Tema 5b Intervalos de confianza PDF

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J. Gibergans Báguena / DMA3 – EET / UPC

Tema 5: Muestreo aleatorio y estimación puntual

TEMA 5-B

INTERVALOS DE CONFIANZA 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11.

5.7.

Introducción Concepto de intervalo de confianza Intervalos de confianza para la media en poblaciones normales Mínimo tamaño de una muestra Otros intervalos de confianza

INTRODUCCIÓN

La estimación puntual proporciona una solución inmediata al problema de estimar el valor de un parámetro. La respuesta es muy precisa porque consiste en un único valor, sin embargo, lo habitual es que sea muy poco fiable. Por ejemplo, si estamos estimando la media de una población y la distribución de su estimador es continua, dado que se trata de una variable continua, la probabilidad de que acertemos con nuestra estimación será cero. Por tanto, es totalmente improbable que acertemos. ¿Cómo puede resolverse este problema? Veremos que abriendo un pequeño intervalo alrededor del estimador puntual conseguiremos con una pequeña pérdida de precisión, aumentar nuestra confianza (que era de cero) hasta valores próximos a uno. La mayoría de los intervalos, responden a la idea intuitiva de un estimador puntual ± un margen de error.

5.8.

CONCEPTO DE INTERVALO DE CONFIANZA

El problema de la estimación por intervalo se plantea en términos generales como el de encontrar dos valores A y B aleatorios, para los que se cumpla que:

P( A    B)  1   donde  es el parámetro de interés y α es una cantidad entre 0 y 1 tan pequeña como se desee y de la que dependen A y B. En la práctica los valores de α suelen ser muy pequeños, siendo habitualmente de 0,1; 0,05; 0,01 y 0,005. La cantidad 1- α recibe el nombre de nivel de confianza. El intervalo [A, B] recibe el nombre de intervalo de confianza para  al nivel de confianza 1- α. Para obtener los valores de A y B, se utiliza habitualmente un pivote o función pivotal, que es un estadístico cuya distribución sea conocida de forma que podamos, a partir de él, obtener dos cantidades que acoten entre sí una probabilidad de 1- α.

5.9. INTERVALOS

DE CONFIANZA PARA LA MEDIA EN POBLACIONES

NORMALES 5.9.1. Caso de varianza conocida

Sea X 1 , X 2 ,..., X n una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X con distribución teórica , N ( , ) donde  es una cantidad conocida. En este caso, el tema pasado vimos que V - 11

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el estadístico X sigue una distribución normal N (  ,

muestreo del estadístico pivote W 

 n

) , es decir, la distribución en el

X es N (0,1) . Por tanto, fijado un nivel de confianza / n

1   , se tiene   X   z1  / 2  1    P  z1  / 2  / n  

despejando el parámetro 

       X  z1  / 2 1   P  X  z1  / 2 n n   Así pues, el intervalo de confianza correspondiente es

    , X  z1  / 2  X  z1 / 2  n n 

Figura 5.2. Intervalo de confianza para la media de una distribución normal con varianza conocida.

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5.9.2. Caso de varianza desconocida Habitualmente  también es desconocida y el estadístico pivote obtenido en el apartado anterior carece de utilidad al depender de dicho parámetro que ahora es desconocido.

Sin embargo, si X1 , X2 ,..., X n es una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X con distribución teórica N ( ,  ) se puede demostrar que W

X Sn 1 / n

 tn 1

 2 1 n Xi  X donde S  es el estadístico desviación típica muestral. Así pues, ahora la  n  1 i 1 distribución en el muestreo del estadístico pivote W es una distribución t de Student con n  1 grados de libertad.





Fijado un nivel de confianza 1  y razonando de forma análoga al caso anterior, se obtiene el intervalo de confianza para    S S   , X  t n 1,1 / 2  X  t n 1,1 / 2  n n 

donde tn1,1 / 2 es el punto crítico de la distribución t de Student con n 1 grados de libertad para una confianza del 1   .

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Figura 5.3: Valores críticos correspondientes a una distribución t de Student con n −1 grados de libertad.

5.9.3. Consideraciones sobre la normalidad En el caso de la varianza conocida, el procedimiento que se ha presentado es válido para variables que siguen distribuciones normales de media , ya que en este caso:

Z

X 

/ n

 N (0,1)

Por otro lado, el Teorema del Límite Central afirma que dada cualquier variable aleatoria X con media  si el tamaño de las muestras consideradas es n > 30, entonces la variable tipificada correspondiente también se comporta como una distribución normal tipificada.

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5.10. MÍNIMO TAMAÑO DE LA MUESTRA 5.10.1. Caso de poblaciones normales con varianza conocida

En muchas ocasiones, fijado el nivel de confianza, nos marcaremos como objetivo dar el valor del parámetro  con una cierta precisión. La única manera de obtener la precisión deseada consiste en modificar adecuadamente el tamaño de la muestra. Supongamos que deseamos una precisión o margen de error ME, como sabemos que: ME  z1  / 2

 n

despejando n obtenemos: Tamaño de la muestra  n   z1

/2

2

2 ME 2

5.10.2. Caso de poblaciones normales con varianza desconocida

En este caso no tenemos un procedimiento directo para encontrar el tamaño de la muestra que produce un determinado margen de error, ya que el margen de error depende de la desviación típica muestral s que es un valor que calculamos precisamente una vez la muestra ya ha sido seleccionada. En caso que necesitemos aproximar el tamaño de la muestra, tomaremos una muestra de prueba que nos de un valor aproximado de s . Después calcularemos el margen de error para este valor de s y tomaremos una muestra de tamaño suficiente para garantizar este margen de error.

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5.11. OTROS INTERVALOS DE CONFIANZA 5.11.1. Intervalo de confianza para la proporción

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5.11.2. Intervalo de confianza para la varianza

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Figura 5.4: Distribuciones n2 para distintos grados de libertad.

Figura 5.5: Valores críticos correspondientes a una distribución n2.

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