Dv v Wiskunde, Analyse 2 PDF

Preview

Summary

Download Dv v Wiskunde, Analyse 2 PDF

Description

d.v. van de vorm y' = f(ax + by + c) y' = f(ax + by + c) Voorbeelden: y' = x – y + 1 y' = sin(x – y) y' = cos(x – y) y' = (x+y)2 Stel a = 0



y' = f(by + c)

dy dx

= f(by + c)

dy = dx f (by + c) dy ∫ f (by + c) Stel b = 0



=

∫

dx

y' = f(ax + c)

dy dx

= f(ax + c) dy = f(ax + c) dx

∫

dy =

∫

f(ax + c) dx

Stel nu a  0 en b  0 Door de juiste subsitutie kunnen we de variabelen scheiden. y' = f(ax + by + c)

dy dx = f(ax + by + c) (1) Stel diff naar x

Dan = dx

En dus

z = ax + by + c z' = a + by'

z = z(x)

z' − a b subst in (1) y' = z' − a b = f(z)  z' = f(z) b + a

∫

dz a + b.f ( z) =

∫



dz dx = a + b.f(z)

dx

Voorbeeld: Los op:

y' = x – y + 1

(*)

Stel

z=x–y+1



subst. in (*)

1 – z' = z z' = 1 – z

Differentiaalvergelijkingen

z' = 1 – y'

Page 1



y' = 1 – z'



dz a + b.f ( z)

d.v. van de vorm y' = f(ax + by + c)

dz dx

= 1–z – ln | 1 – z | = x + K

ln | 1 – z | = – x + K 1 – z = Ce–x  

dz 1 − z = dx 



∫

z = 1 – Ce–x x – y + 1 = 1 – Ce–x y = x + Ce–x

Algemene oplossing

Voorbeeld: y' = sin(x – y) (*) Stel z=x–y z' = 1 – y' subst. in (*) 1 – z' = sin(z)





z' = 1 – sin(z)

y' = 1 – z'

dz dx

=

1 – sin(z)

dz ∫ 1 - sin( z) = ∫ dx Voor het oplossen van deze integraal doen we de substitutie u = tan(½z) ½ z = arctan u z = 2 arctan u

2 dz 2 du = 1 + u

2 2 dz = 1 + u

u = tan(½z)

sin( 1/2 z) u = cos( 1/2 z ) beide leden vermenigv. met 2cos(½z)



 sin(½z ) = u cos(½z) 2 sin(½z )cos(½z) = 2u cos2(½z) sin(z) = 2u cos2(½z)

sin(½z ) = u cos(½z) sin2(½z ) = u2 cos2(½z) 1 – cos2(½z) = u2 cos2(½z)

cos2(½z)( u2 + 1 ) = 1

dus

sin(z) =

1 2 cos2(½z) = 1 + u

2u

dz

∫ 1 - sin( z) = ∫ dx

∫

1−

2 du = ∫ dx 1 + u2

1 2u 1+ u

2

−2 =x+K u −1

2∫

 

Differentiaalvergelijkingen

2 u=1– x +C

du = ∫ dx (u − 1)2

x +C −2 x +C = Page 2

dz 1−z =

∫

dx

d.v. van de vorm y' = f(ax + by + c)

x +C −2 x +C tan(½z) = x +C −2 x +C ) z = arctan (

 

x +C −2 ½z = arctan ( x + C ) x +C −2 ) x – y = 2 arctan ( x + C

y = x – 2 arctan (

x +C −2 x +C )

Algemene oplossing

Een tweede manier:

dz

∫ 1 - sin( z) = ∫ dx (1 + sin( z)

dz

∫ 1 - sin( z) 1

∫ cos2 (z ) Dus tan(z) +

=

∫ (1 - sin ( z))(1 + sin ( z)) sin( z)

+

∫ cos2 (z )

1 cos(z )

=x+C

dz

Algemene oplossing (impliciet)

Los op: y' = (x+y)2

∫

dz =

dz

tan(x – y) +

= tan(z) +

1 cos(x - y)

Zelf maken !!!

Differentiaalvergelijkingen

Page 3

(1 + sin ( z) dz (1 - sin 2 ( z))

1 cos (z )

=x

∫ =

(1 + sin( z) dz cos2 (z )...