Densidad Espectral de Pontencia PDF

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Resumen Densidad Espectral de Pontencia - Unidad 1...

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DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA Ibeth Katherine Román V Ciclo – Carrera de Ingeniería en Telecomunicaciones I.

INTRODUCCIÓN

El espectro de potencia o densidad espectral de potencia proporciona una descripción en el domino de la frecuencia del momento de segundo orden del proceso, además en ocasiones resulta mejor utilizar la transformada Z en lugar de una transformada de Fourier en tiempo discreto. II.

DEFINICIONES

Proceso aleatorio: Un proceso aleatorio es una colección de señales en tiempo discreto, por tanto, no podemos calcular la transformada de Fourier del proceso en sí mismo. Pero podemos obtener una representación del proceso en el dominio de la frecuencia si expresamos la transformada de Fourier en términos de un promedio del conjunto de realizaciones. Secuencia de Autocorrelacion: La secuencia de autocorrelación de un proceso estacionario en sentido amplio (WSS) proporciona una descripción en el dominio del tiempo del momento de segundo orden del proceso. Como rx(k) es una secuencia determinista, podemos calcular la transformada de Fourier en tiempo discreto. III.

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA

Por definición la respuesta al impulso de un sistema es la transformada de Fourier de la función de transferencia según la ecuación:

Esta última ecuación nos dice que el valor cuadrático medio o la potencia media de la salida de un sistema LTI estable como respuesta a un proceso estocástico de entrada es igual al área a lo largo de todas las frecuencias del producto de la densidad espectral de potencia de la entrada multiplicada por el módulo al cuadrado de la función de transferencia del sistema. A.

Propiedades de la PSD

1. El valor a frecuencia cero de la densidad espectral de potencia de un proceso es igual al ´área bajo la curva de la autocorrelación. Suponiendo estacionariedad en sentido amplio, el valor cuadrático medio de la señal de salida se podría calcular por la ecuación: 2. El valor cuadrático medio de un proceso es igual al área bajo la curva de la DSP:

De donde se obtiene 3. La densidad espectral de potencia de un proceso estacionario siempre es no negativa

4. La densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio de valores reales es una función par de la frecuencia Si se realiza un cambio de variable  = 2 - 1

5. La densidad espectral de potencia normalizada en forma apropiada, tiene las propiedades que suelen asociarse con una función de densidad de probabilidad A.

B.

Relación entre las DSP de procesos aleatorios de entrada y salida

Teorema del limite central

Proporciona la justificación matemática para utilizar un proceso gaussiano. Sea Xi= i=1,2,3,…N, un conjuntode variables aleatorias que satisfacen los siguientes requerimientos: − −

La densidad espectral de potencia del proceso de salida Y(t) es igual a la densidad de potencia del proceso de entrada X(t) multiplicado por la respuesta en magnitud al cuadrado del filtro.

B.

Las Xi son independientes estadísticamente. Las Xi tienen la misma distribución de probabilidad con media µx y σ²x Propiedades de un proceso gaussiano

Algunas propiedades útiles: C.

Relación entre la DSP y el espectro en magnitud de una función muestra

Esta ecuación proporciona la base matemática para estimar la densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio ergòdico, dada una función muestra x(t) de un proceso observado sobre el intervalo {-T,T} D.

Densidades espectrales cruzadas

1. Si se aplica un proceso gaussiano X(t) a un filtro lineal estable, entonces el proceso aleatorio Y(t) que se desarrolla a la salida del filtro también es gaussiano.

Esta propiedad es valida para cualquier sistema lineal arbitrario. 2. Si el proceso X(t), es gaussiano, entonces este conjunto de variables aleatorias es gaussiano conjuntamente para toda n.

La densidad espectral cruzada ofrece una medida de la interrelación de frecuencia entre dos procesos aleatorios. En particular, sean X(t) y Y(t) dos procesos estacionarios conjuntos con sus funciones de correlación cruzada, definimos entonces Sxy(f) y Syx(f)

3. Si un proceso gaussiano es estacionario, entonces el proceso también es estrictamente estacionario.

IV.

PROCESO GAUSIANO

Un proceso gausiano tiene dos virtudes, posee muchas propiedades que hacen posibles los resultados analitos y los procesos aleatorios producidos por fenómenos físicos son tales que a menudo resulta apropiado un modelo gaussiano.

4. Si las variables aleatorias gaussianas X(t1)…..X(tn) no están correlacionadas, entonces son independientes estadísticamente, lo que a su vez significa que la función de densidad de probabilidad conjunta de este conjunto de variables aleatorias puede expresarse como el producto de las funciones de densidad de probabilidad de las variables aleatorias individuales en el conjunto.

La función ponderada g(t) es tal que el valor cuadrático medio de la variable aleatoria Y es finito, y si Y es una variable aleatoria que se distribuye gaussianamente para toda g(t) en esta clase de funciones, entonces se dice que el proceso X(t) es un proceso gaussiano. Es decir, el proceso X(t) es gaussiano si cada funcional lineal de X(t) es una variable aleatoria gaussiana

La densidad de probabilidad tiene la siguiente forma

V.

ONDA SENO MAS RUIDO DE BANDA ANGOSTA

Suponemos que la frecuencia de la onda senoidal es la misma que la frecuencia de la portadora nominal del ruido. Una función de muestreo de la onda senoidal mas el ruido se expresa

Bibliografía

[1] S. Haykin, Sistemas de comunicaciones, LIMUSA, 2001.

Representando el ruido de banda angosta n(t) en terminos de sus componentes en fase y en cuadratura

Supongamos que n(t) es gaussiano como media cero y varianza. En consecuencia, se establece lo siguiente:

Siguiendo un procedimiento similar ya antes realizado, podemos reescribir la ecuación en forma compacta

Esta relación se denomina distribución de Rician. Es posible expresar la distribución de Rician en la forma normalizada

Con base en estas curvas, establecemos las siguientes observaciones: − −

Cuando a es cero, la distribución de Rician se reduce a la distribución de Rayleigh. La distribución de la envolvente es aproximadamente gaussiana en la vecindad de v=a; cuando a es grande, esto es, cuando la amplitud A de la onda seño es grande en comparación con (varianza), la raíz cuadrada de la potencia del ruido n(t).

[2] L. Couch, Sistemas de Comunicaciones Digitales y Analogica PEARSON, 2008. [3] M. Martin, «SENALES ALEATORIAS Y RUIDO,» [En línea Available: http://www.lpi.tel.uva.es/~marcma/tts/pdfs/tema2.pdf....