Desarrollo de la unidad 1 Generalidades PDF

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Summary

se explica todo sobre los ángulos, como también se explica sobre los sistemas de medidas de ángulos que usamos en nuestro pais, al igual que el que usan en los de mas paises, muy bien explicado y de facil comprensión....

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1.1 Definición de trigonometría plana y de trigonometría esférica La trigonometría plana se ocupa del estudio de los triángulos en el plano. Otra definición es: La trigonometría plana es una rama de las matemáticas que estudia los triángulos que están contenidos solamente en el plano.

La trigonometría esférica se ocupa del estudio de los triángulos que forman parte de la superficie de una esfera. Otra definición es: La trigonometría esférica es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y triángulos formados sobre una esfera.

1.2 Medidas de arcos y de ángulos. Medición de arcos Arco es una porción de la circunferencia y la longitud de este arco está determinada por el radio de la circunferencia y su ángulo central. Medición de ángulos El sistema de medidas de los ángulos que se conocen son el sexagesimal, el circular y el centesimal, que las unidades de medidas de estas respectivamente son el grado, el radian y el gradian. El instrumento que se utiliza para mediar los ángulos en grados es el transportador. El grado es la medida del ángulo central que contiene un arco 1/360, que a su vez contiene un minuto 1/60 de un grado y un segundo que es 1/60 de un minuto. El radian es la medida del ángulo central que contiene un arco de la misma longitud que el radio de la circunferencia. El gradian es la medida del ángulo central contenido por un arco de longitud 1/6400.

El ángulo inscrito mide la mitad que el arco que comprende. Angulo interior, tiene su centro en un punto interior del círculo. La medida del ángulo interior es la semisuma de los arcos que comprenden él y su opuesto. Los Ángulos en la circunferencia Podemos dibujar ángulos que se relacionen con la circunferencia. Según la posición que ocupen reciben nombres apropiados con relación a esa posición.

Cuando se refiere a los ÁNGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a éstos con los ARCOS que forman. 1) Ángulo central: nos hemos referido a él en más de una ocasión; se trata del ángulo formado por dos radios que son sus lados y su vértice se encuentra en el centro O de la circunferencia. En la figura siguiente ves que el arco AB corresponde al ángulo central Ô que lo representamos con el acento circunflejo sobre la letra que representa el vértice del ángulo.

El arco AB corresponde al ángulo central o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los radios) pertenece al ángulo central y su medida es de 96º. Cuanto mayor es el ángulo central mayor será la longitud del arco que abarcan sus lados:

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un ángulo, por ejemplo significa que la letra señalada con en este caso la O, nos referimos a que el vértice del ángulo se encuentra en dicha letra. Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos señalados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo representamos: AB Las dos circunferencias de la última figura de igual radio, la longitud del arco vemos que están en razón directa con la medida del ángulo central: a mayor medida del ángulo central corresponde mayor longitud de arco. Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcos de la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero también podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes. Cuando decimos que un arco mide 75º12’13’’ quiere decir que su ángulo central tiene la misma medida. Las medidas de los ángulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos. A) Una circunferencia tiene un radio de 5 m. ¿Cuánto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ángulo central 60º? Solución: La longitud total de la circunferencia m., corresponde a 360º Una longitud de………………………..X m. Corresponden a 60º

Respuesta: 5,23 m. Además de hacerlo por regla de tres, se puede hacer usando el ángulo en radianes, tenemos la siguiente fórmula: S = α.r, Donde S es la longitud de arco, α representa el ángulo medido en radianes, y r es el radio. 𝜋

60° = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 3 𝜋

5𝜋

3

3

Sustituyendo en la fórmula tenemos: S = 𝑥5 =

=

B) ¿Cuál es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ángulo central vale 65º y su radio 8 m.? (Al lector que ejercite su memoria). Respuesta: 9,07 m. 2) Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto de la misma circunferencia y sus lados la cortan.

Ves que el vértice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ángulo inscrito cortan a la circunferencia en A y en B. ¿Cuál es la medida del arco correspondiente a este ángulo inscrito de 44º? Por supuesto que no se trata de la longitud del arco AB porque el ángulo tendría que ser central. Modo de calcular el valor de un ángulo inscrito: En primer lugar trazo una línea que une el punto B con el centro O, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vértice en O son iguales, los ángulos cuyos vértices están en B y en P serán iguales. Las medidas de estos ángulos los tienes a continuación y comprobamos que tienen 44º:

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostración correspondiente sobre el valor de un ángulo exterior de un triángulo, decíamos que era igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes:

El ángulo con vértice en O es igual a los valores de los ángulos cuyos vértices están en B y en P, podríamos escribir: Vemos que los ángulos 44º.

ambos valen en nuestro ejemplo

La igualdad

podemos escribirla

por ser iguales los

ángulos Esto quiere decir que igualdad despejamos

podemos escribir: :

y de esta

Comprobamos que el ángulo central en ángulos inscritos

vale 88º, es decir, el doble que los

y abarca el arco AB. Esto significa que la medida del

arco que abarca el ángulo o el ángulo 𝐴𝐵 abarca el ángulo central , es decir, .

valdrán la mitad de lo que

2

El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ángulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ángulo central correspondiente.

3) Ángulo semi-inscrito: El ángulo semi-inscrito es el que su vértice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relación a la circunferencia:

En la figura siguiente señalamos el centro y creamos el ángulo central lado

del ángulo central es perpendicular al lado secante

. El

lado

del ángulo central es perpendicular al lado tangente

:

. El

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado los ángulos los ángulos en

que abarca el arco y en

y

que abarca el arco

, es decir,

.

Estos ángulos son iguales (en este caso miden 46º) porque sus lados son perpendiculares:

El arco

corresponde al ángulo central

de 46º. Podemos escribir:

Como el valor del arco correspondiente al ángulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

También podemos decir que:

Debido a que OD es mediatriz de CE. Como el arco

es la mitad del arco

podemos escribir:

Como también:

, podemos decir que Si ahora sustituyes:

tenemos la igualdad : La medida de un ángulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados. Todo lo explicado sobre el ángulo semi-inscrito lo puedes ver en el gráfico siguiente:

Sucede como si se tratara de un ángulo inscrito. Comprobamos que la medida del ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados. Objetivos de aprendizaje

  

Medir ángulos centrales y arcos de círculos. Encontrar relaciones entre arcos adyacentes. Encontrar relaciones entre arcos y cuerdas. Arco, Angulo Central En un círculo, el ángulo central está formado por dos radios del círculo con su vértice en el centro del círculo. Un arco es una sección del círculo.

Arcos menores y mayores, semicírculo Un semicírculo es la mitad de un círculo. Un arco mayor es más largo que un semicírculo y un arco menor es más corto que un semicírculo.

Un arco puede ser medido en grados o en medidas lineales (cm, pies, etc.). En esta sección nos concentraremos en medidas de grados. La medida del arco menor es la misma que la medida del ángulo central que corresponde a él. La medida del arco mayor es igual a 360∘ menos la medida del arco menor. Los arcos menores se denominan con dos letras —las letras que denotan los puntos finales del arco. En la figura de arriba, el arco menor correspondiente

al ángulo central ∠AOB es llamado ABˆ. Con efecto de prevenir confusión, los arcos mayores son denominados con tres letras —las letras que denotan los puntos finales del arco y cualquier otro punto en el arco mayor. En la figura, el arco mayor correspondiente al ángulo central ∠AOB es llamado ACBˆ. Arcos congruentes Dos arcos que corresponden a ángulos centrales congruentes serán también congruentes. En la figura de abajo, ∠AOC≅∠BOD porque son ángulos verticales. Esto también significa que ACˆ≅DBˆ.

Postulado de suma de arcos La medida del arco formado por dos arcos adyacentes es la suma de las medidas de los dos arcos. En otras palabras, mRQˆ=mRPˆ+mPQˆ.

Cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes En el mismo círculo o círculos congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes.

Prueba. Dibujar el siguiente diagrama, en el cual las cuerdas DB¯¯¯¯¯¯¯¯ y AC¯¯¯¯¯¯¯¯ son congruentes. Construir △DOB y △AOC dibujando los radios para el centro O a los puntos A,B,C y D respectivamente. Entonces, △AOC≅△BOD por el postulado SSS . Esto significa que ángulos centrales, ∠AOC≅∠BOD, lo que lleva a la conclusión que ACˆ≅DBˆ. Arcos menores congruentes tienen cuerdas congruentes y ángulos centrales congruentes En el mismo círculo o círculos congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes.

Prueba. Dibujar el siguiente diagrama, en el cual la ACˆ≅DBˆ. En el diagrama DO¯¯¯¯¯¯¯¯,OB¯¯¯¯¯¯¯¯,AO¯¯¯¯¯¯¯¯, y OC¯¯¯¯¯¯¯¯ son radios del círculo. Ya que ACˆ≅DBˆ, esto implica que los ángulos centrales correspondientes también son congruentes: ∠AOC≅∠BOD. Por lo tanto, △AOC≅△BOD por el postulado SAS . Concluimos que DB¯¯¯¯¯¯¯¯≅AC¯¯¯¯¯¯¯¯. Aquí hay algunos ejemplos en los cuáles aplicamos los conceptos y teoremas que discutimos en esta sección. Ejemplo 1: Encontrar la medida de cada arco.

A. mMLˆ B. mPMˆ C. mLMQˆ A. mMLˆ=m∠LOM=60∘ B. mPMˆ=m∠POM=180∘−∠LOM=120∘ C. mLMQˆ=mMLˆ+mPMˆ+mPQˆ=60∘+120∘+60∘=240∘ Ejemplo 2 Encontrar mABˆ en el círculo O. Las medidas de los tres arcos deben sumar 360∘.

x∘+20∘+(4x)∘+5∘+(3x)∘+15∘(8x)∘xmABˆ=360∘=320∘=40=60∘ Ejemplo 3 El círculo x2+y2=25 pasa a través de A=(5,0) y B=(4,3). Encontrar mABˆ.

Dibujar los radios a los puntos A y B. Conocemos que la medida de los ángulos menores AB es igual a la medida del ángulo central. Tan O=34⇒m∠AOB=36.90∘ mABˆ≈36.9∘ 1.3 Funciones circulares directas y reciprocas

Las funciones circulares son las funciones trigonométricas definidas en un círculo de radio 1. Si tomamos la hipotenusa OP del triángulo rectángulo OMP como unidad de medida y la hacemos girar alrededor del extremo O en el sentido de la flecha su otro extremo P describirà una circunferencia de radio 1. A esta circunferencia la llamaremos circunferencia trigonométrica. Y el círculo que se forma lo llamaremos círculo trigonométrico.

Sen α = Y Cos α = X Tan α = Y/ X CSC α = 1/Y SEC α = 1/X TAN α = X/ Y

NES CIRCULARES SEGÚN EL CUADRANTE EN EL s son positivas. solo es positivo el seno y su recíproca, es decir, la negativas. o es positiva la tangente y su reciproco, es decir, la cotangente. Las demás son negativas. En el cuarto cuadrante solo es positivo en coseno y su reciproco, es decir, secante. Las demás son negativas. Cuando el punto queda dentro del circulo trigonométrico, es decir de radio 1 o menor el valor de la hipotenusa es 1. En caso de que nos den un punto cualquiera en el plano, que no esté dentro del círculo trigonométricos es necesario hallar la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma al unir el punto con el centro del eje de coordenadas. Y proceder a calcular las razones trigonométricas. 1.4 Relaciones entre las funciones A la vez el seno el coseno y la tangente tienen funciones reciprocas que son la cosecante, la secante y la cotangente respectivamente y si nos damos cuenta la tangente y la cotangente son reciprocas y cofunciones a la misma vez.

Los ángulos agudos en el triángulo rectángulo son complementarios por lo que las funciones tienen su cofunciones por ejemplo la cofunción del seno es el coseno, o sea que se complementan, el seno de 30° es lo mismo que el coseno de 60°, la secante y la cosecante son cofunciones y la tangente y la cotangente son cofunciones Seno, coseno y tangente y sus reciprocas la cosecante, la secante y la cotangente, respectivamente. Donde se nombra, el lado opuesto, el lado adyacente que son los catetos del triángulo y la hipotenusa del triángulo rectángulo. Veamos las relaciones entre las diferentes razones trigonométricas. Para ello nos basaremos en la definición de las razones (siguiente imagen).

La cosecante (CSC), la secante (SEC) y la cotangente (COT) son reciprocas del seno, coseno y la tangente respectivamente. También nos basaremos en el Teorema de Pitágoras, para el triángulo rectángulo será: Si dividimos seno entre coseno ¿qué obtenemos?

Ahora sumaremos seno al cuadrado + coseno al cuadrado a ver que obtenemos:

La fórmula fundamental de la trigonometría se expresa de la siguiente manera: “La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un ángulo es igual a la unidad. “ De esta relación se obtienen las siguientes formulas: 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼) = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼) 𝑐𝑜𝑠2 (𝛼) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼)

𝐜𝐨𝐭(𝜶) =

𝒃 𝒄

Si dividimos entre “a” el numerador y el denominador tenemos que: 𝑏 𝐶𝑜𝑡(∝) = 𝑎 𝑐 𝑎 Por tanto: 𝐶𝑜𝑡 (∝) =

cos ∝ 𝑠𝑒𝑛 ∝

𝐬𝐞𝐜(∝) =

𝐚 𝐛

Si dividimos entre “a” el numerador y el denominador tenemos: 𝑎 1 sec( ∝) = 𝑎 = 𝑏 cos(∝) 𝑎

Además la cosecante del ángulo es: 𝐜𝐬𝐜(∝) =

𝒂 𝒄

Si dividimos entre “a” el numerador y el denominador obtenemos: 𝑎 1 csc(∝) = 𝑎 𝑐 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎

Aunque estas relaciones se han obtenido a partir del ángulo α son generales y pueden ser utilizadas para cualquier ángulos....