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Producto Académico N° 1Control de lectura 1Instrucciones: Resuelva los problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.JUSTIFICACIÓNEste proyecto promoverá una visión más específica de lo que es el uso de las ecuaciones diferenciales en la solución de problemas en ...

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CÁLCULO III

Producto Académico N° 1

Producto Académico N° 1 Control de lectur lectura a1 Instrucciones: Resuelva los problemas de aplicación de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. JUSTIFICACIÓN Este proyecto promoverá una visión más específica de lo que es el uso de las ecuaciones diferenciales en la solución de problemas en Crecimiento – Decrecimiento Poblacional, Ley de Newton (Calentamiento y Enfriamiento) y Circuitos Eléctricos Simples; buscando brindar el conocimiento en estas áreas de la ingeniería a los estudiantes para comprender: A. ¿Cómo varía el número de individuos en función del tiempo en una población? B. ¿Cómo varía la temperatura en función del tiempo de un cuerpo? C. ¿Cómo varía la intensidad de corriente en función del tiempo en un circuito eléctrico? D. ¿Cómo varía la carga en función del tiempo en un circuito eléctrico?

INTRODUCCIÓN

Los problemas de aplicación cumplen un razonamiento matemático expresado por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, que define a la variable dependiente en función del tiempo en el fenómeno de estudio, resolviendo dicha ecuación con su condición de valor inicial (tiempo igual a cero) y una medición genera el modelo

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matemático que calcula la medida de la variable dependiente en cualquier instante, tema que es muy importante para la formación y desarrollo del conocimiento ingenieril, el cual necesitan manejar a la perfección los futuros aspirantes a ser profesionales en el campo de la ingeniería.

OBJETIVO GENERAL Obtener el modelo matemático que determina la medida de la variable dependiente en cualquier instante dado sus condiciones iniciales.

OBJETIVO ESPECÍFICOS  Determinar la ecuación diferencial que modela el fenómeno.  Determinar el modelo matemático que calcula la medida de la variable dependiente en cualquier instante. PROBLEMAS PROPUEST PROPUESTOS OS 1. Gracias a ciertos estudios realizados se sabe que la mosca del Mediterráneo crece en proporción al número presente en cada momento. Después de 2 horas de observación se forman 800 familias de la mosca y después de 5 horas se forman 2000 familias.

∆P  Variación de la población ∆T  Intervalo de tiempo P  Población en función del tiempo

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T  Tiempo en horas K  constante de proporcionalidad

Encontrar: a. El modelo matemático que determina el número de familias en cualquier instante.

b. El número de familia que había al inicio.

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2. La población de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al número de habitantes que hay en un momento dado en ella. Sí después de 5 años, la población se ha triplicado y después de 8 años es de 45 000 habitantes. ∆P  Variación de la población ∆T  Intervalo de tiempo P  Población en función del tiempo T  Tiempo en años K  constante de proporcionalidad

Determina: a. El modelo matemático que determina el número de habitantes en cualquier instante. 4|Página

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b. El número de habitantes que había inicialmente.

3. Una sustancia se enfría desde 100 °C hasta 70 °C en 15 minutos estando al aire libre (temperatura del aire 20 °C. ∆T  Variación de la Temperatura ∆t  Intervalo de tiempo en minutos K  Constante de enfriamiento Tm  Temperatura del aire T  Temperatura en función del tiempo t  Tiempo en minutos

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Determina: a. El modelo matemático que determina la temperatura en cualquier instante de la sustancia.

b. La temperatura de la sustancia después de 30 minutos.

4. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitación en la cual hay una temperatura constante de 18 °C. Si después de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8 °C y después de 25 minutos es de 12 °C. Determina: a. El modelo matemático que determina la temperatura en cualquier instante del cuerpo. 6|Página

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T(15) = 8 = 18 + C.e-k(15)  C = -10.e15.k T(25) = 12 = 18 + C.e-k(25)  C = -6.e25.k Igualando en C 10.e15.k = 6.e25.k  k = 0.05 8 = 18 + C.e(-0.05*15)  C = -21.17

T = 18 – 21.17*e(-0.05*t)

b. La temperatura inicial del cuerpo.

T(0) = 18 – 21.17*e(-0.05*0)

T = -3.17 oC

5. Se desea enfriar una sustancia, la cual se introduce en un refrigerador que está a una temperatura constante de 5 °C. Al cabo de 30 minutos, la sustancia está a 8 °C y después de 40 minutos está a 6 °C. Encuentra: a. El modelo matemático que determina la temperatura en cualquier instante de la sustancia.

T(30) = 8 = 5 + C.e-k(30)  C = 3.e30.k T(40) = 6 = 5 + C.e-k(40)  C = e40.k Igualando en C 3 = e10k  k = 0.11 8 = 5 + C.e-3.3  C = 81.338 oC

T = 5 + (81 338)*e-(0.11)t

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b. La temperatura inicial de la sustancia.

T(0) = 5 + (81.338)*e0

T(0) = 86.338 oC

6. Un cuerpo a una temperatura de 30 °C está inmerso en un baño cuya temperatura se mantiene en 50 °C. Después de una hora la temperatura del cuerpo es de 40 °C. Determina: a. La temperatura del cuerpo después de dos horas a partir de la inmersión.

T(0) = 30 = 50 + C*e-k(0)  C = -20 oC T(1) = 40 = 50 – 20*e-k(1)  k = 0.693 T(2) = 50 – 20*e2*(-0.693)  T(2) = 44.999 oC

b. El tiempo que se

necesita para que la

temperatura del cuerpo se de 48 °C

48 = 50 – 20*e(-0.693)*t t = 3.32 horas 8|Página

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7. La temperatura del aire es de 40 °C. Si un objeto se enfría en el aire pasando de una temperatura de 120 °C a otra de 100 °C en 20 minutos. Encuentra: a. La temperatura del cuerpo después de 30 minutos.

T(0) = 120 = 40 + C*e-k*0  C = 80 oC T(20) = 100 = 40 + 80*e-k*(20)  k = 0.014 T(30) = 40 + 80*e(-0.014*30)  T(30) = 92.56 oC

b. El

tiempo

necesario para que

la temperatura del objeto sea de 70 °C

70 = 40 + 80*e(-0.014)t

t = 70.06 minutos

8. Un circuito RL tiene una de

9 voltios, una resistencia de 30

ohmios, una inductancia de 1 henrios y no tiene corriente inicial, halla la corriente en el circuito para un tiempo de 0,2 segundos.

E = R*i + L*i’ 9 = 30*i + i’  9dt – 30*i*dt = di Integrando: 9t – 30i*t = i i(t) = 9t/(1 + 30t) i(0.2) = 9*0.2/(1 + 30*0.2) = 0.257 A

9. Halla la corriente en

un circuito RL que tiene

un voltaje constante, R = 40 ohmios, y L = 8 henrios. Para t = 0, los valores de E y I

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son cero voltios y 10 amperios, respectivamente. También calcula el tiempo necesario para I = 5 amperios.

E = R*i + L*i’ 0 = 40(10) + 8i’  -50dt = di Integrando: i(t) = -50t 5 = i(t) = -50t  t = 0.1 segundos 10. Un circuito RC tiene una fem de 300cos2t voltios, una resistencia de 200 ohmios y una capacitancia de 0,01 faradios. Inicialmente no hay carga en el condensador. Halla la corriente en el circuito en t = 4π segundos.

E(t) = R*di/dt + i/C 300*cos(2t) = 200*di/dt + i/0.01 3*cos(2t)dt – i*dt = 2*di Integrando: 1.5*sen(2t) – i*t = 2*i  i(t) = 1.5*sen(2t)/(2 + t)

i(4*10-9) = 0.105 * 10-9 = 0.105 nA PL PLANTEAMIENTO ANTEAMIENTO Se anticipa como las matemáticas y más exactamente las ecuaciones diferenciales ordinarias que modela el comportamiento desde el momento que se inicia el fenómeno. Una particularidad en el planteamiento de la ecuación diferencial ordinario es de que las variables de estudio en los problemas de aplicación son directamente proporcionales,

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situaciones más frecuentes que los ingenieros encuentran en las industrias o en investigaciones.

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