Dv v Differentiaalvergelijkingen PDF

Preview

Summary

Download Dv v Differentiaalvergelijkingen PDF

Description

d.v. van de vorm y' = f(ax + by + c) y' = f(ax + by + c) Voorbeelden: y' = x – y + 1 y' = sin(x – y) y' = cos(x – y) y' = (x+y)2 Stel a = 0



y' = f(by + c) dy = f(by + c) dx dy  dx f ( by  c) dy  f ( by  c) =  dx

Stel b = 0



y' = f(ax + c) dy = f(ax + c) dx dy = f(ax + c) dx

 dy =  f(ax + c) dx Stel nu a  0 en b  0 Door de juiste subsitutie kunnen we de variabelen scheiden. y' = f(ax + by + c) dy = f(ax + by + c) dx Stel diff naar x

Dan

En dus

(1)

z = ax + by + c z = z(x) z' = a + by' z'  a y' = subst in (1) b z'  a = f(z)  z' = f(z) b + a b





dz = a + b.f(z)  dx

dz = dx a + b.f(z)

dz =  dx a + b.f(z)

Voorbeeld: Los op: Stel subst. in (*)

y' = x – y + 1 z=x–y+1 1 – z' = z z' = 1 – z dz = 1–z dx – ln | 1 – z | =

Differentiaalvergelijkingen

(*) 



z' = 1 – y'



y' = 1 – z'

dz = dx 1z





dz =  dx 1z

x+K

Page 1

d.v. van de vorm y' = f(ax + by + c) ln | 1 – z | = – x + K 1 – z = Ce–x  

z = 1 – Ce–x x – y + 1 = 1 – Ce–x y = x + Ce–x

Algemene oplossing

Voorbeeld: y' = sin(x – y) (*) Stel z=x–y z' = 1 – y' subst. in (*) 1 – z' = sin(z)



y' = 1 – z'

z' = 1 – sin(z)



dz = 1 – sin(z) dx



dz   dx 1 - sin(z)

Voor het oplossen van deze integraal doen we de substitutie u = tan(½z) ½ z = arctan u z = 2 arctan u 2 2 dz dz = du  = du 1  u 2 1 u 2 u = tan(½z) sin(1 2 z)  sin(½z ) = u cos(½z) u= cos(1 2 z) beide leden vermenigv. met 2cos(½z) 2 sin(½z )cos(½z) = 2u cos2(½z) sin(z) = 2u cos2(½z) sin(½z ) = u cos(½z) sin2(½z ) = u2 cos2(½z) 1 – cos2(½z) = u2 cos2(½z) cos2(½z)( u2 + 1 ) = 1

dus

dz   dx 1 - sin(z) 1 2 du   dx  2u 1 u 2 11 u 2

cos2(½z) =

1

sin(z) =

1 u2

2u 1 u 2



2 xK  u 1

u=1–



2 

du (u 1)2

  dx

2 x C 2 = x C x C

tan(½z) =

x C 2 x C



½z = arctan (

z = arctan (

x C 2 ) x C



x – y = 2 arctan (

Algemene oplossing

Differentiaalvergelijkingen

y = x – 2 arctan (

x C 2 ) x C x C 2 ) x C

x C 2 ) x C

Page 2

d.v. van de vorm y' = f(ax + by + c) Een tweede manier:



dz   dx 1 - sin(z)



dz (1  sin( z) (1  sin( z) =  dz = dz =  (1- sin(z))(1 sin(z)) 1 - sin(z) (1- sin2 (z))



1 2

dz

+

cos (z)

Dus tan(z) +

sin(z)



2

cos (z)

1 cos(z)

(1 sin(z) cos2 (z)

dz

1 cos(z)

=x+C

tan(x – y) +

Algemene oplossing (impliciet)

Los op: y' = (x+y)2

dz = tan(z) +



1 cos(x - y)

=x+C

Zelf maken !!!

Differentiaalvergelijkingen

Page 3...