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Actividad 5Código de colores y determinación de la constante de resistividadeléctricaObjetivo.-Emplear el código de colores para interpretar el valor nominal de resistencia eléctrica en un conductor Obtener la resistividad eléctrica en un conductor usando el método gráfico y la medida indirectaIntro...

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Actividad 5 Código de colores y determinación de la constante de resistividad eléctrica

Objetivo.Emplear el código de colores para interpretar el valor nominal de resistencia eléctrica en un conductor Obtener la resistividad eléctrica en un conductor usando el método gráfico y la medida indirecta Introducción.¿Cómo se calcula el valor de una resistencia? Para saber el valor de una resistencia tenemos que fijarnos que tiene 3 bandas de colores seguidas y una cuarta más separada. Leyendo las bandas de colores, de izquierda a derecha, las 3 primeras bandas nos determinarán su valor, la cuarta banda nos indica su tolerancia, es decir, el valor + o - que el valor que puede tener por encima o por debajo del valor que marcan las 3 primeras bandas, la resistencia teórica. El color de la primera banda nos indica la cifra del primer número del valor de la resistencia, el color de la segunda banda la cifra del segundo número del valor de la resistencia y el tercer color nos indica por cuanto tenemos que multiplicar esas dos cifras para obtener el valor, o si nos es más fácil, el número de ceros que hay que añadir a los dos primeros números obtenidos con las dos primeras bandas de colores. La resistividad eléctrica es una propiedad específica de la materia que mide la dificultad que presenta una sustancia para conducir la corriente eléctrica. Entre mayor sea la resistividad de una sustancia, menor será su capacidad para conducir la corriente eléctrica. La resistencia eléctrica es inversamente proporcional al área transversal (A) en la que se aplica la diferencia de potencial eléctrico pero directamente proporcional a la longitud por la que fluye la corriente eléctrica (L) y a la propiedad intensiva del material que se denomina resistividad eléctrica (ρ), cuya unidad es Ωm; tal y como se muestra en la siguiente expresión:

𝐿 𝑅 = 𝜌𝐴

A continuación se determinara el valor de 5 resistencias empleando el código de colores. Después de esto se determinara el valor de la resistividad de un cable de Nicromel a 20 °C usando el método gráfico y el método de medida indirecta, mostrando como resultados el valor la resistividad eléctrica con sus respectivas incertidumbres. Desarrollo de la actividad: Como primera parte, se determinara el valor nominal de los siguientes resistores.

Cabe resaltar que todos los resistores son de 4 bandas de colores, el reflejo de la luz y el efecto de la fotografía hacen notar una línea blanca en los resistores 2, 4 y 5, pero no debe de confundirse con una banda más. Para la lectura de los resistores y la determinación del valor nominal nos basaremos en las reglas explicadas anteriormente en la introducción y en el siguiente código de colores:

A continuación se presenta una tabla para la determinación del valor nominal de cada resistor junto con su tolerancia. Tabla 1. Determinación del valor nominal y la tolerancia. Resistor

Valor nominal [Ὠ]

Tolerancia (Valor numérico) [Ω]

1.5

0.075 ≈ 0.08

1.5 x 103

75

2.1

0.105 ≈ 0.11

15 x 103

750

4.7 x 103

235

Estos fueron los resultados obtenidos a partir de la interpretacion con el codigo de colores, como se puede observar, cada resistor presenta un valor diferente para cada caso, y una distinta tolerancia para cada valor, pero cada una corresponde al 5% de valor nominal.

Obtencion de la resistividad por el metodo grafico Para esta segunda parte vamos a obtener el valor de la resisitividad de un cable de Nicromel a través del método gráfico.

Se uso un cable de Nicromel y sobre el cable se hicieron cortes en diferentes posiciones. Se obtuvieron 10 tramos y en cada tramo se midió 5 veces la resistencia eléctrica. Los instrumentos usados fueron los siguientes: El diámetro del cable se midió con un vernier digital de resolución 0.01 mm. Las longitudes de cada tramo se midieron con un flexómetro cuya resolución es 1 mm. La resistencia eléctrica en cada tramo se midió usando un multimedidor con una resolución de 0.01 Ω. A continuacion se presentan los datos experimentales obtenidos: Tabla 2. Datos experimentales Longitud [cm] 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

R [Ὠ ] 0.12 0.17 0.22 0.27 0.33 0.38 0.43 0.48 0.53 0.59

R [Ὠ ] 0.12 0.17 0.22 0.27 0.33 0.38 0.43 0.48 0.53 0.59

R [Ὠ ] 0.12 0.17 0.23 0.27 0.33 0.38 0.44 0.49 0.53 0.59

R [Ὠ ] 0.13 0.17 0.22 0.28 0.33 0.38 0.44 0.48 0.54 0.59

R [Ὠ ] 0.12 0.17 0.22 0.28 0.33 0.38 0.43 0.48 0.53 0.59

El diametro del cable es 0.88 mm. El primer paso que debemos de hacer es determinar el area del cable de Nicromel, lo cual es muy sencillo pues ya tenemos el diametro, solo hay que calcular el area de la sigueinte forma: 𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 1.81 𝑚𝑚 = 1.81𝑥 10−3 𝑚

𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 =

𝐷𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 1.81𝑥 10−3 𝑚 = 9.05𝑥 10−4 𝑚 = 2 2

𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝜋 ∙ 𝑟2 = 𝜋 ∙ (9.05𝑥 10−4 𝑚)2 = 𝟐. 𝟓𝟕𝟑𝟎𝒙𝟏𝟎−𝟔 𝒎𝟐 Ahora con los datos experimentales de la Resisitencia, vamos a calcular el promedio para cada longitud, como sse muestra en la sigueinte tabla:

Tabla 3. Promedios de las resistencias N =10 R1 (Ώ) R2 (Ὠ) R3 (Ώ) R4 (Ὠ) R5 (Ὠ) PROMEDIO 1 0.122 0.12 0.12 0.12 0.13 0.12 2 0.170 0.17 0.17 0.17 0.17 0.17 3 0.222 0.22 0.22 0.23 0.22 0.22 4 0.274 0.27 0.27 0.27 0.28 0.28 5 0.330 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 6 0.380 0.38 0.38 0.38 0.38 0.38 7 0.434 0.43 0.43 0.44 0.44 0.43 8 0.482 0.48 0.48 0.49 0.48 0.48 9 0.532 0.53 0.53 0.53 0.53 0.54 10 0.590 0.59 0.59 0.59 0.59 0.59 Como tratamiento de datos de esta parte vamos a realizar un ajuste lineal por mínimos cuadrados para obtener el valor de resistividad eléctrica del Nicromel. Para esto nuestras variables seran las siguentes: “X” la resistencia (R) “Y” seran las diferentes longitudes dividadas entre el area del circulo (L/A) La pendiente sera el valor de la resistividad electrica (𝜌). Y con esto obtenemos una ecuacion de la forma y=mx+b. Con esto se presenta la siguiente tabla con las variables asignadas y los valores bien definidos con sus unidades correspondientes. Tabla 4. Variables para el ajuste A [m2] 2.57E-06

PROMEDIO Desv. Estándar

L [m] 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.55 0.30277

L/A [m] 3.89E+04 7.77E+04 1.17E+05 1.55E+05 1.94E+05 2.33E+05 2.72E+05 3.11E+05 3.50E+05 3.89E+05 2.14E+05 1.18E+05

R (Ὠ ) 0.1220 0.1700 0.2220 0.2740 0.3300 0.3800 0.4340 0.4820 0.5320 0.5900 0.35360 0.15738

En la primera columna se muestra el valor del area del cable de Nicromel en notacion cientifica, determinada anteriormente. En la segunda columna tenemos los valores de longitud con escala de metro. En la tercera columna el resultado de la divicion de cada uno de los valores de la longitud entre el area del cable de Nicromel. Por ultimo en la cuarto columna se tienen los promedios de las resistencias para cada valor de longitud. Procedemos a graficar con las variables que definimos anteriormente y observaamos el siguiente grafico:

R vs L/A 0.7000 0.6000

Resistencia [Ώ]

0.5000 0.4000 0.3000 0.2000 0.1000 0.0000 0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05 3.50E+05 4.00E+05 4.50E+05

Longitud/Area [m]

Como se puede observar, si se presenta una tendencia lineal en el grafico, por lo que ahora se procede a calcular la pendiente y la odenada al origen junto con sus respectivas incertidumbres para determinar el valor de la resisitividad electrica Presentaremos a continuacion la tabla de sumatorias para poder determinar el valor nominal de la pendiente y de la ordenada al origen: Para caalcular la pendeinte y la ordenada al origen se emplean las siguientes formulas, tomando a1 como la pendiente y a0 como la ordenada.

Tabla 5. Sumatorias pares de datos

A/L = x i

RESISTENCIA = y i

xi · yi -1

xi

2

yi2

-2

2

( yi  a0 ( a1  xi)) 2

( y i  a0  ( a1  x i))

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[m] 38865.138 77730.276 116595.414 155460.552 194325.690 233190.828 272055.966 310921.104 349786.242 388651.380

[Ώ] 0.1220 0.1700 0.2220 0.2740 0.3300 0.3800 0.4340 0.4820 0.5320 0.5900

[m Ώ] 4741.546832 13214.14691 25884.18189 42596.19122 64127.47765 88612.51457 118072.2892 149863.972 186086.2806 229304.314

[m ] 1510498950 6041995798 13594490546 24167983192 37762473738 54377962183 74014448527 96671932770 1.2235E+11 1.5105E+11

[ Ὠ ] 0.014884 0.0289 0.049284 0.075076 0.1089 0.1444 0.188356 0.232324 0.283024 0.3481

0.002290909 -0.001684848 -0.001660606 -0.001636364 0.002387879 0.000412121 0.002436364 -0.001539394 -0.003515152 0.002509091

[ Ω2 ] 5.24826E-06 2.83871E-06 2.75761E-06 2.67769E-06 5.70197E-06 1.69844E-07 5.93587E-06 2.36973E-06 1.23563E-05 6.29554E-06

SUMA

S xi 2137582.588

S yi 3.5360

S x i· y i 922502.9149

S x i2 5.81542E+11

S y i2 1.473248

S ( yi  a0 ( a1  xi )) -9.08995E-16

S ( yi  a0 ( a1  xi )) 4.63515E-05

[ Ω ]

2

Sustituyendo los valores dentro de las formulas se obtuvieron los sigueintes resultados:

𝑚 = 𝑎1 = 1.34𝑥 10−6 [Ω 𝑚]

𝑏 = 𝑎0 = 0.6773 [Ω]

Del ajuste por mínimos cuadrados la pendiente da directamente el valor de la resistividad y a diferencia de cómo lo veníamos haciendo, ahora no es necesario aplicar el inverso para obtener el valor de “𝜌” Una vez obtenida la pendiente (a1) y la ordenada al origen (a0) se procede a calcular la varianza y posteriormente sus incertidumbres con las siguientes formulas

a  1

Varianza

Incertidumbre a0

n y n x 2    x 

Incertidumbre a1

Sustituyendo los valores solicitados en cada formula se obtiene lo siguiente:

𝜎 = 0.00241 [Ω]

∆𝑎0 = 0.00164 [Ω]

∆𝑎1 = 6.82𝑥 10−9 [Ω 𝑚

2

Para la incertidumbre de la resistividad al igual que como se indico antes, el valor de la pendiente da directamente el valor de la resistividad, por lo tanto, el valor de la incertidumbre de la pendiente sera el valor de la incertidumbre de la resistividad. La expresion de la medida quedaria de la sigueinte forma:

𝜌 = 1.34𝑥10−6 ± 6.82𝑥10−9 [ Ω 𝑚 ] Obtencion de la resistividad por el metodo de medida indirecta A continuación se presentara otro método para obtener el valor de la resistividad acompañado de su incertidumbre, llamado método de medida indirecta. Para este método se tomaran las variables originales de resistencia y longitud, el area en este caso solo se tomara en cuenta para evaluar las derivadas parciales. Tambien se tomara en cuenta la resolución de los instrumentos con las que fueron medidas. Se obtendrán las incertidumbres tipo A, tipo B y combinada junto con la evaluación de derivadas parciales para aplicar la ley de propagación de la incertidumbre. Se explicara cada tabla presentada a continuación así como los pasos para la resolución de las derivadas parciales sobre cada variable. Incertidumbre tipo A: Se calcula como la desviación estándar sobre la raíz del número de datos (n). A continuación se presenta la fórmula: 𝑢𝐴 = 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐿

𝑆

√𝑛

𝑢𝐴 = 𝑢𝐴 =

𝑛 = 10

0.15738 √10

= 𝟎. 𝟎𝟒𝟗𝟕𝟕 [ Ω ]

1.18𝑥 105 √10

= 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟕𝟒 [ 𝒎 ]

Incertidumbre tipo B: El valor para esta incertidumbre es la resolución de los instrumentos con los que fueron medidos las variables, en el caso de los instrumentos análogos que no cuentan con escala adicional tenemos que dividir el valor de la resolución entre dos, esto para fines técnicos.

Los valores de resistencia se midieron con un multimetro de resolucion 0.01 Ω y las longitudes se midieron con un flexometro de resolucion de 1 mm.

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐿

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅

𝑢𝐵 =

𝑢𝐵 = 𝟎. 𝟎𝟏 [Ω]

1 𝑚𝑚 = 𝟎. 𝟓 [𝒎𝒎] → 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 [ 𝒎 ] 2

Incertidumbre combinada: Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de ambas incertidumbres elevadas al cuadrado. A continuación se presenta la fórmula: 𝑢𝐶 = √(𝑢𝐴 )2 + (𝑢𝐵 )2

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅

𝑢𝐶 = √(0.04977)2 + (0.01)2 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟔 [Ω]

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐿

𝑢𝑐 = √(0.09574)2 + (0.0005)2 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟕𝟒 [𝒎]

Una vez que se han calculado los tres tipos de incertidumbre para cada variable procedemos a despejar la resistividad de la siguiente ecuacion:

𝑅=𝜌 𝜌=

𝐿 𝐴

𝑅𝐴 𝐿

Y con base a esta variable se procede a derivar parcialmente con respecto a “R” y “L”. La solución a las derivadas parciales queda de la siguiente forma:

𝜕𝜌 𝑅𝐴 𝑨 ( )= 𝑳 𝜕𝑅 𝐿

−𝑹𝑨 𝜕𝜌 𝑅𝐴 ( )= 𝟐 𝜕𝐿 𝐿 𝑳

Una vez resueltas las derivadas parciales se procede a evaluarlas con los promedios de resistencia, longitud y area obtenidos anteriormente, para así calcular los siguientes resultados: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑅 =

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝐿 =

𝐴 2.57𝑥 10−6 𝑚2 = 𝟒. 𝟔𝟖𝒙𝟏𝟎−𝟔 [𝒎] = 0.55 𝑚 𝐿

−𝑅𝐴 −(0.35360 Ω)(2.57𝑥 10−6 𝑚2 ) = = −𝟑. 𝟎𝟏𝒙𝟏𝟎−𝟔 [Ω] (0.55 𝑚)2 𝐿2

A continuación se presenta la siguiente tabla con todos los valores obtenidos anteriormente (ver en la hoja de cálculo anexa para una mejor resolución): Tabla 6. Incertidumbres

RESISTENCIA [Ώ]

L [m] uA [ m ]

0.09574

uA [ Ω ]

0.04977

uB [ m ]

0.0005

uB [ Ω ]

0.010000

uC [ m ]

0.09574

uC [ Ω ]

0.05076

𝜕𝜌 −𝑅𝐴 [Ω] 𝜕𝐿 𝐿

𝜕𝜌 𝑅𝐴 𝜕𝑅 𝐿

-3.01E-06

[m]

4.68E-06

Solo tomaremos los valores de las incertidumbres combinadas junto con los valores de las derivadas parciales anteriormente evaluadas para así poder aplicar la ley de propagación de la incertidumbre dada por la siguiente formula: √(

𝜕𝜌 2 𝜕𝜌 2 ) ∙ (𝑈𝐶 )2 + ( ) ∙ (𝑈𝐶 )2 𝜕𝐿 𝜕𝑅

Y evaluando con los valores solicitados queda de la siguiente forma: √(−3.01𝑥 10−6)2 ∙ (0.09574)2 + (4.68𝑥 10−6 )2 ∙ (0.05076)2 = 𝟑. 𝟕𝟑𝒙𝟏𝟎−𝟕 [ Ω 𝒎 ] De esta forma el valor de la incertidumbre para la resistividad es el dado por la ley de propagación de la incertidumbre. Para el cálculo de “𝜌” tenemos que evaluar la ecuación sobre la cual se hicieron las derivadas parciales con los promedios de longitud, resistencia y area:

𝜌=

𝜌=

𝑅𝐴 𝐿

(0.35360 Ω)(2.57𝑥 10−6 𝑚2 ) = 𝟏. 𝟔𝟓𝒙𝟏𝟎−𝟔 [Ω 𝒎] (0.55 𝑚)

Finalmente con estos dos valores podemos reportar el valor de la resistividad de la siguiente forma:

𝜌 = 1.65𝑥10−6 ± 37.32𝑥10−6 [ Ω 𝑚 ]

Como podemos darnos cuenta el valor para la resistividad es casi el mismo que el que se obtuvo por el método gráfico. De igual manera se reporto de manera cientifica ya que la resolución de los instrumentos no permite reducir el número de cifras después del punto decimal.

Conclusion Para finalizar y concluir vamos a comparar ambos resultados de la resistividad obtenidos mediante el metodo grafico y la medida indirecta. Para esto se nos dio un intervalo de medida teorico que de acuerdo con la bibliografía, el valor teórico de  a una temperatura de 20°C se reporta entre 1x10-6 Ωm y 1.5x10-6 Ωm

El valor de la resistividad obtenido por el metodo grafico fue de 1.34𝑥 10−6 [Ω 𝑚] mientras que el valor de la resistividad obtenido por la medida indirecta fue de 1.65𝑥10−6 [Ω 𝑚]. Como podemos observar, el valor de la resistividad obtenido mediante el metodo grafico queda y entra mejor dentro del intervalo teorico que se tiene, mientras que el valor obtenido mediante la medida inderecta queda fuera del intervalo teorico, pero no por mucho. Una vez comparados ambos resultados con el intervalo teorico definido, podemos concluir que el valor mas representativo es el obtenido mediante el ajuste por minimos cuadrados no solo porque entra dentro del intervalo teorico, si no que tambien tiene una incertidumbre mas pequeña a comparaacion de la obtenida a traves de la ley de propagacion de la incertidumbre del metodo de la medida indirecta. Por otro lado tambien representa el mas representativo ya que tiene un ajuste matematico que permite hacer mas facil su estudio, y su calculo respectivo.

Bibliografia: Ortega Zempoalteca, Raúl. (21/ Abril/ 2020). “código de colores y determinación de la constante de resistividad eléctrica”. Laboratorio de Física. https://facquimlabfis.files.wordpress.com/2020/04/presentacic3b3nsobre-ley-de-enfriamiento-de-newton.pdf Canek. (22 /Abril/ 2020). Ecuaciones diferenciales y resistividad electrica. http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/3.AplicacionesPrimerOrden/ImpNe wton.pdf Matemáticas Digitales. (22 /Abril, 2020). Resistividad electrica. http://www.matematicasdigitales.com/ley-de-enfriamiento-de-newton/...