Dependencia e independencia de vectores PDF

Preview

Summary

Download Dependencia e independencia de vectores PDF

Description

Dependencia e independencia de vectores

Muchas veces interesa saber si dos o más vectores son independientes entre sí. Aunque aún no hemos definido este concepto, tenemos una idea intuitiva de qué es la independencia entre dos cosas. Por ejemplo, si tenemos dos listas de ingredientes de una receta de cocina, podríamos decir si corresponden a la misma comida o no. Podría ser que una de ellas contenga los ingredientes para 4 personas y la otra, los elementos necesarios para 8 personas. Si bien las cantidades de estos ingredientes no serán iguales, podemos obtener una si multiplicamos la otra por 2.

Vectores linealmente dependientes e independientes

Teoremas sobre independencia y dependencia lineal de vectores

Observación importante

Video conceptual

Revisión del módulo

Referencias

Teleclase Práctica

LECCIÓN 1 de 7

Vectores linealmente dependientes e independientes

La fábrica de golosinas Arcos produce normalmente tres clases de chocolates. Para diversificar su producción, la gerencia de comercialización sugiere introducir dos nuevos productos. De esta manera busca competir con marcas establecidas y con la otra marca líder en este mercado.

A continuación, presentamos la tabla de insumos para los productos de esta empresa. En rojo, se resaltan las nuevas propuestas de chocolates.

Tabla 1: Ingredientes para barras de tamaño pequeño en las distintas marcas de chocolates (expresados en gramos)

cacao (g.)

leche (g.)

azúcar (g)

Bloke

20

10

10

Mica

15

20

15

Tofler

25

20

5

Toffi Rocher

30

10

10

Total Full

25

15

10

Fuente: elaboración propia.

Los especialistas, al presentar esta propuesta a los gerentes, aseguran que no es necesario realizar nuevos productos ya que estos se pueden obtener de la mezcla de los chocolates tradicionales ¿será cierto? ¿Es posible gracias al ingenio de los innovadores o es simple casualidad?

Para poder resolver esta situación es necesario utilizar la combinación lineal entre vectores y los conceptos asociados a la independencia o dependencia de los mismos.

Independencia lineal de vectores

Un conjunto de vectores {V1,V2,V3,V4,……..,Vr} es linealmente independiente (LI) si la combinación lineal:

Dependencia lineal de vectores

Un conjunto de vectores {V1,V2,V3,V4,……..,Vr} es linealmente dependiente (LD) si la combinación lineal:

Estos conceptos parecen ser complejos por la manera rigurosa en que están escritos, pero su interpretación es sencilla si se piensa que uno, dos, tres o n vectores son LI si no puedo construir uno de ellos a partir de la combinación lineal de los otros restantes. En consecuencia, uno, dos, tres o n vectores son LD si alguno de ellos puede construirse a partir de una combinación lineal de los otros restantes.

Nuestra situación inicial se reduce ahora a analizar si los chocolates Toffi Rocher y Total Full surgen de una combinación lineal o no de los chocolates (vectores) Bloke, Mica y Tofler. ¿Cómo resolvemos esto?

Tomemos el caso de Total Full. Deberíamos ver si existen los escalares a, b, y c de tal manera que se cumpla que:

O planteado para cada componente:

Estamos frente a un sistema de tres ecuaciones, con tres incógnitas a resolver para saber si a, b y c existen. Nos interesa saber si este sistema es compatible o incompatible.

Si fuese compatible, el chocolate Total Full sería una combinación lineal de los anteriores, lo que significa que puede obtenerse como mezcla de estos chocolates. Si fuese incompatible, estos 4 vectores (chocolates) serían LI y el chocolate Total Full no podría obtenerse de los anteriores.

Ahora debemos resolver el sistema. Para tener una solución rápida, sin entrar en detalle en la forma de resolverlo, podemos usar alguna aplicación móvil o alguna de las tantas páginas web. Basta con poner en el buscador “sistemas de ecuaciones online” y aparecen varias opciones, por ejemplo, https://es.symbolab.com/solver/linear-system-ofequations-calculator/

Al cargar el sistema obtenemos: a= 5/6, b=0, c=1/3.

Esto nos dice que, para obtener el nuevo chocolate, nos alcanza con poner 1/3 de la barra de chocolate Bloke y 5/6 de barra de chocolate Tofler. Interesante ¿no?

Al tener solución en el sistema de ecuaciones, los vectores son LD.

Si hiciéramos lo mismo con el chocolate Toffi Rocher, el sistema a resolver sería:

Obtendríamos como resultado a=5/3, b=-1/2, c=1/6

Nuevamente los 4 vectores (chocolates) son LD, pero cabría preguntarse ¿qué significado posee un escalar negativo en esta situación?

Por suerte la mayoría de las veces podemos decidir si un conjunto de vectores son LI o LD sin tener que resolver un sistema de ecuaciones como hicimos. Para ello tenemos una compilación de teoremas que, a continuación, enunciaremos y ejemplificaremos.

LECCIÓN 2 de 7

Teoremas sobre independencia y dependencia lineal de vectores

Dos o más vectores son linealmente dependientes si, al menos uno de ellos, puede expresarse como combinación lineal de los otros restantes.

Así, por ejemplo, el conjunto de vectores {V1, V2, V3}:

{[-1,3 ,1], [0,-2,6], [2,-8,4]} es LD

Ya que V3 es una combinación lineal de V1 y V2:

V3= -2 · V1 +V2

O bien [2,-8, 4]= -2. [-1,3 ,1]+ [0,-2,6]

Todo conjunto de vectores que contenga un subconjunto de vectores linealmente dependientes es linealmente dependiente.

Así, por ejemplo, dado el conjunto de vectores {V1, V2, V3}:

{[-1, 3 ,1], [-2 6, 2], [1,0,-1]} es LD

Ya que V2 = 2 · V1 se expresa como una combinación lineal, es decir, el subconjunto {V1, V2} es LD, de modo que el conjunto de vectores {V1, V2, V3} será también LD.

Si un conjunto es linealmente independiente, entonces, cualquier subconjunto de vectores de él también es linealmente independiente.

Así, por ejemplo, dado el conjunto de vectores {V1, V2, V3, V4}, que es linealmente independiente:

{[-1, 0 ,1, 0], [1, 3, 2,1], [ 0 ,0,-1,0], [2 ,1 0, 0]} es LI

Entonces, cualquier subconjunto que se arme, por ejemplo, {V2, V3, V4} o {V1, V3}, será LI.

El vector nulo es linealmente dependiente.

Por lo tanto, si un conjunto de vectores contiene al vector nulo, entonces es linealmente dependiente.

Por ejemplo:

{[-1,3,2,5], [1,0,5,6], [0,0,0,0], [3,2,4,6]} es LD porque contiene el vector nulo.

Un conjunto formado por un único vector distinto del vector nulo es linealmente independiente.

Por ejemplo:

{[0, 2, 0, 5]} es LI porque el conjunto tiene un solo vector y este es distinto del nulo.

Un conjunto de n vectores de m componentes, donde n>m es linealmente dependiente.

Así, por ejemplo, dado el conjunto de cinco vectores {V1, V2, V3, V4, V5} de orden 3:

{[-1, 3 ,1], [-2 6, 2], [1, 0,-1], [1, 5, 8], [0,0,-3]} es LD

Como el conjunto contiene más vectores que componentes (5>3) este conjunto de vectores será LD.

Si retomamos el problema planteado en la lectura y aplicamos uno de los teoremas, rápidamente podremos decir que si los chocolates (vectores) tienen 3 ingredientes (componentes) no podría haber más de 3 chocolates (vectores) que formen un conjunto LI.

LECCIÓN 3 de 7

Observación importante

También suele ser útil saber (y se podría demostrar) que un conjunto de vectores organizados como matriz, donde los vectores son las filas de la misma, conformando una matriz triangular cuyos elementos de la diagonal sean distintos de cero, constituye un conjunto de vectores linealmente independientes.

Veamos algunos ejemplos:

El conjunto {(1, 2, 3), (0, 4, 2), (0, 0, 2)} es LI, porque se puede representar como una matriz triangular.

1, 2, 3

0, 4, 2

0, 0, 2

El conjunto {(2, 0, 0), (2, 4, 0), (1, 2, 3)} es LI porque se puede representar como una matriz triangular, en este caso, inferior.

2, 0, 0

2, 4, 0

1, 2, 3

El conjunto {(1, 2, 1), (1, 2, 0), (0, 0, 1)} por más que intercambiemos el orden de los vectores, no podremos representarlo con una matriz triangular, por lo tanto, no podemos afirmar que sean LI.

1, 2, 1

1, 2, 0

0, 0, 1

Si no tuviéramos la misma cantidad de vectores que componentes, para que la matriz sea cuadrada, podría considerarse una submatriz de la matriz triangular. Es como si faltaran vectores para conformar la matriz triangular. Veamos algunos ejemplos:

X, 0, 0, 0

4, 2, 0, 0

6, 3, 1, 0

1, 3, 4, 2

El conjunto {(4, 2, 0, 0), (1, 3, 4, 2), (6, 3, 1, 0)} es LI porque se puede representar como una matriz triangular, aunque le falte un vector (X, 0, 0, 0).

3, 0, 0, 0

0, 3, 0, 0

0, 0, 4, 0

X, X, X, X

El conjunto {(3, 0, 0, 0), (0, 0, 4, 0), (0, 3, 0, 0)} es LI porque se puede representar como una matriz triangular, aunque le falte el vector (X, X, X, X).

X, 0, 0, 0

4, 2, 0, 0

X, X, X, 0

0, 0, 3, 1

El conjunto {(4, 2, 0, 0), (0, 0, 3, 1)} es LI porque se puede representar como una matriz triangular, aunque le falten los vectores (X, 0, 0, 0) y (X, X, X, 0).

Determine cuál de los siguientes conjuntos de vectores es LD.

{(1, 3); (1/3, 1)}

{(1, 0); (0 ,1)}

{(1, 0, 0)}

{(-2, 0, 0); (1, 1, 1); (-1, 0, 1)}

{(5, 0, 0); (5, 5, 2); (1, 1, 0)}

SUBMIT

Determine cuál de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente:

{(-2, 3); (2, 0)}

{(5, 0, 0); (4, -1, 0); (1, 1, 0)}

{(1, 1); (0 ,1); (0, 0)}

{(0, 0, 0)}

{(-2, 0, 0); (1, 0, 1); (-1, 0, 1)}

SUBMIT

Todo conjunto que contiene un subconjunto LD es LD.

Es verdadero, porque el conjunto contiene al subconjunto que es LD.

Es falso porque al ser un subconjunto puede ser LI.

SUBMIT

Todo subconjunto de un conjunto de vectores LD es LD.

Es verdadero, porque al sacar un subconjunto también será LD.

Es falso, porque no necesariamente el subconjunto debe ser LD.

SUBMIT

Un único vector es LI.

Es verdadero, porque hay un teorema que lo asegura.

Es falso, porque no necesariamente es vector LI.

SUBMIT

Los escalares para expresar al vector nulo (0, 0, 0) como combinación lineal de los vectores V1= (-1, 0, 0), V2= (2, 3, 0) y V3= (1, 2, 3) deben ser m1=___ m2=___ m3=__ Escriba su respuesta aquí

SUBMIT

Linealmente independiente.

(1, 0, 0, 0)

(0, 2, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 3)

{(5, 0, 0); (4, -1, 0); (1, 1, 1)}

Linealmente dependiente.

(0, 0, 0, 0)

{(3, 0, 0); (2, -1, 0); (1, 1, 0)}

{(5, 0); (4, -1); (1, 0)}

{(1, 2, 1); (1, 2, 0); (0, 0, 1)}

Un conjunto de n vectores de m componentes, donde n>m es linealmente dependiente.

Si un conjunto de vectores contiene al vector nulo,

Un ejemplo es: {(1, 0); (2, -3); (1, 1)}

Un ejemplo es: {(0, 0, 0); (2, -1, 0); (1,

1, 0)}

entonces es linealmente dependiente.

Un único vector distinto del vector nulo es linealmente independiente.

Un ejemplo es: {(3, 1, 0)}

SUBMIT

LECCIÓN 4 de 7

Video conceptual

VIMEO

Verify to continue We detected a high number of errors from your connection. To continue, please confirm that you’re a human (and not a spambot).

I'm not a robot reCAPTCHA Privacy - Terms

VC-Herramientas Matemáticas I - Álgebra - Módulo 2 VER EN VIMEO 

LECCIÓN 5 de 7

Revisión del módulo

Hasta acá aprendimos

Matrices conceptos básicos y especiales

–

Se presentan en la lectura los conceptos de matrices y sus características. También la aplicación del uso matricial a distintas situaciones y luego, se exponen una serie de matrices especiales.

Operaciones con Matrices

–

La lectura introduce al alumno, a través de una situación, la necesidad de operar con matrices a través de la suma, resta, multiplicación y transposición. Junto con estas operaciones se detallan las propiedades que se verifica para cada operación.

Vectores

–

En ésta lectura desarrollamos el concepto de vector. Se lo aborda desde una situación práctica y se desarrollan las operaciones vectoriales junto con sus propiedades. También se mencionan algunos vectores especiales.

Dependencia e Independencia de Vectores

–

La lectura explica uno de los conceptos más relevantes de la materia: la dependencia o independencia lineal entre vectores. Desde un punto de vista práctico se lo asocia con ideas de la vida cotidiana y luego se formaliza en su definición matemática. También se detallan una serie de teoremas que se usan para identificar de manera inmediata, vectores linealmente dependientes o independientes

LECCIÓN 6 de 7

Referencias

Khan

Academy

(s.f.).

Introducción

a

las

matrices

identidad.

Recuperado

de

https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:properties-of-matrixmultiplication/a/intro-to-identity-matrices

LECCIÓN 7 de 7

Teleclase Práctica

CLIP- Herramientas Matemáticas I- Álgebra - Módulo 2.mp4 MÁS INFORMACIÓN G OOGLE DRIVE ...