Estimación Puntual y Estimación por Intervalos de Confianza PDF

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MEXICOINSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANAUNIDAD 4TAREA 1PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAREALIZAR LOS SIGUIENTES PROBLEMAS MEDIANTE ESTIMACIÓNPUNTUAL O ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZAː, L7 medi7 sem7n7l de hoũ7s de 7sistenci7 7 un7 bibliotec7 de cu7tũo miembũos de un7 f7mili7 es...

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MEXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

UNIDAD 4 TAREA 1 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

REALIZAR LOS SIGUIENTES PROBLEMAS MEDIANTE ESTIMACIÓN PUNTUAL O ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA  1) La media semanal de horas de asistencia a una biblioteca de cuatro miembros de una familia es 3, 7, 5 y 4 respectivamente. ¿Cuál puede considerarse la media semanal de asistencia a la biblioteca de la familia? x = 3 + 7 4+ 5 + 4 = 19 4.75  4 = 2) En una ciudad se toma una muestra de 160 personas, de las cuales 49 practican deporte. Determina y calcula un estimador puntual para la proporción de personas que practican deporte en la ciudad. 49 = 0.3063  p = 160  3) Se ha realizado un estudio estadístico sobre el peso, en kg, y el sexo de los recién nacido durante seis meses en un hospital. El peso de 15 de ellos es: 3215 3315 2987 2853 3054 2900 2873 3108 3115 2799 2869 3008 3106 3115 2875 Además, 7 de esos bebés son niños. Determina un estimador puntual para: a) El peso medio de la población. 3108 +3115 +2799+ 2869+ 3008+ 3106+ 3115+ 2875 45192 x = 3215 +3315 +2987 +2853 +3054 +2900 +2873+ 15 = 15 = 3012.8  b) La proporción de niños nacidos. 7 = 0.4667  p = 15  4) Con una muestra de 200 personas, para determinar su altura media "en metros", se ha obtenido el intervalo de confianza (1,60 ; 1,76) con un nivel de confianza del 95%. Interpreta este resultado y decide cuál será el error máximo admisible. S = 0.6 zα/2 =

95 1+ 100 2

= 0.975 = 1.96

Error máximo admisible = 1.96 ( √0.6 ) = 0.0832  200  5) Halla las siguientes probabilidades en una distribución N ( 0, 1 ) a) P (Z ≤ 1,28) = 0 .8997 b) P (Z ≥ 0,65)=1 - 0.7422 = 0.2578 c) P (Z ≤ -1,17)=1 - 0.8790 = 0.1210 d) P (Z ≥ -1,76)= 0.9608  6) Sea Z una variable aleatoria que sigue una distribución N ( 0, 1 ). Hallar el valor de K en cada una de las siguientes igualdades: a) P ( Z ≤ K ) = 0,8485 b) P ( Z ≥ K ) = 0,9972 K= 1.03 K= -2.77 c) P ( 1 ≤ Z ≤ K ) = 0,15  P ( 1 ≤ Z ≤ K )= P( Z ≤ K) - P(Z≤1) = P( Z ≤ K) - 0.8413 = 0.15 P( Z ≤ K) = 0.15 + 0.8413 =0.9913 K= 2.38 d) P ( Z ≤ 2 + k ) = 0,9896 2 + K = 2.31 K= 2.31 - 2 = 0.31

 7) En una distribución N ( 23 ; 3 ), halla las siguientes probabilidades : a) P ( x ≤ 30 ) b) P ( x ≥ 15 ) z = 30 −3 23 = 2.33 P(z ≤ 2.33) = 0.9901 z = 15 3− 23 = -2.67 P(z ≥ -2.67) = 0.9962 c) P ( 19 ≤ x ≤ 21 )  19−23 21−23 P( 3 ≤ z ≤ 3 ) = P (-1.33 ≤ z ≤ -0.67 ) = P (0.67 ≤ z ≤ 1.33) =  P(z ≤ 1.33) - P(z ≤ 0.67)= 0.9082 -0.7486 = 0.1596 d) P ( 25 ≤ x ≤ 29 ) 29−23 P( 25−23 3 ≤z≤ 3 ) = P (0.67 ≤ z ≤ 2 ) = P(z ≤ 2) - P(z ≤ 0.67)= 0.9772 -0.7486 = 0.2286   8) En una distribución N ( 9 ; 0,5 ), calcula el valor de K para que se cumplan las siguientes igualdades : a) P ( x ≤ K ) = 0,9608 b) P ( x ≥ K ) = 0,5199 K −9 −9 z ≤ 0.5 = 1.76 z ≥ K0.5 = 0.05  K= 1.76 (0.5) + 9 = 9.88 K= - 0.05 (0.5) + 9 = 8.975 c) P ( x ≤ K ) = 0,8212 d) P ( x ≥ K ) = 0,8830 K −9 −9 z ≤ 0.5 =0.92 z ≥ K0.5 = 1.19  K= 0.92 (0.5) + 9 = 9.46 K= -1.19 (0.5) + 9 = 8.405  9) Si fijamos el nivel de confianza Nc = 95% hallar el valor crítico z

/2

95 1+ 100 2

zα/2 = = 0.975 = 1.96  10) Calcula los valores críticos correspondientes : 1 - 0.185 = 0.815 P( Z ≤zα/2) = 0.815 a) = 0,37 2α = 0.37 2 = 0.185 b) c)

= 0,006 2α = 0.006 = 0.003 2 α 0.04 = 1 = 0,04 2 = 2 0.02

zα/2= 0.89

1 - 0.003 = 0.997 P( Z ≤zα/2) = 0.997 zα/2=2.75 - 0.02 = 0.98 P( Z ≤zα/2) = 0.98 zα/2=2.05

 11) Hallar el intervalo característico correspondiente para: a) 90% z α/2 = b) 95% zα/2 = c) 99% zα/2 =

90 1+ 100 2 95 1+ 100 2 99 1+ 100 2

S ) √n

= 0.95 = 1.64

( x − 1.64

= 0.975 = 1.96

( x − 1.96 √Sn ; x + 1.96

S ) √n

= 0.995 = 2.57

( x − 2.57 √Sn ; x + 2.57

S √n

S ; √n

x + 1.64

)

 12) En una distribución normal N (70, 6) , obtener los intervalos característicos para el 90%, 95% y 99 %. a) 90% z α/2 = b) 95% z α/2 = c) 99% z α/2 =   

90 1+ 100 2 95 1+ 100 2 99 1+ 100 2

= 0.95 = 1.64

( 70 − 1.64 · 6 ; 70 + 1.64 · 6 ) = (60.16 ; 79.84)

= 0.975 = 1.96

( 70 − 1.96 · 6 ; 70 + 1.96 · 6 ) = (58.24 ; 81.76)

= 0.995 = 2.57

( 70 − 2.57· 6 ; 70 + 2.57 · 6 ) = (54.58 ; 85.42)

13) Se ha  obtenido  una muestra de 25 alumnos de una facultad para estimar la calificación media de los expedientes de los alumnos de la facultad. Se sabe por otros cursos que la desviación típica de las puntuaciones en dicha facultad es de 2.01 puntos. La media de la muestra fue de 4.9 1. Intervalo de confianza al 90% n= 25 ( 4.9 − 1.64 2.01 ; 4.9 + 1.64 2.01 ) = (4.2407 ; 5.5593)  √25 √25 x = 4.9 s = 2.01 1+

90

1+

99

1+

90

zα/2 = 2100 = 0.95 = 1.64 2. Intervalo de confianza al 99%  n= 25 ( 4.9 − 2.57 2.01 ; 4.9 + 2.57 2.01 √25 ) = (3.8669 ; 5.9331) √25 x = 4.9 s = 2.01 zα/2 = 2100 = 0.995 = 2.57  14) Se ha obtenido una muestra de 15 vendedores de una editorial para estimar el valor medio de las ventas por trabajador en la empresa. La media y varianza de la muestra (en miles de euros) son 5 y 2, respectivamente. 1. Intervalo de confianza para la venta media por trabajador en la editorial al 90% √2 √2 n= 15 ( 5 − 1.64 √15 ; 5 + 1.64 √15 ) = (4.4012 ; 5.5988)  x = 5 s = √2  zα/2 = 2100 = 0.95 = 1.64  15) Se ha obtenido una muestra al azar de 150 vendedores de un editorial para estimar la proporción de vendedores en la editorial que no alcanza un límite de ventas mínimo establecido por la dirección. De entre los seleccionados, 50 no han conseguido llegar al límite de ventas mínimo establecido. 1. Intervalo deconfianza para la proporción de trabajadores en la editorial que no alcanza el límite al 80% n= 150

( 13 - 1.28 ·

50 150

p= = 13  q= 1 - 13 = 32  1+ 80 zα/2 = 2100

√

1 2 · 1 3 3 150 ; 3

+ 1.28 ·

√

1 2 · 3 3 ) 150

= (0.2841 ; 0.3826) 

= 0.90 = 1.28 13· 32  2. Intervalo de confianza para la proporción detrabajadores en la editorial que no alcanza el límite al 99% n= 150

( 13 - 2.57 ·

50 150

p= = 13  q= 1 - 13 = 32  1+ 99 zα/2 = 2100

= 0.995 = 2.57

√

1 2 · 1 3 3 150 ; 3

+ 2.57 ·

√

1 2 · 3 3 ) 150

= (0.2344 ; 0.4323) 

16) Una muestra de 26 personas seleccionadas al azar de una población de un barrio, tiene una media salarial de 1800 euros y una varianza de 10000 euros. Estime la media salarial en el barrio a un nivel de confianza de 90% 100 n= 26 (1800 - 1.64 · √26 ; 1800 + 1.64 · 100 ) = ( 1767.8370 ; 1832.1630)  √26 x = 1800 s = 100 1+

90

zα/2 = 2100 = 0.95 = 1.64 17) En una muestra al azar de 120 empresas inspeccionadas de entre las visitadas un  año  determinado por los inspectores de trabajo de una provincia se ha sancionado a 90 de ellas. Estime a un nivel de confianza de 80% la proporción de empresas que sanciona la inspección de trabajo. ( 34 - 1.28 ·

n= 120 3 p= = 4 q= 1 - 34 = 41  1+ 80 zα/2 = 2100 90 120

√

3 1 3 4· 4 120 ; 4

+ 1.28 ·

√

3 1 4· 4 120 )

= (0.6994 ;0.8006 ) 

= 0.90 = 1.28 18) Se realizó un experimentoparacomparar el tiempo promedio requerido por el cuerpo humano para absorber dos medicamentos, A y B. Suponga que el tiempo necesario para que cada medicamento alcance un nivel específico en el torrente sanguíneo  se  distribuye  normalmente. Se eligieron al azar a doce personas para ensayar  cada  fármaco registrándose el tiempo en minutos que tardó en alcanzar un nivel específico en la sangre. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la diferencia del tiempo promedio. Medicamento A Medicamento B nA = 12

nB = 12

xA = 26.8

xB = 32.6

SA2= 15.57

SB2 = 17.54

zα/2 =

95 1+ 100 2

= 0.975 = 1.96

( (32.6 - 26.8) - 1.96

√

17.54 12

; (32.6 - 26.8) + 1.96 + 15.57 12

√

17.54 12

) = (2.5443 ; 9.0557)  + 15.57 12

 19) Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzadade laenfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Datos: Con tratamiento Sin tratamiento x = 2.86 x = 2.075 s = 1.97 n=5

s = 1.1672 n = 4

¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? 95% =zα/2 =

95 100

1+

2

((2.86-2.075) - 1.96 5% = zα/2 =

1+

5 100

2

((2.86-2.075) - 0.06

= 0.975 = 1.96 

√

(1.97) 2 5

+

(1.1672) 2 4

; (2.86-2.075) + 1.96

√

(1.97) 2 5

+

(1.1672) 2 ) 4

= (-1.2863 ; 2.8563) 

; (2.86-2.075) + 0.06

√

(1.97) 2 5

+

(1.1672) 2 ) 4

= (0.7216 ; 0.8484) 

= 0.525 = 0.06 

√

(1.97) 2 5

+

(1.1672) 2 4

Si es efectivo con 0.05  20)  El  departamento de zoología de la Universidad de Virginia llevó a cabo un estudio  para  estimar  la  diferencia en  la cantidad de ortofósforo químico medido en dos estaciones diferentes del río James. El ortofósforo se mide en miligramos por litro.  Se reunieron 15 muestras de la estación 1 y se obtuvo una media de 3.84 con  una desviación estándar de 3.07 miligramos por litro, mientras que 12 muestras de la estación 2 tuvieron un contenido promedio de 1.49 con una desviación estándar 0.80 miligramos por litro. Encuentre un intervalo de confianza  de  95%  para  la  diferencia del contenido promedio real de ortofósforo en estas dos estaciones. zα/2 =

95 1+ 100 2

= 0.975 = 1.96

((3.84 - 1.49) -1.81

√

(3.07) 2 15

+

(0.80) 2 12

; (3.84 - 1.49) + 1.81

√

(3.07) 2 15

+

(0.80) 2 12 )

= (0.8556; 3.8444) 

  21) Ajay va a invertir su dinero en 2 acciones diferentes. Ambas acciones son independientes y tienen una probabilidad del 50% de tener éxito y una probabilidad del 50% de fracasar. Con cada acción, Ajay ganará $500 si tiene éxito o perderá $500 si fracaso. E = éxito F = fracaso Espacio muestral { EE, FF, EF, FE} ; respecto a ganancias = {-$1000, $0, $0, $1000} Ganancia f P(x)  -$1000 1 1/4= 0.25 $0 2 2/4=0.5 $1000 1 1/4= 0.25 TOTAL 4  

22) Jasmine tiene un día libre porque hay nieve ¡y va a andar en trineo! Va a descender por una secuencia de 3 colinas un total de 8 veces. Para cada colina, o se cae del trineo o la domina. El desempeño de Jasmine está registrado en la tabla siguiente, donde “C” representa una caída y “D” representa dominar la colina. Realizar una gráfica de frecuencia relativa que muestre la proporción para cada número posible de colinas dominadas en una secuencia de colinas.  Descenso

1

2

3

4

5

6

7

8

Resultados DDD DDD DDD CDC CCD DDD CCC CCD  x f P(x) x∙P(x)  0 1 1/8 0 1 3 3/8 0.375 2 0 0/8 0 3 4 4/8 1.5 Σ = 0+0.375+0+1.5= 1.875    23) Pooja tiene 5 lugares diferentes en su jardín en los que tiene 3 plantas diferentes. Cuando termina el invierno, registra si cada planta sobrevivió o murió. Sus datos se muestran en la tabla siguiente. “D” representa una planta que murió y “S” representa una planta que sobrevivió. Realizar una gráfica de frecuencia relativa que muestre la proporción para cada número posibles de plantas sobrevivientes en cada ubicación.  Lugares

Estado de la planta

Patio lateral

DSD

Detrás del cobertizo

DSS

Cerca de la calle

SSS

Patio delantero

DSD

Patio trasero

SDS

 x f P(x) 0 0 0/5 1 2 2/5 2 2 2/5 3 1 1/5 Σ = 0+0.4+0.8+0.6=1.8

x∙P(x) 0 0.4 0.8 0.6

24) A Jerry le gusta vestirse bien. Cada día es independiente y Jerry tiene una probabilidad del 80% de usar camisa azul y una probabilidad del 20% de usar camisa roja A = azul R = roja Espacio muestral { AA, RR, AR, RA}  Camisas azules f P(x)  0 RR 0.2x0.2=0.04 1 RA,AR 0.2x0.8=0.16 + 0.16=0.32 2 AA 0.8x0.8=0.64 TOTAL 4 ...