Wiskunde getallenkennis PDF

Preview

Summary

Samenvatting wiskunde getallenkennis...

Description

Wiskunde Getallenkennis: natuurlijke getallen Doelen 2. Didactische kaders 1.

3.

Achtergrond 3.1.Getallenkennis in de basisschool We denken in de eerste plaats aan getallen om hoeveelheden te benoemen Inzicht geven in hoeveelheden In de basisschool onderscheiden we 3 grote fasen 1) De prenumerieke fase: = de prenumerieke fase is de fase waarin kinderen leren omgaan met hoeveelheden of aantallen zonder dat deze worden aangeduid met getallen. Begrippen zoals veel, weinig, meer dan, genoeg,… 2) Het aanvankelijk rekenen = de fase waarin leerlingen leren werken met ééncijferige getallen. Getalbegrip evolueert naar rekenvaardigheid. Ze leren aantallen benoemen met ééncijferige getallen + ze leren eenvoudige problemen oplossen met rekenhandelingen binnen het getalbereik van 0 t.e.m. 9 3) Het voortgezet rekenen = de fase waar de kinderen leren werken met meercijferige getallen

3.2.Getalaspecten Het is belangrijk om kinderen de verschillende functies van getallen te leren kennen 1) Getallen gebruiken om een hoeveelheid aan te duiden drukt uit hoeveel er voorkomen: natuurlijke getallen worden als kardinaalgetallen gebruikt en drukken een aantal uit, worden ook hoofdtelwoorden genoemd Bv. Er liggen 3 appels in de mand 3 van de 5 vrienden wonen in dezelfde straat Er zijn 2 volle uren voorzien voor het examen 2) Getallen gebruiken om een rangorde aan te duiden volgorde uitdrukken of om iets te nummeren. Natuurlijk getal wordt als ordinaalgetal gebruikt, worden ook rangtelwoorden genoemd

Bv. Loes zit op de 3de rij, maarten op de 1ste De bel gaat om 9 uur Rita verjaard 4 oktober 3) Getallen gebruiken om een verhouding aan te geven om een vergelijking uit te drukken tussen 2 dingen. Een ‘meting’ uitvoeren: het bepalen van een verhouding tussen het te meten object en een maat/vergelijkingspunt Elk getal waar een eenheid achterstaat is een verhouding ( prijs, procent,…) Bv. Het boek is 2cm dik. Ik heb het in 3 uur uitgelezen Jan loopt 2 keer zo snel als Piet Twee gaat drie keer in zes 4) Getallen gebruiken om bewerkingen te maken kale bewerkingen zijn bewerkingen met onbenoemde getallen Ofwel tussen 2 benoemde getallen of tussen 2 onbenoemde getallen Bv. 5+2 =7 2 keer 3 is 6 5) Getallen gebruiken om namen te geven of als code te gebruiken Het getal krijgt een afgesproken betekenis Bv. Verschillende F16’s zijn al neergestort Ik neem bus 45 naar Maaseik Een barcode

3.3.Het begrip natuurlijk getal = het getal dat je gebruikt om een hoeveelheid te tellen en benoemen noemen we een natuurlijk getal Getalnaam: vier symbolische notatie: 4 OEFENINGEN

4. Ontluikend getalbegrip Hieronder vind je een beknopt overzicht van de begrippen die in de prenumerieke fase en aanvankelijk rekenen aan bod komen

4.1. Classificatie = het sorteren, soort bij soort leggen(rubriceren), op basis van een gemeenschappelijke eigenschap die niet of wel aanwezig is Kan op verschillende niveaus (één eigenschap, twee eigenschappen of drie eigenschappen) Om het echt classificeren voor te bereiden: - Leerlingen overeenkomsten laten onderzoeken, beschrijven - Overeenkomsten en verschillen ontdekken

4.2. Seriatie = (seriëren) het aanbrengen van een volgorde, een rangschikking in een welomschreven groep van voorwerpen, volgens 1 bepaalde eigenschap die meer of minder aanwezig is. Niet gelijk aan sorteren, bij seriatie blijft het 1 groep Bv. Van traag naar snel, van klein naar groot, van vol naar voller, van licht naar donker,… Inzichtelijk seriëren kunnen lln pas wanneer de transitiviteit beheersen:

Als A groter is dan B en B is groter dan C dan moeten ze weten dat A ook groter dan C is.

4.3.De één-één-relatie of correspondentie = tussen twee hoeveelheden bestaat er een één-één-relatie als elk element van de ene hoeveelheid aan precies één element van de andere hoeveelheid gekoppeld kan worden. = een één-één)relatie is een middel om zonder te tellen handelend vast te stellen of twee hoeveelheden evenveel zijn of niet Er is sprake van een handeling: we gebruiken dit dus voornamelijk om concreet niveau (soms schematisch maar dan moet het kritisch bekeken worden) Het is niet hetzelfde als een ‘hoort-bij’ oefening!

4.4.Conservatie van hoeveelheden = een kind heeft conservatie-inzicht voor hoeveelheden wanneer het beseft dat de uiterlijke verschijningsvorm van een hoeveelheid verandert, de hoeveelheid hetzelfde blijft Conversatie inzicht bevorderen? Aandacht vestigen op het hoeveelheidsaspect en op het vergelijken van hoeveelheden De ontwikkeling van het conservatiebegrip gebeurt in verschillende stappen: Piaget onderscheidt 3 stadia 1) Stadium 1: hier is nog geen sprake van conservatie, het kind laat zicht leiden door nietrelevante kenmerken van de eenheden( grootte, ingenomen ruimte,…) de globale waarneming domineert in dit stadium 2) Stadium 2: het kind komt in de twijfelfase, de ene keer wint het denken, de andere keer de misleidende waarneming. Wisselende correcte en verkeerde reacties op conservatieopgaven 3) Stadium 3:het conservatiebegrip breekt door. Ze kunnen antwoorden verantwoorden met doordachte argumentaties: - Er is niets bijgekomen of weggenomen - Je kan naar de oorspronkelijke toestand terugkeren door de omgekeerde handeling te stellen (reversibiliteit) - Compensatorisch vergelijken: het neemt meer plaats in maar is ook anders geordend bv Inzicht bijbrengen: -

Je vertrekt vanuit twee hoeveelheden die duidelijk evenveel zijn Je laat de leerlingen de vormverandering ervaren Je laat hen ervaren dat het nog steeds dezelfde hoeveelheden zijn

4.5. Rekentaal en symboolbewustzijn = onder rekentaal verstaan we alle begrippen die in het rekenonderwijs gebruikt worden Het kind moet een rijk gevulde woordenschat ivm rekenen hanteren en hebben. Bv. Groot, klein, lang, kort, eerste, evenveel, meer,.. Het aanleren van deze begrippen gebeurt meestal op een natuurlijke manierdoor d dingen die kinderen meemaken en horen in het dagelijks leven = Symboolbewust zijn is het vermogen om een handeling of een voorwerp te vervangen door een teken of een symbool Een van de eerste symbolen waarmee jonge kinderen in de klas in aanraking komen zijn getalbeelden (de elementen kunnen geteld worden zodat er een verband ontstaat met de hoeveelheid)

= een getal is een naam van een aantal, hoeveelheid of rangorde = een cijfer is een symbool dat we gebruiken om getallen te noteren

4.6.Telontwikkelingsproces = tellen kunnen we omschrijven als het tot stand brengen van een één-één-relatie tussen een bepaald aantal voorwerpen en de geordende rij van telwoorden Twee aspecten binnen het tellen: - Bepalen van een hoeveelheid (kardinaal aspect) - Bepalen van de rangorde (ordinaal aspect) Verschillende telvormen: 1) Akoestisch tellen = het correct opzeggen van de telwoordenrij 2) Synchroon tellen =de telwoordenrij zodanig opzeggen dat er een één-één-relatie ontstaat tussen de te tellen objecten en de rij telwoorden 3) Resultatief tellen = het synchroon tellen van een aantal of hoeveelheid waarbij het besef aanwezig is, dat het laatste telwoord het aantal of de hoeveelheid aangeeft 4) Aantallen herkennen = het onmiddellijk herkennen van kleine aantallen of van een aantal elementen van en gestructureerde hoeveelheid (domino of dobbelsteen patroon, kwadraatbeeld,…) 5) Verkort tellen = doortellen, terugtellen, structurerend tellen, turven,… (een strategie) een handige manier voor grotere hoeveelheden Doortellen: als er een aantal geteld is en er wordt iets toegevoegd moet het kind kunnen verder tellen en niet opnieuw beginnen Terugtellen: gebruiken we om te bepalen hoeveel elementen we overhouden wanneer we elementen wegnemen bij de uitgangshoeveelheid bv. We hebben er 8 geteld, we nemen er 3 van weg hoeveel blijven er dan over? Structurerend tellen: snel tellen door voorwerpen te structureren in groepen van gelijke groepsgrote Turven: je trekt een streepje per geteld item. Handig wanneer tellen zich afspeelt over een langere periode

4.7.Getalbegrip = een kind bezit getalbegrip als het op elk moment, tijdens het tellen, elk telwoord zowel opvat als aanduiding van het hoeveelste getelde element als van het totale aantal tot dan toe getelde elementen

5. Ééncijferige getallen getalbegrip evolueert naar rekenvaardigheid Elementaire rekenvaardigheid: leerlingen kunnen aantallen van 0 tot en met 9 realiseren, benoemen, ordenen en noteren

5.1.De verschijningsvormen van een hoeveelheid

Getalnaam Ongestrutureerde hoeveelheid

Getalbeeld

Getalnotatie Eerst maken kinderen kennis met getalnamen Later leren ze dat je met getalnamen ongestructureerde hoeveelheden (ballen, koekjes,..) kan benoemen In het eerste leerjaar leren ze deze hoeveelheden voorstellen op een gestructureerde manier (kwadraatsbeeld,..) dit vormt het getalbeeld ze leren ook de hoeveelheid te noteren met behulp van cijfers ! Om tot een goed getalbegrip te komen is het belangrijk dat er gevarieerd wordt in oefeningen

5.2.Getalbeelden 5.2.1. Functie van een getalbeeld = is een gestructureerde manier om een hoeveelheid schematisch voor te stellen zodat je deze hoeveelheid zonder tellen kan herkennen Het is een middel om: o Hoeveelheden snel te herkennen o De verinnerlijking en automatisatie van rekenhandelingen vlotter te laten verlopen door een schematisch voorstelling te gebruiken

5.2.2. Soorten getalbeelden 1) Dominobeelden Hiermee komen kinderen voor het eerst in aanraking: dobbelsteen, dominoblokjes,… maar worden zelden in de wiskunde gebruikt omdat ze het redeneerproces onvoldoende ondersteunen 2) Kwadraatbeelden Gegroepeerde punten in twee evenwijdige rijen gerangschikt 3) Lineair vijfbeeld Punten horizontaal tot 5, daarna de rij eronder weer tot 5

5.2.3. Kiezen van een getalbeeld Kwadraatbeeld: eenvoudig en duidelijk, bij splitsen een lijnstuk erdoor tekenen en bij optellen een getalbeeld erbij tekenen of schuiven. Telkens op dezelfde manier en het geeft een vaste structuur Nadelen van het dominobeeld: vanaf het getal 5 valt de voorstelling uit elkaar en bijvoegen of wegnemen gaat niet zonder afbreuk te doen aan het gehanteerde globaalbeeld

5.3. Aanbrengen van de getallen 0 t.e.m. 9 Beginsituatie - Hoeveelheden kunnen vergelijken met één-één-relatie - De termen één element meer en één element minder kunnen hanteren en niet meer twijfelen over meer en minder - Inzien dat een aantal een vast gegeven is, dat los staat van de grootte of de schikking van de afzonderlijke dingen - De telrij tot en mat 5 kunnen opzeggen, tot 5 kunnen tellen, aantallen tot 5 kunnen benoemen - Getalnotatie tot en met 5 kunnen benoemen en ordenen - Voorwerpen kunnen ordenen volgens een bepaald principe Gebruikte rekenmethoden en -leerlijnen De beginsituatie kan erg verschillen van klas tot klas, het hangt af van welke methode ze gebruiken. In de ene klas voeren ze gedurende meerdere lessen de getallen van 0 tot en met 9 in hoeveelheden, daarna worden ze geordend en in de latere fase worden de getallen gesplitst in twee of meer getallen en worden bewerkingen plus en min tot en met 9 uit gevoerd In de andere klas voeren ze getallen tot en met 5 in en leren ze hier alles mee, als het gekend in voegen ze getallen 6,7,8 en 9 toegevoegd Didactische principes bij de aanbreng van een getal Het getalbegrip ontwikkelt zich in eerste instantie als aanduiding voor een hoeveelheid (kardinale functie) !! kinderen confronteren met verschillende én dezelfde hoeveelheden (met concrete materialen) later evolueer je naar een meer schematische voorstelling zoals stippen Kinderen vergelijken deze dingen en sorteren ze volgens aantal met de één-één-relatie zodat er groepen ontstaan met dezelfde aantallen. Elk aantal kan je nu de getalnaam (bv.vijf) geven. Je kan panelen per aantal maken. Op dit paneel komen verschillende voorstellingen van eenzelfde hoeveelheid (werken aan conservatie inzicht) De panelen kunnen later aangevuld worden met getalbeelden en getalnotatie Als je een nieuw getal aanleert (bv 6) herhaal je altijd wat ze al kennen, je laatze de geleerde aantallen leggen, in getalbeeld ordenen,.. om dan tot het laatst geleerde getal (5) te komen. Via resultatief tellen komen de leerlingen dan tot een nieuw getal. Vanaf het begin bied je de hoeveelheid 0 aan. Deze hoeveelheid associeer je met een groepje zonder elementen Invoeren van getal bevat 2 verschillende denkstappen: - Vergelijken van hoeveelheden volgens hun aantal, nadenk ligt op de verwoording ‘is evenveel of niet evenveel’ - Benoemen van een aantal door getalnaam !! veel kansen tot handelen geven

5.4. Seriatie van hoeveelheden = het maken van een volgorde, een rangschikking van hoeveelheden of getallen volgens de eigenschap ‘van weinig naar veel’ of omgekeerd

!! erg moeilijk voor kinderen en loopt gelijk met het verwerven van getalbegrip Met de één-één-relatie vergelijken en dat zien ze dat er één meer of minder is Invoeren van de symbolen ‘=’ ‘≠’ ‘’ deze leren ze in het eerste leerjaar !! < en > wordt is meer dan en is minder dan omdat groter dan te verwarrend is !! = en ≠ is evenveel als en niet evenveel als OEFENINGEN

5.5. De getallenlijn en de getallenas Kinderen komen al sinds jonge leeftijd in contact met getalrijen: ganzenbord, lintmeter, lift,… Wanneer leerlingen de getallen en getalbeelden kennen kan je deze op kaarten schrijven en aan een waslijn door de klas hangen Maakt de stap kleiner om de kinderen op schematisch niveau de getallen in volgorde te kunnen laten plaatsen op een lijn Een getallenlijn is een lijn waarop de getallen ordegetrouw (juiste volgorde) worden weergegeven Een getallenas is een georiënteerde rechte waarop de getallen in volgorde en op vaste afstand van elkaar genoteerd worden Je kan getallenassen aanleren met gebruik van een ladder!

5.6. Het splitsen van hoeveelheden 5.6.1. Begripsomschrijving = Het splitsen of herstructureren van hoeveelheden is het structureren van hoeveelheden in deelhoeveelheden. Een uitgangshoeveelheid wordt opgedeeld in twee of meer deelhoeveelheden.

5.6.2. Functie van het splitsen o besef dat hoeveelheden uit verschillende manieren opgebouwd kunnen worden o splitsen doet beroep op het conservatie-principe o splitsen van hoeveelheden is een voorbereiding om vlot bewerkingen te kunnen uitvoeren

o bij oefeningen waarbij een tiental wordt overschreden is het splitsen van het tweede getal nodig om deze oefening vlot te kunnen oplossen

5.6.3. Didactische principes bij de aanbreng van het splitsen Voldoende betekenis geven door te werken met betekenisvolle situaties Niet-wezenlijke kenmerken afwisselen! CSA model Belangrijk dat de fases elkaar overlappen en dat er veel verwoord wordt 1) Concreet:  Materiaal uit de leefwereld van de kinderen  Het kegelspel: ze zetten 6 kegels op de grond en gooien met de bal, ze verwoorden ‘van de 6 kegels zijn er 2 omgegooid en staan er 4 nog recht, we splitsen 6 in 4 en 2’





Doosje kaarten: er worden per 2 leerlingen 5 kaarten verdeelt: ze verwoorden ‘van de 5 kaarten heeft mijn buur er 1 en ik 4 dus 5 splitsen we in 1 en 4’ (meercijferige getallen) op tafel liggen 90 noten en drie zakken. De noten worden verdeeld. We kunnen 90 splitsen in 30 30 en 30 maar ook in 45 45 en 0 of 20 20 en 50…

!!Het doel van het materiaal kan zijn voor de begripsinvulling te stimuleren of om de inoefening en automatisatie te ondersteunen. Bv. Bij de kaarten wordt de splitsing in geoefend en bij de kegels word er inzicht in het begrip gegeven. Rekenmateriaal Eerste abstractie is overschakelen op rekenmateriaal (blokjes,..) 2) Schematisch Tweede abstractie: het rekenmateriaal wordt vervangen door een tekening Splitsing wordt aangeduid door een lijn te trekken 3) Abstract Derde abstractie: tekenen van de handeling wordt nu uitvoeren in gedachten Didactische bedenkingen:  Overgang van schematisch naar abstract is voor veel kinderen heel moeilijk! Daarom is het belangrijk om alles goed te verwoorden  We gebruiken meestal deze notatie en die is ook goed. De T splitsing is niet zo goed omdat de leerlingen dan de neiging hebben om in de eerste kolom de stijgende getallen en in de tweede kolom de dalende getallen op te schrijven.

Oefeningen

6. Twee- en meercijferige getallen het getalbereik wordt uitgebreid wanneer leerlingen genoeg inzicht hebben in de ééncijferige getallen Meestal in stappen o 10-20 in het 1ste leerjaar o Tot 100 in het 2de o Tot 1000 in het 3de o Tot 100 000 in het 4de o Tot 10 000 000 in het 5de o Tot 1 000 000 000 in het 6de

6.1. Groeperen 6.1.1. Begripsomschrijving = groeperen is een activiteit waarbij je voor een uitgangshoeveelheid zoveel mogelijk groepen van een afgesproken aantal vormt Bijvoorbeeld: 7 groeperen per 3 geeft 2 groepjes van 3 en 1 losse xxx

xxx

x

6.1.2. Functies van het groeperen o Door het besef dat je hoeveelheden op verschillende manieren kan opbouwen krijgen leerlingen beter inzicht in de hoeveelheid en getalbegrip

o Het leert kinderen om structurerend te tellen o Belangrijke voorbereiding op werken met tweecijferige getallen 6.1.3. Didactische principes bij het groeperen Op dezelfde manier als bij het splitsen (CSA model) We gebruiken handig materiaal om groepen aan te duiden (verschillende kleuren papier,…) later worden dit cirkels Vrij snel koppelen we dit aan een schema = positiekaart Hierin staan het aantal gevormde groepen en het aantal losen Als ze dit goed genoeg beheersen kunnen ze ook omgekeerd werken xxxx

. . . .

xxxx xx

2

Los 2

We moeten onze opdrachten zo kiezen dat alle gevallen aan bod komen:  … groepjes van … en geen lossen  Geen groepjes van … en … lossen  X groepjes van … en y lossen  Y groepjes van … en y lossen  Inzichten:  Het bepalen van een aantal kan vlugger uitgevoerd worden als men de elementen groepeert per 2, 3,…  Hoe groter de groepsgrootte, hoe minder de groepjes  Er is een vaste groepsgrootte nodig om aantallen te vergelijken

6.2. Tweecijferige getallen 6.2.1. Uitbreiding van de getallen van 10 tot 20: leerlijn

1)

Akoestisch opzeggen van de telrij Het begint met het akoestisch opzeggen van de telrij: zo leren ze de getalnaam We besteden ook tijd aan terugtellen van 20 naar 1, en verder en terug tellen van een getal tussen 0 en 20

2)

Koppelen van het juiste getal (naam en notatie) aan hoeveelheden tot 20 Eerst wordt het getal 10 behandeld als een getal 0-9 (we schrijven het nog niet op) je kan ook dingen die per 10 verpakt worden mee naar de klas nemen Resultatief tellen van 10 tot 20, nog steeds zonder noteren Je deelt hoeveelheden uit onder leerlingen en de leerlingen tellen deze. Je kan vragen stellen zoals wie heeft er meer als zijn buur,… Analyseren van de telwoorden Als ze resultatief kunnen tellen kan je beginnen analyseren: de getallen hebben allemaal 10 gemeenschappelijk, hier kan je dieper op ingaan (wel bespreken dat 11 en 12 dit niet hebben) Groeperen van hoeveelheden Doordat 10 vaak terugkomt kan je leerlingen laten herschikken in groepjes van 10 en losse elementen. GOEDE VERWOORDING!!! Één groepje van tien en acht losse of achttien Één groepje van 10 en 1 losse of elf

3)

Noteren van de hoeveelheden 10 tot 20 Je werkt met een positiekaart (kijk p 66 onderaan!) Vanuit dit schema kan je over gaan naar de abstracte notatie We schrijven eerst de 1 van het groepje van de 10 en dan de lossen We lezen eerst de lossen en dan de tien

Een talstelsel waarbij de warde van een cijfer bepaald wordt door een plaats waarop dit cijfer staat, noemen we een positietalstelsel of een plaatswaardesysteem

6.2.2. Uitbreiding van de getallen tot 100: leerlijn 1) Herhalen groeperen per 10 Je laat de leerlingen eerst nog eens groeperingsopdrachten maken om leerlingen te laten ervaren dat een hoeveelheid makkelijker te tellen is in groepjes en dat ze zo makkelijker te vergelijken zijn Leg uit dat wij altijd eerst groepjes maken per 10 (vertel verhaal over vingers...