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Salomón Cordero Sánchez...

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Cálculo Diferencial Dr. Salomón Cordero Sánchez https://sites.google.com/site/salcsmx/ Grupo CA01 • Trimestre 17I• 16 de Enero del 2017

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Intervalos y Desigualdades!

Desigualdades Simples

Intervalos y Desigualdades 1. DESIGUALDADES Un concepto de gran importancia en el cálculo consiste en la resolución de desigualdades. Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que hace que la desigualdad sea verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución por lo regular consiste en un número o quizá en un conjunto finito de números, el conjunto solución de una desigualdad por lo regular es un intervalo completo de números o, en algunos casos, la unión de tales intervalos. 1.1. (1) (2)

(3)

Objetivos Comprender el significado del conjunto solución de una desigualdad. Aprender a resolver una desigualdad lineal simple aplicando las propiedades básicas de las desigualdades. Representar el conjunto solución de manera (i) gráfica, y (ii) con intervalos.

1.2. Resolución de Desigualdades Como con las ecuaciones, el procedimiento para resolver una desigualdad consiste en transformar la desigualdad un paso a la vez hasta que el conjunto solución sea obvio. Podemos realizar ciertas operaciones en ambos lados de una desigualdad sin cambiar su conjunto solución. En particular: I.

Podemos sumar o restar el mismo número a ambos lados de una desigualdad.

II.

Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por el mismo número positivo.

III. Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una desigualdad por el mismo número negativo, pero entonces debemos invertir el sentido del signo de la desigualdad. Las propiedades señaladas anteriormente pueden resumirse en el siguiente cuadro: [email protected]!

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Propiedades para resolver Desigualdades  Si a > b, entonces a + c > b + c

Si a > b, entonces a − c > b − c Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b y c > 0, entonces

a b > c c

1

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc Si a > b y c < 0, entonces

a b < c c

1.3. Graficar soluciones en la recta numérica, notación de intervalo y conjuntos solución Los intervalos utilizan una terminología y notación especial. La desigualdad a < x < b, que en realidad son dos desigualdades, a < x y x < b, describe un intervalo abierto que consiste en todos los números entre a y b, pero que no incluye los puntos extremos a y b. Lo denotamos por medio del símbolo (a, b) (figura 1).

Figura 1

En contraste, la desigualdad a ≤ x ≤ b describe el correspondiente intervalo cerrado, que incluye los extremos a y b. Se denota como [a, b] (figura 2).

Figura 2

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1.4. Ejemplo 1 2z 1 Proporcione el conjunto solución de la desigualdad: z − < +2 4 2 3

Solución 1 1 2 z− < z+2 2 3 4 1⎞ ⎛1 ⎛2 ⎞ 12 ⎜ z − ⎟ < 12 ⎜ z + 2⎟ se multiplican ambos lados por el mcm) ⎝4 ⎝3 ⎠ 2⎠ 3z − 6 < 8z + 24 3z − 8 z − 6 < 8 z − 8 z + 24 (reste 8z en ambos lados) −5z − 6 < 24 −5z − 6 + 6 < 24 + 6 (sume 6 en ambos lados) −5z < 30 −

30 5 z< (divida ambos lados por 5) 5 5 − (−z ) > − ( 6)

(multiplique ambos lados por -1)

z > −6

Solución

Recta Numérica

Notación de intervalo (-6, ∞)

1.5. Tabla de aprendizajes

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Aprendizajes Cálculo del (1) mínimo común múltiplo (mcm).

Ejercicios

Respuestas

(a) Determina el mcm de los números 5,15 y 4.

(a) 60

(b) Calcula el mcm de los

(b) 42

números 3, 7 y 2. Simplificación de (2) una ecuación lineal con fracciones.

(c) Elimina las fracciones en la ecuación

(c) ! 21x + 20 x = 70

3 4 ! x+ x=2 7 5

Aplicar (3)

adecuadamente las

5 (d) Resuelve: ! − x < 10 6 propiedades de una

(d) ! x > −12

desigualdad. Representar el (4) conjunto solución con intervalos.

(e) Representa con

7 (e) ! x ∈ ⎛⎜ −3, ⎟⎞ ⎝ 8⎠

7 intervalos: ! −3 < x < 8

(f) Representa la gráfica de: (f) Representar el (5) conjunto solución de manera gráfica.

! x < −2 ∪ x > 1 (g) Representa la gráfica de: (g) ! x > −3 ∩ x < 4 !

1.6. Ejercicios Exprese el conjunto solución de la desigualdad dada en notación de intervalos y sobre la recta numérica.

Respuestas

1 1 5 5 1.  + x ≤ x − 3 6 3 2

[ 6,∞)

5 1 2 3 2.  x − > x − 10 5 4 6

⎛ 18 ⎞ ⎜⎝ ,∞ ⎟⎠ 5

3. 

5 − x x −17 x 7x − 3 − ≥ − 4 2 12 3

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(−∞,13] 4

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4.

 −5 < 3x +1 < 13

5.

 −1 <

6. 

5−x ≤7 3

1 x −1 1 > > 9 5 3

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(−2, 4 )

[ −16,8) ⎛ 14 8 ⎞ ⎜⎝ , ⎟⎠ 9 3

5...