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Universidad Tecnológica de PanamáFacultad de Ingeniería EléctricaFundamentos de TelecomunicacionesLaboratorio 2 “Análisis espectral usando la DFT/FFT”Panamá, 8 de mayo de 2019.ResumenCon el propósito de complementar estudios con respecto al análisis de señales aplicados a un sistema de comunicacione...

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Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Eléctrica Fundamentos de Telecomunicaciones Laboratorio 2 “Análisis espectral usando la DFT/FFT” Panamá, 8 de mayo de 2019.

Resumen Con el propósito de complementar estudios con respecto al análisis de señales aplicados a un sistema de comunicaciones por medio del software MATLAB, en este laboratorio se estudió el análisis espectral de señales a través de comandos como FFT (Fast Fourier Transform) y FFTSHIFT, que requieren una cantidad de muestras que representen la señal deseada para generar la señal continua en el dominio de la frecuencia, adicionalmente se prueba como el número de muestras puede afectar la visualización del contenido espectral de un señal y ocasionar posibles lecturas erróneas .

1. Introducción El análisis de Fourier permite estudiar, evaluar y verificar diferentes tipos de señales y los respectivos sistemas físicos que las procesan, desde el punto de vista del dominio de la frecuencia, dicho método analítico es de gran importancia, ya que permite al estudiante adquirir conocimientos amplios de los sistemas que hacen parte de una red de telecomunicaciones y el análisis de sus propiedades espectrales traducidas al funcionamiento practico en la vida real. Objetivo general:  Aplicar los conocimientos sobre el análisis espectral básico de una señal en el manejo del software MATLAB. Objetivos específicos:  Comprender los comandos de programación requeridos para utilizar la transformada discreta de Fourier aplicada con algoritmos generados por MATLAB para facilitar la visualización y análisis espectral de una señal.  Asimilar conceptos aprendidos en clase referentes al análisis espectral de una señal tales como: transformada discreta de Fourier. frecuencia de muestreo (Teorema de Nyquist), numero de muestras y resolución de frecuencia.

2. Métodos y materiales utilizados  

Software Matlab Análisis teóricos de señales y sistemas

3. Procedimientos experimentales Es importante considerar algunos parámetros necesarios para obtener resultados correctos en el análisis espectral: a) Definición de una frecuencia de muestreo Fs (Teorema de Nyquist) b) Definición de un número de muestras N (preferiblemente una potencia de 2) c) Relaciones tiempo-frecuencia para la transformación directa e inversa de Fourier.

1 Fs T =N∗dt ( t= 0 ; N−1 )∗dt dt=

1

(1) (2) (3)

df =

1 T

(4)

Fs=N∗df f = ( 0 : N−1)∗df

(5) (6)

d) Otros parámetros de ayuda son:

Q=ceil(

N +1 ) 2

(7)

fQ=( Q −1 )∗df fc =f − fQ

−Fs 2 −Fs df + Min ( fc )=−fQ= 2 2 Min ( fc )=−fQ=

(8) (9) (10)

(11)

Fs −df 2 Fs max ( fc )= ( N −Q )∗df = −df /2 2 max ( fc )= ( N −Q )∗df =

(12) (13)

3.1 FFT Y FFTSHIFT Se indica formar una señal x(t) de 1000 puntos de longitud (N) que contenga una onda coseno de 100Hz con una amplitud de 0.8 y una onda seno de 200Hz con amplitud 1.2. Se indica que se use una frecuencia de muestreo de 1kHz. Entonces,

x ( t )=0.8 cos ( 200 πt ) +1.2sin (400 πt) La resolución de frecuencia (df) para este problema se calcula por medio de las ecuaciones (1) (2) y (4) lo que indica una df = 1. Luego, para obtener el espectro de un solo lado se utiliza la función FFT lo que nos da como resultado X 1(f), que se observa en la Fig. 1. Nótese que se utiliza la función de valor absoluto para obtener solo los valores en el espectro positivo. Finalmente, se indica obtener el espectro de doble lado, para lo que se utilizó la función FFSHIFT a partir de la X1(f), y se obtuvo como resultado X2(f), que se observa en la Fig. 1.

2 Figura 1 Resultados obtenidos de la utilización de fft y fftshift

3.2 Adición de ceros. Se indica formar una señal de 1000 puntos de longitud (N) que contenga una onda seno de 100 Hz con amplitud 1 y una onda seno de 202.5 Hz con amplitud 1. Se indica usar una frecuencia de muestreo de 1kHz. Entonces,

x ( t )=sin ( 200 πt) +sin (202.5 πt)

Luego se pide calcular el espectro de un solo lado de la función x(t) (Fig.2)(Script 2). Obsérvese que las amplitudes de los espectros no son correspondientes (ambos deben tener amplitud 0.5), esto se debe a que los DFT bins se encuentran a una distancia de 1 Hz y la frecuencia de la seguna onda senoidal es de 202.5 Hz, es decir no es un múltiplo entero de la frecuencia de los DFT bins por lo que su amplitud es errónea.

Figura.2 Resultados obtenidos con fft Para corregir esto, se utiliza el zero padding, lo que permite obtener una aproximación de las amplitudes de los espectros más exacta. Al realizar este proceso, se observa que ahora ambos espectros de la señal tienen la amplitud correcta.(Fig.3) (Anexo 3)

3

4

Figura.3 Resultados obtenidos con zero padding

3.3 Análisis espectral – relación entre la resolución de frecuencia y la fuga espectral En esta sección se forma una señal x(t) sinusoidal con 100 muestras a una frecuencia de 20kHz y una duración de 5ms en dónde la resolución de frecuencia es igual a df = 200.

Figura 1. señal x(t) de 100 muestras y una razón de muestreo de 20 kHz de la Parte 3 sección a

Se declara un valor para N2=256 creando nuevos soportes para las gráficas de frecuencia, calculando la DFT con 256 puntos utilizando el código de FFT para su trasformada tal como se ve en el Script 1 sección b y c .

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Figura 2. Grafica de la señal x(t) y Espectro de Magnitud X(f) con 256 puntos de la sección

f 1 4000 = =0 . 5 Hz Fs 20000 f 2 5000 = =0. 2 5 Hz Fs 20000

Valores de las frecuencias

normalizadas En esta sección se utiliza la IFFT para recuperar la señal a partir de la transformada incluyendo los ceros que se agregaron previamente.

Figura 3. Comparación de gráficas. Señal recuperada y señal muestreada con ceros anexados.

3.4 Sistema LTI: Espectro de magnitud.

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x= [ cos 100 πt +sin 400 πt−cos 800 πt ] u(t) con un filtro con respuesta al impulso h=400 e−200t cos ( 400 πt) u(t) se diseñó para reducir la interferencia aditiva en la señal recibida. Con la

Una señal de entrada

función de convolución se determinó la señal de salida.

3.5 Pulso Rectangular Se creo una señal periódica de pulsos rectangulares designada con las siguientes especificaciones:  

A = 1 (amplitud) T = 10 (periodo) mínimo 6 pulsos.



w = 1 (ancho del pulso)

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Se realiza la transformada de Fourier de la señal utilizando las mismas funciones y procedimientos de los incisos anteriores (2000 muestras):

Se grafica en una misma figura el espectro de la función, procurando declarar las variables que definen y normalizan el vector de frecuencia para poder graficar un solo lado del espectro.

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4. Conclusión: Las experiencias desarrolladas en este laboratorio probaron ser de gran utilidad para comprobar los conocimientos adquiridos en las clases teóricas sobre el análisis espectral de señales y sistemas, en conjunto con las habilidades básicas aplicadas en el anterior laboratorio se pudo complementar el entendimiento sobre el funcionamiento básico del software MATLAB. Se pudo observar como la variación de ciertos parámetros (número de muestras) influyen en la visualización del comportamiento espectral de las señales en proceso de análisis, parámetros que de no ser tomados en cuenta podrían incurrir en observaciones erróneas. Referencias: Medina, Carlos A (2012) Fundamentos de Ingeniería de Comunicación; señales y sistemas de comunicación analógica y digital, Panamá, Editorial Universitaria UTP. 5. Anexos

Script 1. Utilizacion de FFT y FFTSHIFT

Script 2. Adicion de ceros (Zero Padding)

Script 2.1 Adición de ceros (Zero Padding)(Corrección)

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Script 3. Análisis espectral – relación entre la resolución de frecuencia y la fuga espectral

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Script 4. Sistema LTI: Analisis espectra

Script 5.Grafica del pulso rectangular

Script 5.1 Espectro de magnitud y fase (doble lado)

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Script 5.2 Espectro de magnitud y fase (un solo lado)

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