Didàctica de les mates . Probabilitat I Estadistica Segundo Semestre PDF

Preview

Summary

Apunts de classe de la professora Gemma Sala...

Description

PENSAMENT ALEATORI ORGANITZACIÓ DE LA INFORMACIÓ: PROBABILITAT I ESTADÍSTICA Què és l’organització de la informació? - L’organització de la informació es refereix a dues disciplines clàssiques: la probabilitat i l’estadística. - La probabilitat és la part de la Matemàtica que s’ocupa de la comparació entre fets aleatoris possibles i fets reals comptabilitzats. - L’estadística s’ocupa de les competències que es refereixen al processament i a la comunicació de la informació (per exemple: recollida de dades en una enquesta i la seva representació gràfica). A quina edat l’infant pot aprendre a organitzar la informació? - El bloc temàtic del Pensament aleatori es pot començar a treballar a l’etapa d’Educació Infantil, sobretot dels 3 a 6 anys. - S’ha de començar a treballar des d’un punt de vista procedimental i actitudinal per la complexitat que comporta des d’un punt de vista conceptual Per què ensenyar-la a infantil? - Plantejar hipòtesis, fer conjectures, generalitzar, etc. afavoreix el desenvolupament del raonament inductiu. - Afavoreix el desenvolupament del raonament deductiu, ja que anima als estudiants a explicar, verificar, comunicar, a realitzar argumentacions cada vegada més fonamentades i convincents. - Promou una actitud positiva davant de l'experimentació. - Ofereix un context per a la resolució de problemes i ajuda a la generar-ne de nous. - Permet que l’alumnat aprengui a reconèixer que hi ha aspectes de la vida real que poden ser interpretats amb les matemàtiques. - Estimula l’ús d’eines tecnològiques. - Promou la incorporació i significació de paraules noves. - És útil per a posterior vida a l’escola i ajuda a entendre altres, matèries d’estudi curriculars, ja que sovint hi surten gràfiques o conceptes estadístics. Amb quines àrees tenen relació? ❖ La probabilitat i l’estadística tenen relació amb: - La mesura pel que fa a l’ús d’unitats i tècniques. - Els nombres pel que fa al seu contingut predominantment numèric. - Amb el coneixement del medi social (i de l’entorn, en general) pel que fa a la connexió amb les problemàtiques que emergeixen de l’entorn quotidià. Aspectes a tenir en compte en l’ensenyament de les primeres nocions ● ● ● ●

1

Les activitats han d’anar lligades a les experiències d’observació de l’entorn. Les activitats s’han de basar en la motricitat i/o en l’educació sensorial. Les activitats han d’estar molt lligades al llenguatge oral: expressió verbal del que s’ha après, adquisició de nou vocabulari (senzill però precís), etc. A P5 es pot introduir un primer simbolisme senzill, que segueixi l’acció de l’activitat (primeres taules de representació de dades).

Com iniciar el treball d’organització de la informació? ● ● ●

A partir d’activitats psicomotrius, representant dades fent servir com a unitats el propi cos o parts del cos. Amb activitats manipulatives, representant dades fent servir cubs de fusta, cubs multilink, etc. Posteriorment, a partir d’activitats gràfiques: primers diagrames de barres.

Què ens diu el currículum? Els continguts d’estadística del 2n cicle de Educació Infantil se centren en: 1.En la recollida de dades 2.L’organització de les dades recollides (classificació, ordenació) 3.La representació a través d’objectes, dibuixos o gràfics 4.La interpretació de gràfics La Probabilitat s’ha de treballar a partir de: 1.Els termes “probable” i “improbable” a partir de fets que provinguin de l’experiència dels infants. REFERENTS INTERNACIONALS A la Taula I s’indiquen els estàndards d’estadística i probabilitat proposats per l’associació nord-americana de societats de professors de matemàtiques (NCTM, 2003):

REFERENTS NACIONALS

2

Quin tipus d’activitats podem fer… ● Recollida i representació de dades com, per exemple: - Amb quina mà escriuen (retallar les mans posant-les en dues columnes). - La mida dels peus o del número que calcen. - Si porten o no ulleres. - L’edat que tenen. - Dades del temps (dies que ha plogut, etc.) ● Nocions de fenòmens a l’atzar. ● Fets segurs, possibles, impossibles. Proposta d’Alsina (2006, 2011)

3

Exemples d’experiències per treballar l’organització d’informació a E.I - Cada dia al matí, s’estableix un diàleg on s’analitza, per exemple si han arribat tots, si falta algú… - De manera informal, s’està fent un anàlisi de dades (en aquest cas dels alumnes que han vingut i dels que no) i sovint es fa una representació a través de les imatges els propis alumnes, que es classifiquen en dos grups. - En totes les escoles l’alumnat està organitzat d'alguna forma: - Per nivells - Per aules temàtiques.. - Sigui quin sigui el tipus d’organitzció, requereix una comprensió de les dades per part dels propis infants (progressivament¡, analitzen aquestes dades i prenen consicència d’aquells que són del seu grup i del que no) - Aquestes activitats pretenen que els alumnes s’iniciïn en el desenvolupament de la comprensió de les dades, de l’anàlisi de dades, de l’estadística a partir d’activitats informals de comptar, comparar i classificar. Què és pot fer amb materials? -

-

-

Les situacions d’experimentació amb materials diversos són idònies per afavorir l’anàlisi de dades i de fets segurs, probables o impossibles. Es poden utilitzar materials molt diversos: - targetes que representen el temps que fa cada dia - caixes - cubs de fusta d’un decímetre cúbic, un per cada nen de la classe, etc Amb aquests materials es tracta de construir un primer gràfic estadístic que, gràcies a la seva gran simplicitat, permet que els alumnes comprenguin des de petits aquesta forma de representar alguna cosa real, pròpia del seu entorn immediat. A E.I només gràfics de barres.

Aprendre jugant: La probabilitat i els jocs d’atzar

4

-

5

Aquesta experiència es va dur a terme en les escoles “Juan XXIII”, de Castilleja de Cuesta i “El Manantial”, de Bormujos (Sevilla), amb alumnat de 3 a 6 anys. El context d’aprenentatge escollit per dura a terme l’experiència va ser el pati de l’escola. A partir de les petites investigacions plantejades, relatives al temps atmosfèric, l’alumnat recull dades, les analitza, les discuteixen i, al final, les representen en un diagrama de barres.

Aprenem matemàtiques al pati de l’escola: Angel Alsina

-

6

Aquesta experiència s’ha portat a terme a l’escola “Lepanto” de Mairena del Aljarafe (Sevilla), amb alumnat de 4-6 anys. El context d’aprenentatge: El pati de l’escola En aquesta ocasió l’anàlisi s’ha centrat exclusivament en les plantes i arbres que hi ha en el pati. En el pati, en un full de registre, els infants hi van anotant el nombre d’arbres de cada classe. Un cop a l’aula, organitzen les dades i les representen també en un diagrama de barres.

Aprenem matemàtiques al cinema: Angel ALsina -

-

7

Aquesta experiència es va dur a terme en l’escola “Santo Domingo de Silos” de Bormujos (Sevilla) amb alumnat de 5-6 anys. Abans de l’excursió al cinema, a l’aula, els infants voten quina pel·lícula volen veure. A la imatge es pot veure una alumna fent el recompte per saber quina pel·lícula és la guanyadora.

Aquesta experiència es va dur a terme en l’escola “Marta Mata” de Girona, amb alumnat de 4 a 5 anys. Per dur a terme aquesta experiència es va escollir com a context d’aprenentatge la plaça “Pere Torrent” de Lloret de Mar, un poble proper a Girona. Aquesta plaça té

-

unes característiques arquitectòniques que la converteixen en un context ideal per treballar “in situ” continguts matemàtics. L’alumnat investiga quins elements es poden trobar a la plaça que mesurin menys o més d’un metre, organitzen les dades classificant-les en dos grups, i les representen en un diagrama de barres.

Amb aquesta activitat es connecten tres blocs de contingut: la numeració, la mesura i l’estadística i probabilitat. Aprenem matemàtiques a casa: Angel Alsina: -

8

Aquesta experiència s’ha implementat en els tres nivells del 2º cicle d’Educació Infantil a Sevilla. El context escollit es la casa on viu cada alumne: és un entorn que cada alumne coneix molt bé i tothom en podrà aportar dades Per obtenir aquestes dades s’envia una nota a casa per demanar la col·laboració de les famílies. S’hi demana una fotografia de cada dependència així com una imatge de la taula parada on s’hi pugui apreciar el número de persones que viuen a la casa (les imatges poden ser en format paper o bé poden enviar-les a una adreça de correu electrònic).

PROBABILITAT: Experiment aleatori: -

9

Edeveniments - Espai mostral - En extreure una carta d'una baralla, llançar una moneda, tirar un dau, i en altres exemples semblants, no podem saber per endavant el resultat que s'obtindrà. Són experiments aleatoris, aquells en què no es pot predir el resultat. - El conjunt de tots els possibles resultats d'un experiment aleatori s'anomena espai mostral, i cadascun d'aquests possibles resultats és un esdeveniment elemental. - Pot ser aleatori o determinant - Un esdeveniment és qualsevol subconjunt de l'espai mostral, es verifica quan es dóna qualsevol dels esdeveniments elementals que el formen. - Hi ha un esdeveniment que es verifica sempre, l'esdeveniment segur que és el mateix espai mostral. - Espai mostra quan tires un dau: 1-2-3-4-5-6- Succés → Que surti un número parell quan tiri un dau. - Succés tipus: - Simple - Compost - Segur

-

Impossible

Diagrames d'arbre Si es tira un dau dues vegades, quin serà l'espai mostral? I si s'extrauen boles d'una urna? En aquests casos els diagrames d'arbre ens ajuden a determinar els esdeveniments elementals. En l'exemple pots veure els esdeveniments elementals que resulten en llançar dues vegades una moneda.

Què és la probabilitat? Anomenem probabilitat d’un succés al nivell de certesa que es té que l’anomenat succés tingui lloc. Aquesta probabilitat es mesura amb un número comprès entre 0 i 1. Per exemple: Un dau (dels que fem servir habitualment) té 6 cares. Cada cara del dau té les mateixes probabilitats de sortir. Com podem establir les probabilitats de que surti, per exemple, un 2? Començarem per establir dues fronteres: •Quan un succés és impossible  , com per exemple que demà el Sol surti per ponent, diem que la seva probabilitat és 0. •Quan un succés és segur  , com per exemple, que demà el Sol sortirà per llevant, diem que la seva probabilitat és 1. Ara es tracta de mesurar, entre 0 i 1, les probabilitats del fenomen que volem estudiar. Això no sempre és fàcil, però en el cas del dau no ho és gens. Tranquil·lament, si el dau està ben fet podem dir que la probabilitat de treure un dos és d'una entre sis. Si volguéssim esbrinar la probabilitat de que una xinxeta caigui de manera que la punxa toqui la taula l'únic que podríem fer seria una estadística exhaustiva dels resultats del llançament de milers de xinxetes. En general acostumem a escriure la probabilitat d'un fet en forma de fracció. Al denominador posem la quantitat total de possibilitats que tenim i al numerador la quantitat de casos favorables (en el nostre cas un de sol)

10

Les probabilitats també s'acostumen a donar en forma de percentatges. Observem aquests exemples: •la probabilitat que al tirar un dau obtinguem un nombre de l'1 al 6 és del 100 % •la probabilitat de treure un dos en una tirada és del 16.66 % •la probabilitat que al tirar un dau es pari sol a un centímetre de la taula, faci quatre cabrioles i em torni a la mà és d'un 0 % (si no sóc en Harry Potter)

-

11

Llei de Laplace : - La probabilitat del succes es igual a: casos favorables entre casos possibles: numero entre 0-1

INTRODUCCIÓ AL TRACTAMENT D’INFORMACIÓ - ASPECTES BÀSICS

L’estadística: -

-

Es refereix als aspectes quantitatius de la realitat i el seu objectiu és utilitzar l’observació de quantitats, el comptatge i alguns càlculs per: 1. Conèixer millor la realitat en els àmbits concrets en què fem una activitat estadística. 2. Adquirir unes eines per expressar els aspectes quantitatius d’aquesta realitat. Per poder transmetre una informació estadística cal passar per les fases següents: 1. Recollida de dades. 2. recompte de les dades 3. Organització de les dades (elaboració de taules) 4. Tria i representació del gràfic més adient per transmetre la informació obtinguda.

Aspectes didàctics: -

Triar un tema que interessi realment a l’alumnat. Definir la mostra o conjunt d’elements que observarem. Definir les variables o característiques a observar de manera que siguin ben clares. Posar uns límits, en l’espai o el temps, segons el tipus de fets que s’observaran, que quedin ben clars. Establir uns símbols que representin cada variable i escriure’n la llegenda. Preparar una graella (o suport gràfic) per anotar les dades que es recullin. Preveure el tipus de gràfic que farem després perquè sigui el més adequat tenint en compte: la naturalesa de les dades, l’edat i la maduresa de l’alumnat.

Nocions estadístiques I: -

-

El conjunt d’individus objecte d’estudi s’anomena població. Les característiques de la població que s’estudien s’anomenen variables estadístiques. - Es poden classificar en : - Qualitatives (color dels cabells) Quan fa referència alguna cosa que no es quantitat. - Quantitatives (l’edat) La mostra de la població és una quantitat més petita de dades, representativa de la població. S’ha de calcular.

Nocions estadístiques 2: -

12

La freqüència absoluta d’un valor de la variables estadística és el nombre de vegades que es repeteix aquest valor. La freqüència absoluta acumulada d’un valor és la suma de les freqüències absolutes de tots els valors anteriors més la seva freqüència absoluta.

-

La freqüència relativa d’un valor és es quocient entre la freqüència absoluta i el nombre total de dades. Normalment, es representa en percentatges.

La freqüència i la moda són les primeres nocions que es poden treballar a E.I. La moda és el número que tingui la freqüència més alta. COMENTARIS NUMÈRICS: -

13

De quina edat hi ha més alumnes? De quins alumnes n’hi ha més, de 13 o de 14 anys? Quants més? Els alumnes de 13 anys són el doble dels d’11? I dels de 14, respecte els de 12? Quants alumnes hi ha de cada edat?

-

En total quants alumnes hi ha?

Nocions estadístiques 3: -

-

Els gràfics estadístics serveixen per representar de forma visual la informació estadística recollida. Hi ha diversos tipus de gràfics: gràfics de barres, gràfic de sectors, gràfic de línies, pictogrames, cartogrames (si la informació està relacionada amb llocs geogràfics), etc. A Infantil s’utilitza més el gràfic  de barres.

Nocions estadístiques 5: -

Per fer un gràfic de barres a partir d’una taula s’han de seguir els passos següents: 1. Dibuixar un eix horitzontal on hi figuren els valors de la variable estadística i un eix vertical on hi figurin les freqüències absolutes o relatives . 2. Dibuixar per cada valor de la variable estadística una barra vertical d’altura igual a la freqüència absoluta o relativa corresponent. 3. Posar el títol del gràfic, dels eixos i les unitats.

Aspectes didàctics: -

14

Es poden construir amb materials grossos: cubs de fusta, capses de llumins Es poden fer amb cartolina o acolorint quadrets d’una quadrícula.

-

Amb els més petits cal parar atenció que comprenguin el significat de la unitat comuna per totes les variables (indistintament de les seves qualitats).

Nocions estadístiques 6: NO ENTRA -

Quan s’ha de treballar amb variables que poden tenir molts valors diferents (p.e. l’edat) la taula no recull totes les edats. Les dades s’agrupen en classes. Per cada classe sabem la freqüència corresponent: per a cada classe coneixem quantes persones tenen una edat inclosa dins d’aquesta classe. Per representar les dades agrupades en classes s’utilitza un gràfic anomenat histograma. És molt semblant al gràfic de barres però les barres no es presenten separades.

Nocions estadístiques 8: -

Els gràfics de línies normalment s’utilitzen per representar una sèrie temporal (un conjunt de dades recollides cada cert temps per poder analitzar la seva evolució. Per representar-lo cal seguir els passos següents: - Dibuixar un eix horitzontal on s’hi col·locaran els anys (o unitat de temps) i un eix vertical amb una graduació convenient per poder representar les dades de cada any. - Representar amb un punt cada dada i després unir els diferents punts amb una línia. - El gràfic de línies per unir els punts ha de tenir un sentit. Exemple: Temperatures per veure la progressió.

Aspectes didàctics: -

15

LECTURA I INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS: Cal practicar-la començant amb gràfics molt senzills. Primers passos:

-

-

Donats els noms de les variables i un gràfic, a partir de la seva lectura, proposar a l’alumnat que dedueix les dades numèriques i els fets corresponents Donats tres gràfics i una senzilla realitat material (o un conjunt d’objectes) decidir quin dels tres és el que li correspon i quins gràfics són falsos. Fer una lectura senzilla de gràfics ja fets; interpretar el significat de cada valor i, a partir d’aquí, comparar-los.

Nocions estadístiques 9: IMPORTANT -

Els paràmetres estadístics són uns nombres que simplifiquen la complexitat de les dades (quan n’hi ha moltes) i ens ajuden a entendre el comportament de les variables que volem estudiar. - Les mesures de centralització són els paràmetres estadístics que informen sobre el valor central al voltant del qual es distribueixen els altres valors. Les més habituals són: la mitjana aritmètica / promig / media aritmética, la mediana i la moda.

Nocions estadístiques 10: -

La mitjana artimètica d’una variable estadística és el quocient entre la suma de tots els valors d’aquesta variable i el nombre d’aquests. Es representa per:

16

Aspectes didàctics: -

-

A partir de quan els infants coneixen el funcionament dels gràfics de barres (cal treballar-ho amb materials prèviament) els proposarem, tenint al davant un gràfic, que igualin totes les freqüències prescindint dels colors de les barres i sense modificar el total del conjunt. Experimentant, primer a partir dels gràfics i després a partir de les quantitats directament, arribaran a veure que la manera més pràctica de trobar la mitjana és sumant totes les freqüències i dividir el resultat pel nombre de variables (fórmula de la diapo anterior)

Nocions estadístiques 11: -

La moda és el valor que té la freqüència més gran. En l’exemple seria l’edat de 39 anys.

Nocions estadístiques 12: -

17

La mediana és la dada que ocupa el valor central després d’ordenar-les de menor a major o de major a menor. Si tenim un nombre imparell de dades és el valor que ocupa la posició central. Si tenim un nombre parell de dades serà la mitjana aritmètica de les dues dades centrals,

Nocions estadístiques 13: EXEMPLE: -

-

Si tenim el pes de 20 infants: 36, 44, 43, 42, 37, 36, 36, 38, 41, 44, 43, 42, 36, 36, 37, 37, 44, 42, 39, 40. Els ordenem: 36, 36, 36,36, 36,37, 37, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 42, 42, 43, 43, 44, 44,44. Com que hi ha 20 dades els llocs centrals són el 10 i l’11. El lloc nº10 l’ocupa el valor 39 i el lloc nº11 l’ocupa el valor 40. La mediana serà:

El nombre 39,5 en té tants de més petits que ell (10) com de més grans (10).

Bons recursos a la xarxa: -

CREAMAT: “Fem estadística”: http://srvcnpbs.xtec.cat/creamat/joomla/index.php/estadistica Recurs de l’Institut d’Estadística de Catalunya per treballar l’es...