persona esté sana. b) Respirar es una condición suficiente para que una persona esté sana.

•

La proposición a) es cierta en cambio la proposición b) es falsa (porque un enfermo vivo respira!).

•

Propuesta de ejercicio: El uso de las flechas de implicación y equivalencia puede ayudar a evitar errores en la resolución de ecuaciones. Hallar todos los x tales que: – Ejercicio 1: – Ejercicio 2:

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Demostración matemática •

Todo teorema (resultado) matemático se puede formular como una implicación ➔Q

P

– P representa una o varias proposiciones (premisas, “lo que sabemos”). – Q representa una o varias proposiciones (conclusiones, “lo que queremos saber”). • •

3 tipos de métodos comunes de demostrar una implicación: – Demostración directa de P ➔ Q: se parte de las premisas P y sucesivamente se llega a la conclusión Q. – Demostración indirecta de P ➔ Q: Se parte de que Q no es cierta y se prueba que P tampoco puede ser cierta. P➔Q

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es equivalente a

no Q ➔ no P

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Demostración matemática •

(cont.) 3 tipos de métodos comunes de demostrar una implicación: – Demostración por contradicción (o por reducción al absurdo): se basa en un principio lógico fundamental: es imposible que una cadena de inferencias válidas vaya de una proposición verdadera a una falsa. • Si tenemos una proposición P y deducimos una contradicción de la suposición de que P sea falsa, se deduce que P debe ser verdadera.

•

Propuesta de ejercicio: Usar los tres métodos anteriores para demostrar que

•

Otro método: demostración por inducción (consúltese bibliografía básica apéndice).

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Conceptos básicos •

Intervalos: si a y b son dos números de la recta numérica, el conjunto de los números que están entre a y b se llama intervalo.

– Intervalos no acotados:

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Teoría de conjuntos •

Conceptos básicos: – Pertenencia – Subconjuntos: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Entonces A es un subconjunto de B si se verifica que todo elemento de A es también un elemento de B y se expresa como

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Operaciones con conjuntos: unión, intersección y diferencia.

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Teoría de conjuntos •

Un conjunto es una lista de elementos, en cualquier orden, entre las dos llaves {...}. – Por ejemplo, S={a,b,c} es un conjunto cuyos elementos (o miembros) son las tres primeras letral del alfabeto. El conjunto S también podría designar al conjunto de las raíces de la ecuación cúbica (x-a)·(x-b)·(x-c)=0 donde x es la incógnita y a, b, c números reales cualesquiera.

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Se considera que dos conjuntos son iguales (A=B) si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A. Por ejemplo, {1,2,3}={3,2,1} o {1,1,2,3}={1,2,3}.

•

Algunos conjuntos son infinitos, por tanto, es imposible dar una lista de todos sus elementos! – Un ejemplo:

Hallar todos los x tales que 3x – 2 ≤ 5 . Representad el conjunto solución en la recta real.

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Teoría de conjuntos •

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no contienen elementos en común.

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El símbolo ∅ designa al conjunto que no tiene ningún elemento (conjunto

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Una colección de conjuntos se llama usualmente una familia de conjuntos. Cada conjunto de ella es un subconjunto de un conjunto fijo Ω llamado conjunto universal.

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Si A es un subconjunto del conjunto universal Ω, según la definición de diferencia, Ω \ A es el conjunto de los elementos de Ω que no están en A. A este conjunto se le llama complementario de A en Ω y lo designaremos como Ac.

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Teoría de conjuntos •

Diagramas de Venn:

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Propuesta de ejercicio: el diagrama de Venn puede ser útil para verificar propiedades de los conjuntos. Comprobad que la siguiente fórmula es cierta mediante diagramas de Venn:

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Conceptos básicos •

Valor absoluto: El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Así 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

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El valor absoluto de a se designa por | a | y

– Sean x1, x2 dos puntos arbitrarios. La distancia entre x1 y x2 en la recta numérica es igual a x1 – x2 si x1>=x2 y a –(x1 – x2) si x1...