DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI PDF

Preview

Summary

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI 1. Pengertian Populasi ialah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda, dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian.  Populasi Terbatas unsurnya terbatas berukuran N contoh: populasi bank, ...

Description

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI 1. Pengertian Populasi ialah kumpulan dari semua kemungkinan orang-orang, benda-benda, dan ukuran lain yang menjadi objek perhatian atau kumpulan seluruh objek yang menjadi perhatian.  Populasi Terbatas unsurnya terbatas berukuran N contoh: populasi bank, populasi perusahaan reksa dana, dsb  Populasi Tidak terbatas yaitu suatu populasi yang mengalami proses secara terus-menerus sehingga ukuran N menjadi tidak terbatas perubahan nilainya

Sampel merupakan suatu bagian dari populasi tertentu yang menjadi perhatian.  Sampel Probabilitas merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga masing-masing anggota populasi memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel.  Sampel Nonprobabilitas merupakan suatu sampel yang dipilih sedemikian rupa dari populasi sehingga setiap anggota tidak memiliki probabilitas atau peluang yang sama untuk dijadikan sampel

2. Metode Sampling Sebelum melakukan penelitian, diperlukan sampilng agar penelitian dapat berjalan dengan lancar dan cepat. Untuk mendapatkan sampel yang diambil dari populasi banyak sekali peluang terjadinya kombinasi-kombinasi sampel yang akan diteliti. Maka para peneliti perlu tahu berapa banyak sampel yang mungkin diambil dari populasi tersebut. Prosedur sampling

berfokus

pada

pengumpulan sebagian kecil

anggota

(sampel) dari populasi yang lebih besar. Dimana sampel tersebut kemudian digunakan untuk memperkirakan karakteristik dari seluruh populasi. Teknik Sampling Dengan Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi dapat dipilih lebih dari satu kali. Sampling

Tanpa

Pengembalian adalah metode sampling dimana setiap anggota dari suatu populasi tidak dapat dipilih lebih dari satu kali.

1

3. Distribusi Sampling

Distribusi sampel dari rata-rata hitung sampel adalah suatu distribusi probabilitas yang terdiri dari seluruh kemungkinan rata-rata hitung sampel dari suatu ukuran sampel tertentu yang dipilih dari populasi, dan probabilitas terjadinya dihubungkan dengan setiap rata-rata hitung sampel. (Suharyadi) Sedangkan menurut Sudjana, Distribusi Sampling merupakan kumpulan nilainilai statistika yang sejenis lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antara nilai statistik dan frekuensi statistika. (Sudjana, 2001 :87) Distribusi Sampling terdiri dari:  Distribusi Sampling Rata-rata  Distribusi Sampling Proporsi  Distribusi Sampling Selisih Rata-rata  Distribusi Sampling Selisih Proporsi

DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA Sudjana (2001 : 87) mendefenisikan Distribusi sampling rata-rata adalah kumpulan dari bilangan-bilangan yang masing-masing merupakan rata-rata

hitung

dari samplenya.

Notasi Dalam Distribusi Sampling Rata-rata: n

: ukuran sampel

N

: ukuran populasi

x

: rata-rata sampel

µ

: rata-rata populasi

s

: standar deviasi sampling

: standar deviasi populasi

x

: rata-rata pada distribusi sampling rata-rata

x

: standar deviasi pada distribusi sampling rata-rata

2

Rumus Distribusi Sampling Rata-rata:

Populasi tidak terbatas ≤ 5% x =µ

Rata-rata Standar Deviasi

x

Nilai Baku

z=

√

x

x x

Ket: √

Populasi terbatas > 5% x =µ

x

z=

√

.√

x

x x

disebut dengan faktor koreksi

Contoh Soal ABC Company memproduksi ‘Remote Control’ dengan menggunakan dua baterai. Rata-rata umur baterai yang digunakan di produk ini adalah 35 jam. Distribusi umur baterai mendekati distribusi probabilitas normal dengan standar deviasi 5,5 jam. Sebagai bagian dari program pengujian, diambil sampel sebanyak 25 baterai. Hitunglah probabilitas umur baterai lebih dari 36 jam? Penyelesaian Dik:

x = µ = 35 = 5,5 n = 25

Dit:

Jawab:

P( x >36)?

x =√ =

√

x

= 1,1

x =

a. z =

= 0,91

x

3

b.

0

z

Lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =

0,5000

luas antara 0 - z

0,3186 -

=

luas sebelah kanan z =

0,1814

Kesimpulan : Jadi, dari 25 baterai yang dipilih, probabilita umur baterai lebih dari 36 jam adalah sebesar 0,1814 atau 18,14%.

DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSI

Menurut Sudjana (2001 : 95), distribusi sampling proporsi adalah kumpulan atau distribusi semua perbandingan samplenya untuk suatu peristiwa. Notasi Dalam Distribusi Sampling Proporsi: ` : rata-rata pada distribusi sampling proporsi : standar deviasi pada distribusi sampling proporsi

Rumus Distribusi Sampling Proporsi

Populasi tidak terbatas ( ≤ 5%)

(

=π

Rata-rata Standar Deviasi

Populasi terbatas

=√

5%) =π

=√

.√

Nilai Baku z=

z=

Jika nilai π dari populasi tidak diketahui, dalam hal ini π dianggap sama dengan 0,5 yaitu nilai π(1-π) yang maksimum. 4

CONTOH SOAL Sebuah Bakery Store “BT” menemukan bahwa pembelian dilakukan oleh 20% dari pelanggan yang memasuki tokonya. Suatu pagi terdapat sampel acak sebanyak 180 orang memasuki toko. Berapa probabilita pelanggan yang membeli kurang dari 15%? Penyelesaian: Dik:

n = 180 π(membeli)= 20% = 0,20

Dit:

a. P ( < 15%)?

Jwb:

= π = 0,20 =√ a. z =

=√

= 0,029814239

=

= -1,68

z

0

lihat tabel z: luas sebelah kiri 0

=

0,5000

luas antara

=

0,4535-

=

0,0465

z-0

luas sebelah kiri z

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 180 orang yang masuk ke toko, pelanggan yang membeli kurang dari 15% adalah sebesar 0,0465 atau 4,65%

5

SOAL DISTRIBUSI SAMPLING RATA-RATA DAN PROPORSI 1. 250 peserta dijadikan sebagai sampel dalam lomba karya tulis ilmiah. Ternyata terdapat beberapa karya tulis ilmiah yang merupakan tindakan plagiarism yang dilakukan oleh para peserta di lomba tersebut. Jika pada kenyataannya, 30% dari hasil karya tulis tersebut merupakan hasil plagiarism, berapakah probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35% dari karya tulis tersebut benar-benar hasil plagiarism? Penyelesaian Diketahui :

n = 250 π(plagiarism)= 30% = 0,30

Ditanyakan : P ( 25% < Jawaban

:

< 35%)?

= π = 0,30 =√

=√

= 0,028982753

=

=

= -1,73

=

=

= 1,73

Lihat tabel z: luas antara

-0

= 0,4582

luas antara 0-

= 0,4582 +

luas antara

= 0,9164

0

Kesimpulan : Jadi, probabilita bahwa akan terdapat antara 25% dan 35% dari hasil karya tulis tersebut benar-benar plagiarism adalah sebesar 0,9164 atau 91,64%

2. Sebuah perusahaan telekomunikasi memiliki 100 anak perusahaan. Berdasarkan hasil observasi terhadap anak perusahaan ternyata mempunyai rata-rata pendapatan sebesar Rp. 150.000.000 per bulan dengan varians Rp. 400.000.000.000.000. Jika diambil sampel random sebanyak 9 anak perusahaan. Berapa probabilita pendapatan per bulan anak perusahaan maksimal Rp168.000.000?

6

Penyelesaian Dik:

x = µ = 150.000.000

=√

= 20.000.000

n=9

Dit:

P( x 168.000.000)? ≤

Jawab:

x =√ =

= 6666666.66666667

√

x

x =

a. z =

= 2,7

x b.

0

z

Lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =

0,5000

luas antara 0 - z

0,4965 +

=

luas sebelah kanan z =

0,9965

Kesimpulan : Jadi, probabilita pendapatan per bulan anak perusahaan

maksimal

Rp168.000.000 ialah sebesar 0,9965 atau 99,65%

3. The mean age at which women in the United Kingdom marry for the first time is 24,8 years. For a random sample of 60 women, answer the following question. a. Assume that the population is 460 women and the standard deviation of the sample is 2,8 years, what is the probability that the age which they were married for the first time is less than 25,1 years ? b. If the probability that the age which they were married for the first time is less than 25,1 years is 82,38%, what is the standard deviation of the sample ?

7

Solution A. Given

:

Determine

: P( x < 25,1) ?

Answer

:

x

x = µ = 24,8

x

√

.√

x

z=

n = 60

=

√

.√

N = 460

s = 2,8

= 0,387220866

= 0,774751637 / 0,77

x

lihat tabel z:

0

luas sebelah kiri 0=

0,5000

luas antara 0 – z =

0,2794 +

luas sebelah kiri z=

0,7794

z

Jadi probabilita bahwa wanita di UK menikah pertama kali pada umur kurang dari 25,1 tahun dengan standar deviasi 2,8 dan populasi 460 wanita adalah sebesar 77,94%

B. Given

:

x = µ = 23,5

Determine

:S=?

Answer

n = 50

P( x > 25) = 1,7%

:

lihat tabel z: luas sebelah kanan 0= 0,5000 luas antara 0 – z 0 x

x

z=

Z

= 0,3238 +

luas sebelah kanan z= 0,8238

= 0,9295160031 / 0,93

x x

√

=

√

=

s=2,5 So, If the probability that the sample mean is less than $25,10 is 82,38% , the standard deviation of the sample is $2,50.

4. Glassware Company has just received 5000 cristal bottles. Before accepting the bottles, the headoffice insists that 9 of the cristal bottles be randomly selected for testing. He 8

intends to measure the maximum capabilty of each bottle and reject the shipment if the mean capability for the sample is greater than the 300 newton listed on the product label. Unknown the manager, the bottles on the truck require an average of 295 newton, with a standard deviation of 12 newton. Stating any additional assumptions you are using, find the probability that the cristal bottles will be rejected. Penyelesaian Dik:

N = 5000 µ = 295 n=9 = 12 if the mean capability for the sample is greater than the 300 the cristal bottles will be rejected

Dit:

The probability that the cristal bottles will be rejected, P( x > 300)?

Jwb:

=

= 0,0018 < 5% (tidak menggunakan faktor koreksi)

x = µ = 295 x

√

x

= x

z=

√

=

=4 = 1,25

x

lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =

0,5000

luas antara 0 - z

0,3944 -

=

luas sebelah kanan z =

0 Conclusion:

0,1056

z so, the probability that the cristal bottles will be rejected is 0,1056 or 10,56%

5.

Fakultas Ekonomi Universitas Padjadjaran menerima mahasiswa baru pada tahun 2011 sebanyak 528 orang dan 211 orang diantaranya telah membawa netbook pribadi ke kampus. Sebanyak 120 mahasiswa baru diambil sebagai sampel acak. Hitunglah: a.

Standar deviasi? 9

b.

probabilita mahasiswa yang membawa netbook antara 50% dan 60%?

Penyelesaian Dik:

N= 528

n = 120

x = 211 Dit:

a.

Jwb:

π=

?

b. P (50% < < 60%)? = 0,3996

=

= 0,227 > 5% (gunakan faktor koreksi)

=√

=√

√

=π=

= 0,3996

=

=

= 2,55

=

=

= 5,09

. √

= 0,039342978

0 Lihat tabel z: luas antara 0-

=

0,5000

luas antara 0-

=

0,4946-

luas antara

=

0,0054

-

Kesimpulan: probabilita mahasiswa yang membawa netbook antara 50% dan 60% adalah sebesar 0,0054 atau 0,54%

6.

Of the 629 passenger vehicles imported by a South American Country in a recent year 117 were Volvos. A simple random sample of 300 passenger vehicles imported during that year is taken with a standar deviation 40. What is the probability that at least 15% of vehicles in this sample will be Volvo? 10

Solution Given

: N = 629 x = 117 n = 300

7. Tentukanlah probabilita bahwa diantara 200 anak yang akan lahir, terdapat: a. Kurang dari 40% adalah bayi laki-laki? b. Lebih dari 54% adalah bayi laki-laki? Asumsi : probabilita kelahiran untuk bayi laki-laki dan perempuan setara Penyelesaian Dik:

n = 200 π(lahir bayi laki-laki)= 50% = 0,50

Dit:

a. P ( < 40%)? b. P ( > 54%)?

Jwb:

= π = 0,50 =√ a. z =

=√

= 0,035355339

=

= -2,83 lihat tabel z:

z

luas sebelah kiri 0

=

0,5000

luas antara z-0

=

0,4977-

luas sebelah kiri z

=

0,0023

0

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 200 anak yang lahir, kurang dari 40 % adalah bayi laki-laki adalah sebesar 0,0023 atau 0,23%

b. z =

=

= 1,13

11

0

z

lihat tabel z: luas sebelah kanan 0 =

0,5000

luas antara

0,3708-

0-z

=

luas sebelah kanan z =

0,1292

Kesimpulan: Jadi, probabilita bahwa diantara 200 anak yang lahir, lebih dari 54 % adalah bayi laki-laki adalah sebesar 0,1292 atau 12,92%

12

DISTRIBUSI SAMPLING SELISIH RATA-RATA DAN PROPORSI

Statistik merupakan salah satu hal terpenting dalam proses pengambilan keputusan pada bidang ekonomi, bisnis maupun ilmu pengetahuan. Statistik mengacu pada estimasi dan uji hipotesis. Agar estimasi atau uji hipotesis mendekati kondisi sebenarnya pada populasi maka perlu diambil sampel-sampel yang dapat mewakili populasi. Hal ini dapat dilakukan dengan cara random sampling, dimana setiap elemen dari populasi memiliki peluang yang sama untuk terpilih menjadi sampel. Dari pengambilan sampel ini kita dapat mempelajari karakteristik populasi berdasarkan sampel yang diambil dari populasi itu. Berdasarkan sifatsifat sampel yang diambil dari sebuah populasi, statistika akan membuat kesimpulan umum yang diharapkan berlaku untuk populasi itu. Jika nilai-nilai statistik yang sejenis dikumpulkan, lalu disusun dalam suatu daftar sehingga terdapat hubungan antarnilai statistik dan frekuensi statistik yang didapat, maka diperoleh kumpulan statistik yang disebut distribusi sampling (Sudjana, 2004: 87).

1.

Distribusi Sampling Selisih Rata-Rata Distribusi sampling selisih rata-rata adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi

dari selisih rata-rata dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya. Untuk ukuran sampel n1 dan n2 yang cukup besar (n1, n2 > 30), maka distribusi sampling selisih rata-rata sangat mendekati distribusi normal, untuk mengubahnya ke dalam bentuk normal standar maka diperlukan rumus : ̅

̅ ̅

̅

̅

̅

Dimana : a. Rata-rata ( Means ) ̅

̅

b. Simpangan baku ( standard deviation ) ̅

Jika

̅

√

dan

tidak diketahui, maka dapat menggunakan standar deviasi dari sampel. 13

Contoh soal : Pegawai perusahaan Global Network Inspectionpada Divisi Inspeksi Pembongkaran mempunyai gaji rata-rata sebesar $4300/bulan, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan mempunyai gaji $3750/bulan. Setelah dihitung, diperoleh rata-rata hitung dari deviasi kuadrat setiap gaji terhadap gaji rata-rata Divisi Inspeksi Pembongkaran $52.000, sedangkan Divisi Inspeksi Pengangkutan sebesar $19.500. Bila diasumsikan diambil sampel random pada Divisi Inspeksi Pembongkaran sebanyak 90 orang dan Divisi Inspeksi Pengangkutan75, berapakah probalilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 ? Jawab : Dik

:

Divisi Inspeksi Pembongkaran

:

μ1 = $ 4300

= $ 52.000

n1 = 90

Divisi Inspeksi Pengangkutan

:

μ2= $ 3750

= $ 37.000

n2 = 75

Dit

̅

:

5

?

Jawab : ̅

̅

̅

̅

4300 – 3750= 550 5 √

̅

√ ̅ ̅

̅

̅

5 5

̅

55

5

5

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0 - Z

= 0,4370 –

Luas Kanan Z = 0,9370 Z

0

Jadi, probabilita selisih rata-rata gaji dari dua sampel lebih besar dari $ 500 adalah 0,9370 atau 93,70 %. .

14

2.

Distribusi Sampling Selisih Proporsi Distribusi sampling selisih proporsi adalah distribusi probabilitas yang dapat terjadi

dari selisih proporsi dua sampel yang berbeda berdasarkan pada dua sampel tertentu dari ukuran parameter dua populasinya, adapun rumus distribusi sampling selisih proporsi dinyatakan dalam : a. Rata-rata proporsi

b. Simpangan baku proporsi √

Distribusi sampling selisih proporsi inipun akan mendekati distribusi normal bila ukuran-ukuran sampel cukup besar (n1, n2> 30), maka untuk merubahnya menjadi bentuk normal standar diperlukan rumus : (

Jika

)

tidak diketahui dan dianggap sama maka nilai : =p=

sehingga standar baku proporsinya menjadi : √

Contoh soal : Alya dan Deasy akan melakukan sebuah pertandingan pelemparan sekeping uang logam, Deasy akan menang bila memperoleh 8 sisi gambar lebih banyak dari pada Alya, jika diasumsikan mereka diberi kesempatan masing-masing melempar uang logam sebanyak 40 kali, berapa peluang Deasy memenangkan pertandingan ini ? Berilah saran apakah Deasy akan ikut dalam pertandingan atau tidak, jika harapan kemenangannya harus sebesar 15% atau lebih?

15

Jawab : Dik

: π1 =π2 = 50% n1=n2 = 40

Dit

: a.

Jwb

: a.

(

5 %) = ( 0,5 – 0,5 ) = 0

√ √ (

)

5

Luas kanan 0 = 0,5000 Luas 0- Z

= 0,3665 –

Luas Kanan Z = 0,1335 0

Z

Jadi, peluang Deasy memenangkan pertandingan ini adalah 0,13...