Wiskunde didactiek PDF

Preview

Summary

Samenvatting DT wiskunde 1...

Description

Wiskunde didactiek WISKUNDELES OPBOUWEN 1. Didactische principes en wiskundige wegwijzers

1.1Werken met en vanuit betekenisvolle situaties  Betrekken van de leefwereld  Ze leren problemen te analyseren  Het praktisch nu wordt ingezien  Zoek realiteit achter wiskunde en wiskunde achter realiteit. Zowel bij aanbreng als bij inoefening.  Betekenisvolle situatie is NIET toepassingen!!!

1.2Een wiskundig correcte verwoording  Van fundamenteel belang!  Brug tussen manipuleren met materiaal en werken zonder materiaal  Het is een HULP om een oplossingsmethode te verwerven en te automatiseren  Van spreektaal naar vaktaal

1.3Inzichtelijke aanpak  Steunen op de BETEKENIS, niet het ‘trucje’ aanleren. Bv bij breuken: 7/9 van 27 niet zeggen ‘dit is gewoon 27/9 maal 7. MAAR de betekenis achter de breuk uitleggen.  Inzicht is noodzakelijk, ze krijgen vertrouwen in eigen redeneringsvermogen + ze kunnen terugvallen als ze vast zitten.

1

1.4Automatiseren = Paraat kennen (maal en deeltafels, optellen en aftrekken tot 20)  Automatiseren is NIET = Memoriseren want dan kan de leerling nergens op terugvallen indien hij het niet meer weet.  Hangt samen met het inzichtelijk aanleren.  Niet meer aan strategie denken = geautomatiseerde handeling Rekenfeiten Inzichtelijk berekenen Vlot berekenen Paraat kennen  Automatiseren doe je volgens deze leerlijn:   

Bereken op een inzichtelijke manier de oefening: materiaal, denkstappen, tussenstappen Maak veel oefeningen. Probleem? Ga terug naar inzichtelijk Tempo opdrijven, regelmatig oefenen  Geautomatiseerd en paraat gekend.

1.5Concreet – schematisch – abstract Concreet= materiaal manipuleren, visuele ondersteuningen Schematisch= verwijzing naar concreet: tekeningen, stappenplan, afbeelding van concreet materiaal. Abstract= Verwoording is hier belangrijk.

Abstract Schematisch Concreet

1.6Handelen en de handelingsniveaus Gal ‘perin (p24 vb) 2

De wijze waarop je met dit materiaal omgaat. Zorgen dat leerlingen niet afhankelijk worden van het materiaal. Daarom 4 niveaus om in over te gaan.  CSA = Welke visuele voorstelling wordt gekozen HANDELINGSNIVEAUS= wat doen de leerlingen met het materiaal. Materieel handelen

Doen, tekenen

Perceptueel handelen

Kijken

Verbaal handelen

Spreken

Mentaal handelen

Denken

1.6.1 Materieel handelen  Concrete voorwerpen en manipuleert deze. Later wordt hierbij ook verwoording gebruikt.  Gematerialiseerd handelen: leerling maakt afbeeldingen, schema’s van de concrete werkelijkheid.  Correct verwoorden en noteren 1.6.2 Perceptueel handelen  Leerling handelt via zijn waarneming. (ALLEEN KIJKEN/ Leerkracht manipuleert)  Correcte verwoording en notatie. 1.6.3 Verbaal handelen  Zegt hardop hoe het redeneert. (ZONDER concrete voorwerpen/ voorstellingen.) 1.6.4 Mentaal handelen  Denkwerk in het hoofd (GEEN verwoording/ voorstelling)

1.7Inductief en deductief werken  Inductie= van bijzonder naar algemeen (= van voorbeelden naar een regel)  Deductie= redenering wordt opgebouwd vanuit vaststaande gegevens Wetenschap= Inductief onderzoek en deductief bewijzen Lagere school= Inductief EN inzichtelijk werken 1. Vanuit voorbeelden ZELF wetmatigheden ontdekken. 2. Wetmatigheden inzichtelijk uitwerken en verklaren. 3. De gevonden ‘wet’ toepassen op nieuw voorbeeld.

3

INDUCTIEF

Voorbeelden

Wetmatigeheden

DEDUCTIEF

2. Een wiskundeles voorbereiden en realiseren 2.1Stappen in voorbereidingsproces 2.2De lesvoorbereiding uitwerken 2.3LVB nalezen: 10 aandachtspunten 2.4Realisatie

3. Inspiratie 3.1Ervaringen van de leerlingen 3.2Daag ll uit 3.3Speel in op fantasie 3.4Werk muzisch 3.5Vertel een verhaal 3.6Verrassingseffect 3.7Suggesties rond bewegingsintegratie/ spel

DIDACTIEK GETALLENKENNIS 1. Natuurlijke getallen 1.1

ik leer tellen

Bekijk leerplan!

1.2

Getallen in gevarieerde context 4

5 Verschillende functies van getallen in de realiteit: - Hoeveelheid - Rangorde - Verhouding - Code - Bewerking

1.3

Betekenis geven aan getallen

Gevoel voor getallen wordt ontwikkeld door een koppeling tussen: woord, aantal en symbool. Kies bij het oefenen 1 invalshoek.

Woord

Aantal

Symbool

Ook de samenhang/opbouw en een getal is belangrijk.

1.4

Inzicht in 10tallig stelsel

Groeperen per 10. Zie DT1.

1.5

Voorstellen van getallen

- Kwadraatbeelden - Rekenrek - Kralensnoer - MAB - Abacus - positietabel - Getallenas - Honderdveld

1.6

Soorten oefeningen

=Ordenen, splitsen, getallenas, noteren, lezen, rekenen met sprongen

2. Negatieve getallen 2.1 Leerlijn: negatieve getallen in de lagere school

5

 Niet als abstracte getallen, maar in concrete situaties (vriespunt, verdiepingen, schulden, zeespiegel,…)  Min = Zoveel minder dan 0, neg getallen kunnen lezen EN juist interpreteren.  leerlingen moeten weten wat de hoogste/laagste temperatuur/verdieping is MAAR NIET weten hoeveel hoger/lager (dit is een uitbereiding in de diepte).  GEEN bewerkingen (Dit kan wel impliciet voorkomen = uitbereiding in de breedte)  Verband met WERO 2.1.1 eindtermen 2.1.2 Leerplannen Go doet iets extra: Kunnen plaatsen op een getallenas (dit is niet uit eindtermen!)

2.2

Aanbreng

Kan a.d.h.v. een thermometer of een lift. (belangrijk hierbij is het visualiseren van bv de thermometer.) Stappenplan aanbreng via thermometer:  Eerst positieve graden aflezen  Wat wordt bedoelt met het vriest?  Duid -1 aan, hoe moet je dit lezen?  1 graad onder 0  Daarna veranderen naar min voor het getal  Uitbereiding naar andere contexten

2.3 Oefenvormen 2.3.1 Lezen en noteren =Eerste stap  Steeds in contexten!  Verwijs naar de concrete betekenis en laat ze verwoorden (bv -2= 2 onder 0)

2.3.2 Vergelijken als vorm van interpreteren = Hoogste en laagste temperatuur aanduiden  je begrijpt wat de – wil zeggen. (basisleerstof) (Kan met kaart EU en zeggen wat in je valies zit..)

2.3.3 Ordenen (UITBREIDING!) Indien je dit doet geef je best een context weer, anders zullen ze -3 < -5 nemen. Bv door een horizontale thermometer af te beelden en dan op getallenas te plaatsen. (MAAR laat het kantelen zien, van verticaal naar horizontaal!)

2.3.4 Verschil tussen 2 neg getallen (UITBREIDING!)

6

Indien je dit doet stel je de situatie voor EN maak je de tussenstap via 0. VISUEEL EN GELEIDELIJK! (met verwoording!)  =Differentiatie naar boven!

2.4 Verwerkingsopdrachten (p51) / 3. Breuken, percenten en kommagetallen  Belang: verwoording en visuele voorstelling in een gepaste verschijningsvorm Breuken zijn relatieve getallen = ze staan in relatie tot het absolute getal. Daarom rationele getallen Q.

3.1 Leerlijn: breuken in lagere school 3.1.1 Eindtermen 3.1.2 Leerplannen 3.1.3 Vergelijking beide Verschil tussen leerplannen

3.2 Verschijningsvormen breuken 3.2.1 Breuk als operator = Breuk als resultaat van een verdeelopdracht -- … Van de … gelijke delen (ook voorbeelden van ¾ van 20).

3.2.2 Breuk als verhouding Verhouding van het aantal … en niet…  Niet het precieze aantal belangrijk, maar hoe een bepaald deel zich tot het geheel (of ander deel) verhoudt. BV: Schaal, Kansen, mengsels, resultaten van onderzoek

3.2.3 Breuk als getal Meest abstracte verschijningsvorm: ordenen en bewerkingen mee kan uitvoeren. Breuk = resultaat van een deling.

3.2.4 Gemengde getallen OVSG = Geheel, gedeelte en breuk 2 ½ (motivatie: bevattelijker voor leerlingen bv 5 ¼ weer je meteen dat dit tussen 5 en 6 zal liggen terwijl 21/4 weer je dit niet.) Maar dit zijn geen eenvoudige breuken meer, dus geen leerinhoud voor lager onderwijs.

3.3

Voorstellen van breuken

 Vaak en gevarieerd voorstellen  Niet te snel op abstracte niveau werken  Koppel steeds naar het schematische

7

3.3.1 Variatie  Belangrijk zodat ze een breuk niet koppelen aan 1 bepaalde voorstelling.

Variatie mogelijkheden:  Verdeel zowel aantallen als grootheden (discontinue en continue materiaal)  Grootheden kan je in om het even welk aantal gelijke delen verdelen dit kan NIET bij aantallen (bv 20 knikkers).  De manier van verdelen (diagonalen, rechten, met schuine,…)  het gaat om gelijke oppervlakte, niet op gelijke vorm  Grootte van het geheel (bv niet telkens een volledige cirkel, ook een halve,…)  Aantal delen waarin je het verdeelt en aantal delen dat je neemt (ook noemers van 7, 11,…)  Verdeel ook eens grootheden  Stel ook onechte breuken voor (bv 5/4) Maak leerlingen altijd duidelijk wat het geheel is!

3.3.2 Rekenmateriaal   

3.4

Breukschijven (gehele cirkels en onderverdeelde cirkels) Analoge versie met vierkant Breukstokken (breekstokken = knikbare stokken) Makkelijk om te vergelijken, ordenen en zoeken van gelijkwaardige breuken.

Breuk als operator

 Aanbreng van het breukbegrip gebeurt hierdoor  Leerlingen moeten hier de koppeling kunnen maken tussen notatie, verwoording en de doe-opdracht (breukbegrip) Breukbegrip

Verwoording

Symbolen (noteren)

3.4.1 Breuk als deel van het geheel Essentiële elementen van het breukbegrip:  Hetgeen we verdelen = geheel 8

Getal onder breukstreep (noemer) vertelt in hoeveel gelijke delen het geheel verdeeld is  Het getal boven de breukstreep (teller) vertelt hoeveel gelijke delen we nemen Breukmachine = abstracte oefenvorm



3.4.2 Breuk van een hoeveelheid of getal: opbouw a) Opbouw van materiaalgebruik Beginfase: voldoende handelen met materiaal  inzicht breuk houdt een dubbele doe-opdracht in (= verdelen gelijke delen, aantal delen nemen). Verwoorden a.d.h.v. breukvragen HANDELINGSNIVEAUS! (P66) b) Verwoording a.d.h.v. breukvragen = Systematische vragenreeks (zwoel bij concreet als abstract) Toepassing: 2/5 van 20  Wat is het geheel? 20  In hoeveel gelijke delen wordt het verdeeld? 5  Hoe groot is één deel? 4  Hoeveel delen moeten we nemen? 2  Hoeveel is dit samen? 8

3.4.3 Opbouw in opdrachten a) Van eenvoudig naar moeilijk verdelen  Verdelen evidente zaken (taart, pizza, appel)  Verdelen van aantallen  Verdelen complexere grootheden bv lengte b) Van stambreuk naar niet- stambreuk  Stambreuk = 1 bewerking  Niet-stambreuk = komt vermenigvuldigen erbij c) Deel bepalen – breuk bepalen – geheel bepalen  Kleur 1/3 = Deel  Welk deel is gekleurd = breuk  Teken de volledige figuur = geheel

3.5 Breuk als verhouding 3.5.1 Wie verhoudt zich tot wie? = Delen t.o.v. elkaar of van de delen t.o.v. het geheel.

3.5.2 Verhoudingstabel Maak duidelijk onderscheid tussen de delen en het totaal Kan zowel horizontaal als verticaal worden opgebouwd + er zijn twee correcte rekenrichtingen. Je werkt met GELIJKWAARDIGE BREUKEN 3.5.3 Waarom?  Niet exacte aantallen  Handig om vergelijkingen te maken

9

3.5.4 Kansen = Verhouding tussen het aantal gunstige mogelijkheden en het totaal aantal mogelijkheden (ENKEL breuk kunnen lezen als kans, rest is differentiatie!)

3.6 Breuk als getal 3.6.1 Overstap naar breuk als getal Pas in 4e leerjaar nadat ze goed met breuk als operator kunnen werken. Moeilijkheid bij getallenas = ¼ komt niet overeen met een deel maar met een stip!

3.6.2 Gelijkwaardige breuken Via voorstelling met concreet materiaal of figuren zoals het breukenmuurtje. (INZICHTELIJK INZIEN!) Verband teller en noemer.  hoofdeigenschap: breuk verandert niet van waarde als men teller en noemer met hetzelfde getal verm of deelt. Gelijke breuken IS NIET = gelijkwaardige breuken (½ van een taart of 10/20 van een taart)

3.6.3 Breuken vereenvoudigen, herleiden, gelijknamig maken Vereenvoudigen = reken voordeel / beter zicht te krijgen Herleiden = gelijknamig maken van breuken (ordenen, optellen, aftrekken) 2 stappen: 1. Gemeenschappelijke noemer (kgv beide noemers) 2. Herleid de breuken naar deze noemer  LET OP: geef als eerste vbn op gelijknamig maken van breuken niet waarbij noemer ook product van beide noemers is! 3.6.4 Breuken ordenen a) Gelijknamige breuken 2/7 < 5/7 b) Stambreuken 1/3 > 1/5 (hoe meer delen het verdeeld is, hoe kleiner het stuk) c) Breuken met dezelfde teller 2/3 > 2/5 (= Zelfde als bij stambreuken) d) Algemene regel Breuken gelijknamig maken! 1/3 < 3/8  8/24 en 9/24 OPMERKING: sommige breuken is gelijknamig maken niet nodig!  Wanneer 1 van de breuken meer is dan een geheel  De ene breuk minder is dan de helft, de ander meer dan de helft  Wanneer ze beiden 1/… schelen van hun geheel kijk je naar wat er minder/meer scheelt. BV: 6/7 en 4/5  Bij de eerste breuk ontbreekt er minder.  

3.7 Kommagetallen 3.7.1 Kommagetal overal 

Geldwaarde

10

 Meetgetal 3.7.2 Aanbreng DT1 Via verfijning van meetresultaten (lengtematen) in positietabel schrijven! BELANG: VERWOORDING

3.7.3 Visuele voorstelling      

Leg nadruk op positietabel! MAB (Let op: verwarring) Stroken Abacus Positietabel Getallenas

3.7.4 Veel voorkomende fouten  

Kommascheidingsfout Fout tegen de asymmetrie van de komma (DT1)

3.8 Percenten 3.8.1 Waarom?  Om zaken te vergelijken met elkaar = op noemer 100 zetten  % = op honderd 3.8.2 Percenten overal   

Percent als operator: 25% korting = resultaat van bewerking weten Percent als verhouding: Voldoende informatie met enkel het percent LET OP: 10% korting = verhouding maar 10% van €40 = operator

3.8.3 Visuele voorstelling  

Bepaald percent van een honderdveld aanduiden Percentmeter

3.8.4 Berekenen van percenten     

Via verhoudingstabel Via een pijlenvoorstelling Via ‘handige’ breuken (bv ½ , 1/5, ¼) Via een breuk met noemer 100 (vaak meer rekenwerk dan met verhoudingstabel, pijlenschema) Met percenttoest op het rekentoestel (15% van 120 = 15X120% of 120 x 15%)

3.8.5 Een veel voorkomende valkuil Het interpreteren van een procent t.o.v. het verkeerde geheel.

3.8.6 Oefenvormen  

Een percent van een getal berekenen (5% van 150) Een verhouding uitdrukken als procent ( 7,5 = .. % van 150) 11

Het geheel berekenen als het deel en het procent gegeven zijn (7,5 is 5% van …) Typische oefeningen rond kortingen, prijsstijgingen, interest,… LEERPLAN: In eenvoudige gevallen gelijkwaardigheid tussen kommagetallen, breuken en procenten en verduidelijken door omzettingen. 

4. Toepassing: Delers en veelvouden 4.1 Leerlijn: delers en veelvouden 4.1.1 Eindtermen 4.1.2 Leerplannen 4.1.3 Vergelijking 4.2 KGV en GGD 4.2.1 Veelvouden en delers 4.2.2 Stapsgewijze aanpak 4.2.3 Waarom? 4.3 Kenmerken deelbaarheid 4.3.1 Aanbreng in 3 stappen 4.3.2 Gevarieerde oefening 4.4 Verwerkingsopdrachten 5. Toepassing: tabellen en diagrammen 5.1 Leerlijn 5.1.1 Eindtermen 5.1.2 Leerplannen 5.1.3 Vergelijking 5.2 Aanbreng

DIDACTIEK BEWERKINGEN 1. De terminologie en betekenis van de bewerking  Belangrijke principes: geleidelijkheidsprincipe, inductief werken, aanschouwelijkheid (+ wiskundig correcte verwoording)

1.1Optellen en aftrekken  Oorzaak- veranderingssituatie (= volgorde van factoren speelt een rol): Frauke heeft 126 stripalbums. Ze koopt er 5 bij. Hoeveel heeft ze er nu?

12

 Geheel – situatie (= volgorde van factoren speelt geen rol): Frauke heeft 126 stips, haar broer heeft er 5. Hoeveel hebben ze er samen?

1.2Vermenigvuldiging  Groepjesmodel: Volgorde van factoren speelt een rol (= 5 groepjes van 7 = 5 X 7--> groepjes van evenveel objecten)  Rechthoekmodel: Volgorde van factoren speelt geen rol

1.3Deling  Verdelingsdeling:  Verhoudingsdeling:

2. Verschillende berekeningswijzen a) leren rekenen: belang verwoording en het aanleren van een oplossingsmethode + altijd zelfde notatie b) Leren kiezen: uit de methodes (efficiënt)kiezen en deze verantwoorden.

2.1Hoofdrekenen 2.1.1 Wat? Kiezen/ nadenken over je rekenwijze, hierbij steun je op eigenschappen van bewerkingen en relaties tussen getallen  Niet UIT het hoofd maar MET het hoofd 2.1.2 Wanneer?

13

 Indien de getallen ‘doorzichtig’ zijn (veel nullen, die een handige rekenmethode toelaten). 2.1.3 Standaardmethode vs flexibele (handige) methode  Standaardmethode: Kan je bij elke oefening gebruiken (Inzicht in het 10 delig stelsel, splitsen,…)  Flexibele/ handige methode: Handig bij bepaalde oefeningen (bv 19 x 13 = 20 x 13 – 13) = Wat vertelt het getal? Structuur van het getal, eigenschappen van de bewerking.

2.2Cijferen 2.2.1 Wat? = Recept/ algoritme, niet nadenken over methode, voor elke oefening hetzelfde onafhankelijk van de getallen. 2.2.2 Wanneer? Grote, ondoorzichtige getallen, geen rekenvoordelen (3e leerjaar).

2.3Rekenmachine  Vanaf vierde leerjaar: controlemiddel en als rekenhulp (cijfer werk beperkt, meer het ‘denk werk’ geactiveerd krijgen.)

2.4Schatten 2.4.1 Hoeveelheden  Verwerven van getalbegrip, referentiematen kennen en gebruiken. (= hoeveel deelnemers, hoeveel water in een emmer, hoeveel weegt een ei) 2.4.2 Bij bewerkingen = Het ‘ongeveer’ rekenen (controlemiddel bij cijferen, hoe lang duren 100 dagen).

3. optellen en aftrekken tot 100 3.13.1 Optellen en aftrekken tussen 10 en 20 3.1.1 Zonder overschrijding van het tiental  type 10 + E OF TE – 10  Inzicht in de structuur van de getallen tussen 10 en 20 (17-10)  Type TE + E  naar analogie met de opgaven tot 10 ( 12+ 3 en 2+3) 3.1.2 Met overschrijding van het tiental a) Standaardprocedures  Brugalgoritme: Aanvullen of leegmaken tot 10 (kunnen: vlot tot 10 tellen, splitsen, optelling en aftrekking type T + - E)  Methode gebaseerd op de vijfstructuur: doorleerlingen die leerden met rekenrek (8 +6 = 5 + 3 + 5 +1) b) Handige methodes

14

  

Verdubbeling: (7 + 8 = 7 + 7 + 1) Een 10 afsplitsen: (9 + 7 = 10 + 7 – 1) Van – tot – model (= aanvullend rekenen): (12 – 9 = ‘ 1 erbij is 10 en nog 2 is 12)

3.2Optellen en aftrekken tot 100 3.2.1 Opbouw Opteller + E

 

T TE

 

E 7 + 2 (ZONDER overschrijding) 7 + 5 ( overschrijding) 40 + 2 47 + 2 ( ZONDER) 47 + 5 (MET)

T 7 + 30

 

40 + 30 47 + 30

 

TE 7 + 32 (ZONDER) 7 + 35 (MET) 40 + 32 47 + 32 (ZONDER) 47 + 35 (MET)

Opteltal

Aftrekker

T TE

E 

7–2

 

40 - 2 47 - 2 ( ZONDER) 47 - 5 (MET)

T

40 - 30 47 + 30

TE

 

40 - 32 47 - 32 (ZONDER) 47 - 35 (MET)

Aftrektal

E

15

 Volgorde van aanbreng: 1. Een van de termen is een eenheid Stap 1: Zonder tiental overschrijding Stap 2: met tiental overschrijding 2. Minstens één van de termen een zuiver tiental Stap 1: Beide termen zijn zuivere tientallen Stap 2: Enkel opteller/ aftrekker is zuiver tiental 3. Beide termen bestaat uit tientallen en eenheden (ZIE 3.2.2)

3.2.2 Methodes voor type TE + TE a) Twee standaardprocedures

Splitsmethode/ cirkelrekenen

  

BEIDE TERMEN gesplitst in T en E T worden opgeteld en E Samengevoegd= resultaat

Doorrekenmethode

 

Eerste term wordt ‘heel’ gelaten Tweede term wordt gesplitst in T en E

 Foutgevoeligheid bij splitsmethode: FOUT 1: Vergeten de bewerkingswissel bij het aftrekken FOUT 2: Veranderen van ri...