Densidad espectral de potencia de los códigos de línea PDF

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Ejemplo en LATEX Determine la densidad espectral de potencia de los c´odigos de l´ınea (a)Manchester, (b)Unipolar RZ, (c)Polar RZ y (d) AMI-RZ. Manchester NRZ p(t) = Y t− Tb 4 ! Tb 2 −π t− 3tb 4 ! tb 2    f tb −2jπf tb f t1 −3jπf tb tb 4 2 e − Sin e 3 2 2   i t tb f tb −2jπf tb h 2jπf tb −2jπf ...

Description

Ejemplo en LATEX Determine la densidad espectral de potencia de los c´odigos de l´ınea (a)Manchester, (b)Unipolar RZ, (c)Polar RZ y (d) AMI-RZ. Manchester NRZ

p(t) =

Y

t−

Tb 2

Tb 4

!

−π

t−

tb 2

3tb 4

!



   f tb −2j πf tb f t1 −3j πf tb tb 2 4 − e Sin e 3 2 2   i t f tb −2j πf tb h 2j πf tb tb −2j πf 4b 4 − e 2 e P (f ) = Sinc e 2 2       t f tb 2πf tb −2j πf 2b p(f ) = Tb Sinc ∗ jSen e 2 4      f tb 2πf tb |p(f )|2 = Tb2Sinc2 ∗ Sen2 2 4 " # ∞ X 1 R0 + 2 Rn ∗ Cos(n2πt0 f ) ; t = tb , n 6= 0 Sx (f ) = t0 n=1 " ∞ #  T0 X A R0 = l´ım αk αk , αk −A T →∞ T Tb p(f ) = Sinc 2

k=−∞

Comunicaciones digitales.

1

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

  T 1 T0 T 1 (−A)(−A) = A2 R0 = l´ım (A)(A) + T →∞ T T0 2 T0 2 " ∞ # T0 X R1 = l´ım αk αk+1 = 0; Rn , con n ≥ 1 T →∞ T k=−∞    Tb Tb 2 2 2 Sy (f ) = A tb Sinc f Sen 2πf A 2 Unipolar RZ

p(t) = A

Y t

Tb 2

  Tb 1 1 αn ǫ {0, 1} con P (0) = , p(1) = ↔ |p(f )| = A Sinc f 4 2 2 2 2 Tb

2

2

1 1 1 Ra(0) = (0)2 + (1)2 = 2 2 2 1 1 1 1 1 Ra(1) = (0)(0) + (0)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 4 4 4 4 4 1 ∞ ∞ 1 X n=0 X −j2πfn tb 2 [1 + δ(n)] e−j2πfn tb Ra(n) = 1 Ra(n)e = n ≡ 6 0 4 4 n=−∞

n=−∞

Aplicando Poisson.

∞ 1 X −j2πfn tb 1 1 1 Ra(n) = + δ(n) = e + 4 4 4 4 n=−∞

∞ X

n=−∞

Comunicaciones digitales.

−j2πfn tb

Ra(n)e

   ∞ 1 X k = 1+δ f − Tb Tb n=−∞ 2

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

"    # ∞ X A2 Tb Sin2 f T2b K k 1 Sx = δ f− 1+ ; k = f Tb ⇒ ∗ 4 T0 4 Tb n=−∞    Tb 1 A2 Tb 2 Sin f 1 + δ(f ) Sx (f ) = Tb 16 2 Polar RZ

Sx (f ) =

∞ |p(f )|2 X R (n)e−j2πfn tb Tb n=−∞ a

1 αn ǫ(−1, 1), p(−1) = p(1) = 2 !   Y T |p(f )|2 Tb 2 2 Tb p(t) = A Sinc f =A Tb Tb 2 2 2

Aplicando Autocorrelaci´on.

1 1 1 1 n = 0; Ra(0) = (−1)2 + (1) = + = 1n 6≡ 0; 2 2 2 2 1 1 1 1 Ra(1) = (−1)(−1) + (−1)(1) + (1)(−1) + (1)(1) = 0 4 4 4 4  1 n=0 Ra(n) = 0 n 6≡ 0

Comunicaciones digitales.

3

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

Ra(n) = δ(n)

∞ X

Ra(n)e−j2πfn tb =

n=−∞

∞ X

δ(n)e−j2πfn tb = 1

n=−∞

  Tb 2 2 Tb Sx = A Sinc f 2 2

AMI-RZ

Sx (f ) =

∞ |p(f )|2 X Ra(n)e−2j fn tb Tb n=−∞

1 1 αn ǫ−1, 0, 1; P (−1) = P (1) = ; P (0) = 2 4 !     2 Y t A2 T2b Sinc2 f T2b |P (f )|2 = P (t) = A ↔ Tb Tb Tb 2   Tb Tb |P (f )|2 = A2 Sinc2 f 4 2 Calculando Ra(n), Para n = 0 1 1 1 1 Ra(0) = (−1)2 + (0)2 + (1)2 = 2 4 2 4 (0)(0) ⇒ (0)(1) + (0)(−1) Para (n) = 1 (1)(0) ⇒ (1)(0) + (−1)(0)

(0)(0) ⇒ (0)(0) Comunicaciones digitales.

(1)(1) ⇒ (1)(−1) + (−1)(1)

4

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

Probabilidad

1 8

(0)(0) ⇒ (0)(0)

1 4 Para (n) > 1

(0)(0) ⇒ (0)(1) + (0)(−1)

Ra(1) = −

(1)(0) ⇒ (1)(0) + (−1)(0)

(1)(1) ⇒ (−1)(−1) + (−1)(1) + (1)(−1) + (1)(1) Ra(2) = 0  n=0  12 1 Ra(n) = 4 n = + − 1  0 |n| > 1

∞ X 1 1 1 Ra(n) = δ(n) − δ(n − 1) − δ(n + 1) = Ra(n)e−j2πfn tb 4 2 4 n=−∞

1 1 j2πfn tb 1 −j2πfn tb − e − e 4 2 4 1 1 Ra(n) = − Cos(2πf Tb ) = Sen2 (πf Tb ) 2 2   A2 Tb Sinc2 f T2b Sx (f ) = ∗ Sen2 (πf Tb ) 4     A2 Tb 2 2 Sx (f ) = Tb Sinc f Sen (πf Tb ) 4 2 Ra(n) =

Determine la m´axima tasa de bits Rb que puede lograrse en un sistema de comunicaciones  √con  una probabilidad de error de bit Pb ≤ 10−3 , si se utiliza se˜ nalizaci´on polar NRZ Si (t) = 1 . Considere que se utiliza un receptor ´optimo y que la se˜ nal se propaga a trav´es de un canal AWGN W con densidad espectral de potencia bilateral N20 = 10−3 Hz .  s Eb (1 − p) Pb = Q  S1 = −S2 (t) N0   A 0 ≤ t ≤ t0  1 → S1 (t) Tb + Tb E1 + E2 P − N RZ B Otro caso = Tb = Eb =  2 0 → S2 (t) = −S1 (t) 2 Z Tb −3 N0 −3 12 dt = Tb E1 = Pb ≤ 10 ; = 10 Hz 2 0 Z Tb S1 (t) = + − 1   Ex = −12 dt = Tb 4Eb (1 − p) s c = max Por lo tanto. n t −N0 Comunicaciones digitales.

5

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

Rt

Z Tb  S1 (t)S2 (t)dt Tb 1 ρ= dT ⇒ ρ = − = −1 = Tb Eb Tb 0 ! ! ! r r Tb (1 − (−1)) W W =Q 1000Tb ≤ 10−3 =Q 1000Tb W 2(10−3 ) Hz Hz Hz c

Pb = Q

Q(x) = 9,676x10−1 Q(x) ≤ 10−3 √ 1000 1000 ⇒ x2 = x= √ Rb Rb 1000 Rb = 2 con x = 3,1 x

Rbmax =

1000 = 104,058Hz (3,1)2

Determine la probabilidad de error de bit en la transmisi´on binaria en banda base a trav´es de W un canal AWGN con N0 = 0,1Hz . Considere que el receptor es o´ptimo y que las siguientes formas de onda son utilizadas:

ρ=

s1 (t) = sen(2πt), 0 ≤ t ≤ 1

W Hz E2 = E1 = 1

N0 = 0,1

( 1 , 0 ≤ t ≤ 0,5 s2 (t) = −1 , 0,5 < t ≤ 1 s

Pb = Q 

s



Eb (1 − p)  = Q N0

2 π

1(1 − 1

2 ) π



Rt

=Q

r

2 1− π

!

⇒

r

1−

1 = 0,60281 π

Z 1 Z 21 S1 (t)S2 (t)dt Sen(2πt)(−1)dt Pb = Q(0,60281)ρ = = Sen(2πt)(1)dt + 1 Eb 0 2 1 1   −Cos(2πt) −Cos(2πt) 2 − − Pb = − 2π 2π 1 0 2        1 1 1 1 ρ= Cos (2π(1)) − Cos 2π Cos 2π − Cos(0) + 2 2π 2π 2 0

ρ=−

1 1 4 2 1 {[−1, 1] − [1 − (−1)]} ρ = − {[−2] − [2]} = − [−4] = = 2π 2π 2π 2π π Eb =

Comunicaciones digitales.

1+1 2 E1 + E2 = = =1 2 2 2 6

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

Tres se˜ nales anal´ogicas se digitalizan y se transmiten utilizando TDM. Una de las se˜ nales se muestrea a una tasa 8000 muestra/segundo y se codifica con 8 bits por muestra. La segunda se˜ nal se muestrea con una tasa de 16000 muestras/segundos y cada muestra se condifica con 12 bits. La tercera se˜ nal se muestrea a 32000 muestras/segundos y se codifica con 12 bits por muestra. Determine la tasa de bits si la palabra de alineaci´ on de trama es de 8 bits. (8000)(8) + (16000)(12) + (32000)(12) = 64Kbps + 192Kbps + 384Kbps = 640Kbps Rb = (4)(640) = (8)(640) = 5,12Mbps Determine la probabilidad de (a) falsa detecci´ on de trama y (b) fallo en la detecci´ on cuando se transmiten tramas de 1024 bits con una palabra de sinconizaci´on de 8 bits y una probabilidad de error bit Pb = 10−4 . Falsa detecci´ on de trama N=8; Pf d

 N  8 1 1 1 = = 3,90625x10−3 = = 2 256 2

Fallo en la detecci´ o n; Pm = 1 − (1 − Pb )n como: Pb ≤ 1Por lo Tanto Pm = N Pb = (8)(10−4 ) =

1 ≈ 0,0008 1250

Determine la probabilidad de (a) falsa detecci´ on y fallo en la detecci´on de trama cuando no se permiten errores en la palabra de sincronizaci´on y (b) falsa detecci´on y fallo en la detecci´on de trama cuando se permiten 2 errores en la palabra de sincronizaci´ on. Considere que la probabilidad −2 de error de bit es Pb = 10 y se transmiten tramas con una palabra se sincronizaci´on de 10 bits. No se permiten errores. eb = 0; Pb = 10−2 ; N = 10Falsa detecci´on de trama.  4  10 1 1 1 Pf d = = = = 976,5625x10−6 2 2 1024 Fallo de detecci´ on de trama. Pm = 1 − (2 − Pb ) ⇒ Pm = N Pb = 10x10−2 =

1 = 0,1 10

  Con 2 errores Eb = 2; Pb = 10−2 ; N = 10 Comunicaciones digitales.

7

Ana Gabriela Ord´on ˜ez

Falsa detecci´ on de trama. Pf d =

eb    n X 1 N K=0

k

2

=

  10 2  X 1 10 k=0

k

2

Fallo en la detecci´on de Trama. eb   2   X X n 10 n−k k (Pb ) (1 − Pb ) = 1− (10−2 )k (1 − 10−2 )10−k Pm = 1 − k k k=0 k=0 Un sistema de comunicaciones utiliza multiplexaci´on para transmitir tramas de 256 bits. Si la palabra de alineaci´on de trama es de 8 bits y la probabilidad de error de bits es Pb = 10−4 determine (a) la probabilidad de falsa detecci´ on cuando se confirma 4 veces la detecci´on y (b) fallo en la detecci´on cuando se confirman 3 la perdida de sincronizaci´on. Pb = 104 y N = 8 Probabilidad de falsa detecci´on cuando se confirman 4 veces la detecci´on como: Pb ≤ 1 Pb = N Pb

Pf d = 8x10−4 =

m

Pf dm = (Pf d ) =



1 1250

4

1 1250

= 4,096x10−13

Fallo en la detecci´on cuando se confirma 3 la perdida de sincronizaci´on.

Pm = 1 −

eb   X n k=0

k

k

(Pb ) (1 − Pb )

n−k

= 1−

3   X 8  k=0

k

10−4

k 

1 − 10−4

8−k

Determine la realci´on energ´ıa de bit a densidad de ruido ENb0 necesaria para lograr la probabilidad total de error de bit de 10−5 en un sistema de comunicaciones binario que utiliza se˜ nalizaci´on polar NRZ si el canal es un cable de longitud de 1000 km y se utilizan repetidores regenerativos cada 10 km. r 2Eb P-NRZ Pb = Q N0 Pmr Donde: Pmr = 10−5 y m = 1 Pb...