Representacion Geometrica de Intervalos PDF

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Representacion Geometrica de Intervalos.
En un campo ordenado K, existe la notación de intervalo importante. Dado a,b∈K, con a ...

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Representación geométrica De Intervalos En un campo ordenado K, existe la notación de intervalo importante. Dado 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 , con 𝑎 < 𝑏. Notación para representar tipos especiales de conjuntos de números reales, llamados intervalos: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

(−∞, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑥 ≤ 𝑏}

[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

[𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥}

(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}

(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

(−∞, 𝑏) = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑥 < 𝑏}

(𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ 𝐾 ∶ 𝑎 < 𝑥 } (−∞, +∞) = 𝐾

 Los cuatro intervalos de la izquierda están acotados, sus extremos son 𝑎, 𝑏; [𝑎, 𝑏] es un intervalo cerrado, (𝑎, 𝑏) es abierto, [𝑎, 𝑏) es cerrado por la izquierda y (𝑎, 𝑏] cerrado por la derecha.  Los cinco intervalos a la derecha son no acotados: (−∞, 𝑏] es la semirrecta cerrada a la derecha con origen en b. Los demás tienen denominaciones análogas. Cuando 𝑎 = 𝑏, el intervalo [𝑎, 𝑏] se reduce a un único elemento y se llama intervalo degenerado. Usaremos el símbolo | x | para indicar el valor absoluto.

|𝑥| = 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 0 |0| = 0 Dado 𝑥 ∈ 𝑘, hay { |𝑥| = −𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

Teorema 1. Sean x los elementos de un campo ordenado K. i. ii. iii.

−𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎; 𝑥 ≤ 𝑎 𝑒 − 𝑥 ≤ 𝑎; |𝑥| ≤ 𝑎.

Teorema 2. Para elementos arbitrarios de un campo ordenado K, las relaciones: i. ii. iii. iv.

|𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|; |𝑥 ∙ 𝑦| = |𝑥| ∙ |𝑦|; |𝑥| − |𝑦| ≤ ||𝑥| − |𝑦|| ≤ |𝑥 − 𝑦|; |𝑥 − 𝑧| ≤ |𝑥 − 𝑦| + |𝑦 − 𝑧|.

Teorema 3. En un campo ordenado K, las siguientes declaraciones son equivalentes: i. ii. iii.

ℕ ⊂ 𝐾 es limitado superiormente; Dando 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 con 𝑎 > 0, existe 𝑛𝜖ℕ tal que 𝑛 ∙ 𝑎 > 𝑏; 1 Dado cualquier 𝑎 > 0, existe 𝑛𝜖ℕ tal que 0 < < 𝑎. 𝑛...