DIKTAT MATEMATIKA DASAR PDF

Preview

Summary

MATEMATIKA DASAR UNTUK SAINS & TERAPAN (VERSI MODUL KULIAH) Basic Mathematical For Science & Applied (Lecture Module Version) lim  a 2  b 2 dx x2 x  x1 DISUSUN OLEH: Baiq Desy Aniska Prayanti, M.Sc Maxrizal, M.Sc. FAKULTAS PERTANIAN PERIKANAN DAN BIOLOGI UNIVERSITAS BANGKA BELITUNG 2016 ...

Description

MATEMATIKA DASAR UNTUK SAINS & TERAPAN (VERSI MODUL KULIAH)

Basic Mathematical For Science & Applied (Lecture Module Version)

x2

lim  a 2  b 2 dx x 

x1

DISUSUN OLEH: Baiq Desy Aniska Prayanti, M.Sc Maxrizal, M.Sc.

FAKULTAS PERTANIAN PERIKANAN DAN BIOLOGI UNIVERSITAS BANGKA BELITUNG 2016

1

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

DAFTAR ISI

Daftar Isi ................................................................................. Bab 1. Himpunan .................................................................... Bab 2. Sistem Bilangan........................................................... Bab 3. Fungsi .......................................................................... Bab 4. Limit ............................................................................ Bab 5. Turunan ....................................................................... Bab 6. Integral ........................................................................ Bab 7. Bank Soal .................................................................... Daftar Pustaka .........................................................................

2

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

CHAPTER I HIMPUNAN (SETS)

A. Pengertian Himpuan

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai istilah kelompok atau grup. Misalknya kelompok pemuda desa, grup tari, grup paduan suara ataupun kumpulan mahasiswa dari suatu program studi di universitas.

Definisi 1. Himpunan (sets) adalah kumpulan objek-objek yang didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1. a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian se-Indonesia. b. Kumpulan mahasiswa jurusan Biologi yang berumur kurang dari 19 tahun. c. Kumpulan mahasiswa peminat UKM Marching Band dan UKM Penelitian.

Dalam matematika, tidak semua pengelompokkan benda disebut dengan himpunan.

Contoh 2. a. Kumpulan mahasiswa jurusan Pertanian yang ganteng dan imut-imut. b. Kumpulan masakan Bangka yang enak. c. Kumpulan mahasiswa yang berbadan tinggi.

Perhatikan bahwa contoh-contoh diatas melibatkan sisi kualitas sehingga menimbulkan sifat ambiguitas. Kita tidak bisa mendefinisikan dengan jelas, kriteria-kriteria ganteng ataupun kriteria suatu makanan dikatakan enak. Pada intinya, setiap

3

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

kelompok yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas bukanlah suatu himpunan.

Test 1. (Question and Answer) Randam Sampel : 5 orang mahasiswa. 1. Berilah dua contoh himpunan! 2. Berilah tiga contoh yang bukan himpunan!

B. Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti

A, B, C,

dan diikuti oleh tanda kurung kurawal

  . Anggota

atau elemen dari himpunan berupa huruf, biasanya dinyatakan dalam huruf kecil.

Contoh 3. a.

A  1, 2,3

b. B   x x  3, x 



c. C  a, b, c, d 

Berdasarkan Contoh 3, 1 adalah anggota dari himpunan A dinotasikan 1 A dan d adalah anggota himpunan C , dinyatakan sebagai d  C . Selanjutnya, a bukan anggota dari himpunan A dinotasikan a  A . Banyaknya anggota himpunan A ada 3 dan dinotasikan n  A  3 atau A  3 .

Selanjutnya cara penyajian pada contoh a ) dan c) disebut bentuk pendaftaran (tabular-form) dan cara penyajian pada contoh b) disebut bentuk perincian (set-builder form).

Contoh 4. 1. Misalkan A  1,3,5,

4



Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

2. B   Andi, Canas, Toni Bentuk diatas bisa diubah menjadi bentuk perincian (set-builder form). 1. A  x x adalah bilangan ganjil 2. B   x x adalah pelajar pemenang lari 100m  Perhatikan bahwa pada bentuk pendaftaran (tabular-form), semua elemen/anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal. Sedangkan pada bentuk perincian (set-builder form), elemen himpunan hanya diwakili dengan sifat/ketentuan yang sesuai.

Test 2. (Question and Answer) Randam Sampel : 8 orang mahasiswa. 1. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan pendaftaran (tabular-form)! 2. Berilah dua contoh cara penyajian himpunan dengan bentuk perincian (set-builder form)! 3. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan dengan pendaftaran (tabular-form)! a.

A   x x adalah mahasiswa berawalan huruf Y 

b. B   x x adalah bilangan prima genap 4. Ubahlah bentuk berikut ke cara penyajian himpunan dengan bentuk perincian (set-builder form)! a.

A  1, 4,9,16, 25,



b. B  becak , bemo, bajaj

C. Jenis-Jenis Himpunan a. Himpunan kosong (null sets)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Notasi untuk himpunan kosong adalah

5



atau  .

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

Contoh 5. 1. A   x x adalah manusia normal berkaki empat



2. B  x x 2  4 dan x  ganjil



Jelas bahwa A   , karena tidak ada manusia normal yang berkaki empat. Sedangkan

B   , karena tidak ada angka

ganjil yang memenuhi persamaan itu. Nilai x yang mungkin hanyalah 2 atau 2 .

Test 3. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Berilah dua contoh himpunan kosong!

b. Himpunan semesta (universal sets)

Himpunan

yang

memuat

semua

anggota

yang

sedang

dibicarakan disebut himpunan semesta.

Contoh 6. 1. Misalkan A  1,3,5,

.

Himpunan semesta dari A

adalah himpunan bilangan asli

  , yaitu

S

.

2. Misalkan diberikan beberapa himpunan berikut ini. A   x x adalah mahasiswa agribisnis 

Himpunan semesta S   x x adalah mahasiswa FPPB

Test 4. (Question and Answer) Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. Tentukan himpunan semesta dari himpunan berikut ini! 1. A  1, 2,3 2. K  mawar, melati, anggrek 3. S   x x adalah ikan karnivora 4. C   x x adalah hewan mamalia 6

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

c. Himpunan bagian (subsets)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A merupakan anggota B , yang dinotasikan dengan A  B . Jika paling sedikit ada satu anggota dari A bukan merupakan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B , dinotasikan A  B .

Contoh 7. 1.  merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. 2. Misalkan A  2,3 dan B  1, 2,3, 4 maka jelas A B.

Perhatikan bahwa A  B dibaca A subset B atau bisa juga dinyatakan sebagai B super set dari A . Jika himpunan A memiliki n anggota maka banyak himpunan bagian dari A adalah 2n . Misalkan A  1, 2,3 maka himpunan bagiannya adalah

  , 1 , 2 , 3 , 1, 2 , 1,3 , 2,3 dan

1, 2,3 . Test 5. (Question and Answer) Randam Sampel : 5 orang mahasiswa. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari A   x x adalah bilangan bulat antara 0 dan 10 .

1. C  0,1, 2,3 2. K  7,8 3. S   x x adalah bilangan genap antara 0 dan 10

1 2 3  4. C   , ,  2 3 4 5. G  x x adalah bilangan prima genap

7

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

d. Keluarga himpunan (family of sets)

Himpunan A dinamakan keluarga himpunan jika semua elemennya berupa himpunan.

Contoh 8. 1. A  1 , 1, 2 2. B   x x bilangan genap , a, b, c ,  Selanjutnya

C  0, 1 , a, b

bukan

merupakan

contoh

keluarga himpunan karena ada satu anggota yang bukan merupakan himpunan yaitu 0 .

Test 6. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. 1. Berilah satu contoh keluarga himpunan! 2. Berilah satu contoh yang bukan keluarga himpunan!

e. Himpunan kuasa (power sets) Himpunan kuasa  2 A  adalah keluarga himpunan dari semua himpunan bagian dari himpunan A .

Contoh 9. 1. Diberikan A  1, 2 , maka banyak himpunan bagian dari A adalah 22  4 yaitu , 1 , 2 , 1, 2 . Jadi 2 A  , 1 , 2 , 1, 2 . 2. Diberikan B  a , maka banyak himpunan bagian dari B adalah 21  2 yaitu , a . Jadi 2B  , a .

Test 7. (Question and Answer) 8

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

Randam Sampel : 3 orang mahasiswa. Tentukan himpunan kuasa dari himpunan berikut! 1. A  a, b 2. B   x x adalah bilangan ganjil antara 0 dan 5 3. C  1, 2,3

f. Himpunan terhingga (finite) dan himpunan tak terhingga (infinite)

Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya berhingga.

Contoh 10. 1. Himpunan  2. Himpunan dengan n anggota. 3. M  ayam, itik , bangau

Himpunan

tak

berkorespondensi

terhingga satu-satu

adalah dengan

himpunan

bilangan

asli,

yang yaitu

himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

Contoh 11. 1. Himpunan bilangan asli. 2. Himpunan bilangan bulat. 3. M   x x adalah bakteri di dunia

Test 8. (Question and Answer) Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. 1. Buatlah dua contoh himpunan terhingga! 2. Apakah himpunan berikut terhingga? a.

A   x x adalah nama  nama hari

b. B   y y adalah bilangan ganjil

9

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

g. Himpunan terhitung (countable) dan tak terhitung (uncountable)

Himpunan terhitung adalah himpunan terhingga (finite) atau tak terhingga (infinite).

Contoh 12. 1. A  a, b, c 2. Himpunan bilangan ganjil.

Himpunan tak terhitung adalah himpunan yang tidak terhitung jumlahnya. Himpunan bilangan Real

 

adalah contoh himpunan yang tak

terhitung. Hal ini cukup beralasan karena kita tidak bisa menentukan berapa banyak bilangan Real yang terletak diantara dua bilangan bulat yang berurutan. Sifat bilangan Real akan kita bicarakan lebih mendalam pada bab 2.

Test 9. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Apakah himpunan berikut terhitung? 1. A  x x adalah nama  nama planet 2. B   y y adalah nama  nama presiden di bumi

h. Himpunan saling lepas (disjoint sets)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika himpunan A dan B tidak memiliki elemen yang sama.

Contoh 13. Misalkan himpunan A  1, 2,3 dan B  a, b maka himpunan A dan B dikatakan saling lepas. 10

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

Test 10. (Question and Answer) Randam Sampel : 3 orang mahasiswa. Apakah kedua himpunan berikut saling lepas? 1. A  x x adalah nama  nama planet

B  Venus, Bumi 2. K   y y adalah bilangan genap L   x x adalah bilangan ganjil

3. C  0, 2 D   x x adalah salah satu faktor dari 14

D. Kesamaan Himpunan

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika setiap elemen dari A merupakan elemen dari B dan sebaliknya.

Contoh 14. 1. A  1, 2,3 dan B  3, 2,1 maka A  B . 2. C  1, 2, 2, 2,1 dan D  2,1, 2 maka C  D .





3. E  5, 6 , F  x x 2  11x  30  0 maka E  F . Perhatikan bahwa jika ada elemen yang sama cukup dihitung sekali dan pada himpunan urutan elemen tidak dipermasalahkan. Berdasarkan sifat himpunan bagian, himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika berlaku A  B dan B  A .

Test 11. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Apakah kedua himpunan berikut sama? 1. K   y y adalah bilangan genap , L   , 2,0, 2, 2. C  





D   x x adalah bilangan prima genap lebih dari 2 11

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

E. Representasi Himpunan

Ada dua cara untuk menyajikan himpunan yaitu menggunakan diagram Venn dan diagram garis. Diagram Venn biasanya lebih umum digunakan karena dapat menyajikan elemen himpunan dengan jelas.

a. Diagram Venn

Pada diagram Venn, daerah persegi untuk menggambarkan himpunan semesta dan daerah lingkaran untuk menggambarkan himpunan di dalamnya.

Contoh 15. 1. Misalkan S  a, b, c, d , e , A  a, b dan B  c, d  .

2. Diberikan diagram Venn sebagai berikut.

Dari diagram diperoleh S  a, b, c, d , e , A  S dan

B  c, d  . Perhatikan bahwa berlaku B  A .

12

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

Pada contoh 1, himpunan A dan B tidak dapat diperbandingkan (not comparable) sedangkan pada contoh 2, himpunan A dan B dapat diperbandingkan (comparable).

Test 12. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Buatlah diagram Venn untuk himpunan berikut! 1. Himpunan Semesta S  a, b, c, d , e, f  ,

A  a, e , B  a, d  dan C  a, d , e 2. Himpunan Semesta S   x x adalah nama  nama hari

A  senin, rabu dan B  rabu, sabtu .

b. Diagram garis

Cara kedua untuk menyatakan hubungan antar himpunan dengan menggunakan diagram garis. Pada diagram garis A  B dinyatakan sebagai

Contoh 16. 1. Misalkan A  1, 2,3 , B  3 dan C  1, 2 .

Jelas bahwa B  A , C  A dan B  C . Dengan kata lain, B dan C tidak dapat dibandingkan.

13

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

2. Perhatikan diagram garis berikut ini!

Jelas bahwa B  A  E , B  A  F , C  A  E ,

C  A  F , B  C dan E  F .

Test 13. (Question and Answer) Randam Sampel : 4 orang mahasiswa. 1. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut! a.

A  a, e , B  a, d  dan C  a, d , e

b. A  senin , B  senin, rabu

C  senin, rabu, kamis 2. Buatlah diagram garis untuk himpunan berikut! a.

A B C ,D E C .

b.

A  D ,C  E  F , D  F  H .

F. Operasi Pada Himpuan

Jika kita memiliki dua himpunan atau lebih, kita bisa mengoperasikan himpunan-himpunan tersebut. Beberapa operasi yang dikenakan pada himpunan:

a. Irisan A  B   x x  A dan x  B

b. Gabungan A  B   x x  A atau x  B

c. Penjumlahan A  B   x x  A , x  B , x  A  B

d. Selisih A  B   x x  A dan x  B 14

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

e. Komplemen Ac   x x  A dan x  S 

Contoh 17. 1. Diketahui S  1, 2,

,10 , A  2,3 dan

B  2, 4,6,8,10 maka diperoleh a.

A  B  2

b. A  B  2,3, 4, 6,8,10 c.

A  B  3, 4,6,8,10

d. A  B  3 e. B  A  4,6,8,10 f.

Ac  1, 4,5,6,7,8,9,10

g. Bc  1,3,5,7,9 2. Perhatikan diagram Venn berikut ini!

Berdasarkan

diagram

diperoleh

S  a, b, c, d , e, f , g , h a.

A  a, b, f , h

b. B  c, d , g c. C  d , e, f , g , h d. A  B   e.

15

A  C   f , h

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

Test 14. (Question and Answer) Randam Sampel : 6 orang mahasiswa. Diberikan A   x 0  x  10, x  dan semesta S   x 0  x  12, x 



, B   x 5  x  9, x 



Tentukan! 1. A  B 2. A  B 3. A  B 4. A  B 5. B  A 6.

 A  B

c

7.

 A  B

c

G. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Beberapa sifat yang berlaku pada operasi himpunan:

a. Sifat komutatif A  B  B  A dan A  B  B  A .

b. Sifat Asosiatif

 A  B   C  A   B  C  dan  A  B  C  A   B  C  . c. Sifat Distributif

A   B  C    A  B    B  C  dan A   B  C    A  B   B  C  . d. Sifat Identitas

A   , A  S  A , A   A dan A  S  S . e. Sifat Idempoten A  A  A dan A  A  A .

f. Sifat De Morgan

 A  B

16

c

 Ac  Bc dan  A  B   Ac  Bc . c

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal



,

Contoh 18. Diberikan himpunan semesta S  a, b,

, z , A  a, b dan

B  C  a, e . Tentukan  A  B   C ! Perhatikan bahwa  A  B   C  A   B  C   a .

Test 14. (Question and Answer) Randam Sampel : 2 orang mahasiswa. Diberikan A  rabu, kamis, jumat , B   jumat , sabtu , dan semesta S   x x adalah nama  nama hari Tentukan! 1.

 A  B

c

2.

 A  B

c

H. Task and Exercise

1. Manakah yang merupakan himpunan bagian dari

A  1, 2,

, 20 . Berikan penjelasanmu !

a. M  0,3,6,9 b. N   x x bilangan bulat antara 11 dan 12 c. O  19, 20, 21 d. A  x x bilangan prima kurang dari 23 2. Diberikan S  1, 2,

, 7

A  1, 2 . B  3,5, 7 Tentukanlah: a.

A B

b. A  B c.

A B

d. A  B 17

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

e.

Ac  Bc

f.

 A  B

c

g.

 A  B

c

h. Diagram Venn

3. Perhatikan diagram Venn di bawah ini!

Tentukan himpunan dari a. Laut b. Sungai c. Danau d. Laut  Danau e. Laut  Sungai f. Sungai  Danau g. Laut  Danau  Sungai

4. Berikut ini daftar olahraga favorit beberapa mahasiswa Agribisnis. A menyukai sepak bola dan futsal. B menyukai bulutangkis. C tidak menyukai sepak bola, dan menyukai futsal. D menyukai semua jenis olahraga. E tidak menyukai semua jenis olahraga yang ada. a. Buatlah diagram Venn untuk masalah di atas! b. Siapa yang menyukai futsal dan Bulutangkis!

18

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

5. Diberikan S  1, 2,3, 4,5 ,  A  B   1, 2 dan c

Ac  2 . Tentukan: a. B c

19

b.

 A  B

c.

 A  B

d.

 A  B

c

Matematika Dasar Untuk Sains & Terapan by Bq. Desy A.P. & Maxrizal

CHAPTER II SISTEM BILANGAN PART 1 (Numbers System)

A. Bilangan Real

Sistem bilangan terdiri atas dua himpunan utama yaitu himpunan bilangan real

I  .

 

dan himpunan bilangan imajiner

Gabungan antara bilangan real dan imajiner dinamakan

dengan bilangan kompleks

 

.

Himpunan bilangan real terdiri atas bilangan rasional dan irrasional. Berikut ini diberikan diagram garis untuk himpunan bagian dari bilangan real.

B. Bilangan Bulat

Bilangan bulat positif berbentuk dikenal dengan bilangan asli