Intervalos de confianza PDF

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6.-El precio de un determinado artículo en los comercios de una ciudad sigue una distribución normal. Se toma una muestra aleatoria simple de ocho comercios y se observa el precio de dicho artículo, obteniendo las siguientes observaciones: 132, 125, 130, 139, 126, 138, 124, 140. Obtener al nivel de ...

Description

Chirino García Gustavo Giovanni

Estadística (1400) G14

6.-El precio de un determinado artículo en los comercios de una ciudad sigue una distribución normal. Se toma una muestra aleatoria simple de ocho comercios y se observa el precio de dicho artículo, obteniendo las siguientes observaciones: 132, 125, 130, 139, 126, 138, 124, 140. Obtener al nivel de confianza del 95% un intervalo de confianza para la varianza poblacional. Parámetro a estimar: 𝜎 2

(𝑛 − 1)𝑠 2 (𝑛 − 1)𝑠 2 2 ≤ ≤ 𝜎 2 2 𝑥1−𝛼/2.𝑛−1 𝑥𝛼/2.𝑛−1

n=8 s= 6.563 1-α=0.95 α = 0.05 2 2 = 𝑥0.025,7 = 16,0128 𝑥𝛼/2.𝑛−1 2 2 𝑥1−𝛼/2.𝑛−1 = 𝑥0.975,7 = 1,6899 7(43.073 ) 7(43.073 ) ≤ 𝜎2 ≤ 1.6899 16.0128 𝟏𝟖. 𝟖𝟑 ≤ 𝝈𝟐 ≤ 𝟏𝟕𝟖. 𝟒𝟏 La varianza verdadera del precio de cierto artículo se encuentra entre 18.83 y 178.41 con un nivel de confianza del 95%. 7.- Supongamos que las calificaciones en la asignatura de inferencia siguen una distribución normal en los dos grupos existentes. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 24 alumnos del primer grupo y otra de 26 alumnos del segundo grupo, ambas independientes, y se obtienen como varianzas 1250 y 900 respectivamente. Obtenga un intervalo de confianza para el cociente de varianzas poblacionales al nivel de confianza del 90%. 𝑠12

2 𝑓1−𝛼/2,𝑛2 −1,𝑛1 −1 ≤

𝑠2 𝑛1= 24 𝑛2 = 26 𝑠1 = 1250 𝑠2 = 900 1-α= 0.90 α= 0.10 𝑓𝛼/2,𝑛2 −1,𝑛1 −1 = 𝑓0.05,25,23 = 2

𝜎12 𝑠12 ≤ 𝑓𝛼/2,𝑛2 −1,𝑛1 −1 𝜎22 𝑠22

𝑓1−𝛼/2,𝑛2 −1,𝑛1 −1 = 1250 1 ()≤ 900 2

1

=

𝑓𝛼/2,𝑛2 −1,𝑛1 −1 2 𝜎1 1250 (2) ≤ 𝜎22 900

1 2

Chirino García Gustavo Giovanni

Estadística (1400) G14 𝟐

𝝈𝟏 𝟎. 𝟔𝟗 ≤ 𝝈𝟐𝟐 ≤ 𝟐. 𝟕𝟕 El cociente de las varianzas real de las calificaciones de la asignatura se encuentra entre 0.69 y 2.77 con un nivel de confianza de 90%.

8.- En una central telefónica se seleccionan 150 llamadas, observándose que el tiempo medio que tardan en descolgar el teléfono los receptores era de 2 segundos, con una desviación estándar de 0,61 segundos. Se pide, para un nivel de confianza de al menos el 99%, obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio que tardan los usuarios en descolgar el teléfono, suponiendo que la desviación estándar poblacional es 0,60 segundos. 1- Parámetro a estimar: μ 2- Varianza poblacional: 𝜎 2 = 0.35 𝑠 2 𝑥 − 𝑧𝛼/2 𝜎/√𝑛 ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝑧𝛼/2 𝜎/√𝑛 𝑥 =2𝑠 𝜎 2 = 0.35 𝑠 2 𝜎 = 0.60 𝑛 = 150 1-α = .99 α=0.01 α/2=0.005 𝑧0.005 = 2.6 2𝑠 − 2.6(0.60𝑠)/√150 ≤ 𝜇 ≤ 2𝑠 + 2.6(0.60)/√150 𝟏. 𝟖𝟕𝒔 ≤ 𝝁 ≤ 𝟐. 𝟏𝟑𝒔

La media real del tiempo medio que tardan en descolgar el teléfono los receptores cierta población se encuentra entre 1.87s y 2.13s con un nivel de confianza del 99%

9.- Se selecciona una muestra aleatoria simple de 600 familias a las que se les pregunta si tienen ordenador en casa, resultando que 240 contestan afirmativamente. Obtener un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporción real de familias que poseen ordenador. El 40% de las familias tienen ordenador

𝑝 = 0.4

𝑝 − 𝑧𝛼 √ 2

𝑝 (1 − 𝑝 ) 𝑝 (1 − 𝑝 ) ≤ 𝑝 ≤ 𝑝 + 𝑧𝛼/2 √ 𝑛 𝑛

Chirino García Gustavo Giovanni

n = 600 1 – α=0.95 α = 0.05 α/2= 0.025 𝑧0.025 = 1.96

Estadística (1400) G14

0.4 − 1.96√

0.4(0.6) 0.4(0.6) ≤ 𝑝 ≤ 0.4 + 1.96√ 600 600 𝟎. 𝟑𝟔 ≤ 𝒑 ≤ 𝟎. 𝟒𝟒

La proporción real de familias con ordenador en casa se encuentra entre 0.36 y 0.44 con un nivel de confianza del 95%

10.- En una ciudad A se toma una muestra aleatoria simple de 98 cabezas de familia de las cuales 48 han sido poseedores de acciones de una compañía. En otra ciudad B se selecciona otra muestra aleatoria simple de tamaño 127 cabezas de familia de las cuales 21 han sido poseedores de acciones de la misma compañía. Obtener un intervalo de confianza al 95% para la diferencia entre proporciones de cabezas de familia que han sido poseedor de este tipo de acciones en ambas ciudades. Ciudad A = 49 % han sido poseedores de acciones de una compañía Ciudad B = 17 % han sido poseedores de acciones de una compañía 𝑝 1 − 𝑝 2 − 𝑧𝛼 √ 2

• • • • • • • •

𝑝 1 = 0.49 𝑝 2 = 0.17 𝑛1 = 98 𝑛2 = 127 1 – α=0.95 α = 0.05 α/2= 0.025 𝑧0.025 = 1.96

𝑝 1 (1 − 𝑝 1 ) 𝑝 2 (1 − 𝑝 2 ) + ≤ 𝑝 1 − 𝑝 2 𝑛1 𝑛2 ≤ 𝑝1 − 𝑝 2 + 𝑧𝛼 √ 2

𝑝1 (1 − 𝑝 1 ) 𝑝 2 (1 − 𝑝 2 ) + 𝑛1 𝑛2

Chirino García Gustavo Giovanni

0.32 − 1.96√

Estadística (1400) G14

0.49(0.51) 98

+

0.17(0.83) ≤ 𝑝 1 − 𝑝 2 127

≤ 0.32 + 1.96 √

0.49(0.51) 98

𝟎. 𝟐 ≤ 𝒑 𝟏 − 𝒑 𝟐 ≤ 𝟎. 𝟒𝟒

+

0.17(0.83) 127

La diferencia de proporción real de cabezas de familia poseedoras de acciones de una compañía encuentra entre 0.2 y 0.44 con un nivel de confianza del 95%

11.- La longitud de las barras producidas por una cadena de producción es una variable aleatoria con distribución normal y desviación estándar 1.8 mm. Se extrae una muestra aleatoria simple de 9 observaciones y se obtiene el siguiente intervalo de confianza al nivel del 99% para la longitud media poblacional: [194.65, 197.75] mm. El director cree que el intervalo es demasiado amplio y exige uno con el mismo nivel de confianza, pero cuya longitud no sea superior a 1mm. ¿Cuántas observaciones debe tener la muestra para construir dicho intervalo?...