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Teoría de conjuntos Conceptos fundamentales Conjunto y elemento. Diagrama de Venn-Euler. Inclusión. Igualdad. Operaciones con conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia. Ing. Silvia Grenóvero Ing. Sergio Farabello Lic. Vanina Scavuzzo Año 2012 Teoría de conjuntos Año 2012 Índice General...

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Teoría de conjuntos Conceptos fundamentales Conjunto y elemento. Diagrama de Venn-Euler. Inclusión. Igualdad. Operaciones con conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia. Ing. Silvia Grenóvero Ing. Sergio Farabello Lic. Vanina Scavuzzo Año 2012

Teoría de conjuntos

Año 2012

Índice General Introducción …………………………………………………………………………………………… Nociones de conjunto y de elemento …………….…………………………………….……. Definición (o determinación) de un conjunto ……………………………………….……. Definición por extensión o enumeración……………………………..………….... Definición por comprensión ……….……………………….………………………….. Diagramas de Venn-Euler ……..……………………………………………………..……..….. Inclusión …….………………….………….………………………………………………………….. Igualdad ……………………….……………………………………………………………………….. Operaciones con conjuntos ..……………………………………………………………………. Unión de dos conjuntos .………………………………………………………………… Intersección de dos conjuntos ……………………………………………………….. Complementación de conjuntos .…………………………………………………….. Diferencia de dos conjuntos …………………………………………………………… Bibliografía ……………………………………………………………………………………………..

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INTRODUCCIÓN La teoría de conjuntos es una de las partes de la matemática que se desarrolló desde fines del siglo XIX. Ha introducido términos como pertenencia, inclusión, unión y otros con significados rigurosos y su uso sin dudas ha permitido mejorar la precisión del lenguaje en áreas de conocimiento como la teoría de relaciones y funciones, la teoría de las probabilidades y otras. Conocerla, al menos en sus aspectos fundamentales, es una necesidad para cualquier estudiante de ciencias, por ello su presencia en la currícula de Bioestadística para la Licenciatura en Nutrición. Cualquier colección de objetos o individuos se denomina conjunto. El término conjunto no tiene una definición matemática, sino que es un concepto primitivo. Ejemplos de conjuntos son el conjunto de los números naturales, de los alumnos de la Facultad de Bromatología y de los peces del Río Gualeguaychú. Nuestro objetivo será estudiar aquellos conjuntos que están relacionados con el campo de la matemática, especialmente los conjuntos numéricos. La teoría de conjuntos es fundamental en matemática y de suma importancia en informática, donde encuentra aplicaciones en áreas tales como inteligencia artificial, bases de datos y lenguajes de programación.

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NOCIONES DE CONJUNTO Y DE ELEMENTO Un conjunto es cualquier agrupación o colección de objetos o entidades. Un elemento es cada uno de los objetos que forman un conjunto. Los conjuntos se designan o anotan generalmente con una letra mayúscula. Sus elementos se encierran entre llaves y si son literales, generalmente se usan minúsculas. Por ejemplo, el conjunto A, formado por los elementos 1, 2 y 3, se anota: A = {1,2,3} el conjunto B, formado por los colores primarios, se anota: B = {rojo, amarillo, azul} En general usaremos letras mayúsculas para designar a los conjuntos y letras minúsculas para designar a sus elementos. Si a es un elemento de un conjunto A se escribe a elemento de A”.

∈ A y se lee “a pertenece a A” o “a es un

Si a no es un elemento del conjunto A se escribe a ∉ A y se lee “a no pertenece a A” o “a no es un elemento de A”.

Los símbolos

N, Z, Q y R servirán para denotar a los siguientes conjuntos:

N: el conjunto de los números naturales. Z: el conjunto de los números enteros. Q: el conjunto de los números racionales. R: el conjunto de los números reales.

DEFINICIÓN (O DETERMINACIÓN) DE UN CONJUNTO Un conjunto está definido o está determinado cuando se conocen todos y cada uno de los elementos que lo forman. Se usan dos maneras para definir un conjunto:

a) extensión o enumeración b) comprensión Definición por extensión o enumeración Un conjunto está definido por extensión o enumeración cuando para conocer los elementos que lo forman, éstos se nombran o enumeran uno a uno. El orden en que se enumeran los elementos de un conjunto carece de importancia. Ejemplos:

A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

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Si decimos que el conjunto M está formado por los elementos –5 y 7, y anotamos M = {− 5;7}, lo hemos definido por extensión.

Definición por comprensión Un conjunto está definido por comprensión cuando sus elementos se conocen a través de una propiedad que les es común a ellos y sólo a ellos. Esa propiedad suele adquirir la forma de una función proposicional que se transforma en una proposición verdadera sólo cuando a sus variables se les asignan como valores los elementos de ese conjunto. Los mismos conjuntos del caso anterior pueden ser definidos por comprensión así:

A = {días de la semana}

{

}

M = x / x 2 − 2 x − 35 = 0

En general: A = {x/x cumple la propiedad P} El símbolo “x/…” se lee: “x, tal que…”

Equivalencia de ambas definiciones Analicemos la equivalencia de las dos formas de definición utilizadas. En la definición por comprensión, la función proposicional usada es la ecuación de segundo grado en una incógnita, x 2 − 2 x − 35 = 0 , que sólo se satisface como igualdad para sus raíces , que calculamos a continuación, con la fórmula de Baskara:

x=

2 − b ± b 2 − 4.a.c − (−2) ± (−2) − 4.1.(−35) 2 ± 12 = = ; de allí, x1 = 7 y x2 = −5 2.a 2 .1 2

Estos dos números son, precisamente, los elementos de M enumerados en la otra forma usada. Concluimos entonces que ambas formas definen al mismo conjunto y, por ello, son equivalentes. Debe entenderse también que la función proposicional x 2 − 2 x − 35 = 0 , permite comprender que el conjunto M está formado por los números –5 y 7, aún cuando éstos no sean nombrados explícitamente, pues ellos son los únicos números que la transforman en una proposición verdadera.

Dos conjuntos especiales Es frecuente, en esta teoría, la referencia a dos conjuntos que debemos distinguir como especiales: a) el conjunto vacío (simbolizado con

Ø)

b) el conjunto universal (simbolizado con

U)

El conjunto vacío es el que no tiene elementos.

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El conjunto universal es el que reúne a todos los elementos de que se trata.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER Los conjuntos se representan gráficamente mediante curvas cerradas, no necesariamente circunferencias, llamados diagramas de Venn-Euler o simplemente diagramas de Venn. La letra mayúscula que lo nombra se coloca afuera de la curva. Los elementos que lo constituyen se representan con letras minúsculas, generalmente acompañados de un punto que indica su ubicación dentro del conjunto. A Martes

Sábado

B

M

d Miércoles a Viernes

-5

b

Domingo

7

c Jueves

Lunes

El único conjunto que se representa gráficamente de un modo distinto es el universal U, pues para él se utiliza un rectángulo y su nombre se coloca en el interior, generalmente en el ángulo inferior derecho. Ejemplo: dados los conjuntos =

/ ∈ℕ∧...