Samenvatting wiskunde PDF

Preview

Summary

Samenvatting inhoudelijke expertise wiskunde 2 ...

Description

SAMENVATTING: WISKUNDE – DE WERELD IN GETALLEN Doel: werken aan onze wiskundige gecijferheid = het vermogen om wiskunde te herkennen, begrijpen en gebruiken.

HOOFDSTUK 1: TALSTELSELS 1.1 Van turven naar additieve en positionele telsystemen 1.1.1 Van Turven naar getallen Vroeger: Het bijhouden van hoeveelheden op de vingers, met streepjes (turven) of kiezelsteentjes. (Calculator = kiezelsteen)  Aanzet tot het gebruik van getallen (vanaf grote aantallen = groeperen per 5/10)  Twee vogels = twee streepjes = belangrijk inzicht = getalbegrip Recenter: 2 grote telsystemen:  ADDITIEF SYSTEEM = getal wordt bepaald door de waarde van de symbolen op te tellen.  POSITIESYSTEEM = waarde symbool wordt bepaald door de plaats van dit symbool in het getal. 1.1.2 Het Egyptische systeem (3400 – 3000 v. Chr.) Egyptische systeem = zuiver ADDITIEF. -

Getal = opeenvolging van symbolen (basis = 10) Getal = de som van de waarde van deze symbolen

Kenmerken zuiver additief systeem:  Plaats van de symbolen maakt geen verschil  Onderlinge grootte maakt geen verschil

1.1.3 De Romeinse cijfers Turven aan de basis I=1

II = 2

III = 3

V = symbolische voorstelling van het hand (5) X = symbolische voorstelling 2 handen (10) Oorspronkelijk: optellen alle aantallen Regel: vier opeenvolgende tekens worden vervangen door het volgende teken + het plaatsen van het oorspronkelijk teken ervoor. (40 = XL)

Nu:   

Kleiner symbool staat voor een groter symbool = waarde van het kleine symbool aftrekken van het grotere symbool. I kan enkel voor V en X staan. V nooit voor een ander teken. (Ook voor X, L, C, D) Je kan nooit 2 kleinere tekens voor een groter teken plaatsen.

Telsysteem: Oorspong van de regels  ADDITIEF Maar de volgorde maakt uit  geen zuiver additief systeem (Romeinen gebruikten een telbord, abacus om te rekenen) 1.1.4

Chinees getallensysteem

 Leunt dicht aan bij ons decimaal systeem  Verschil: de waarde van de rang wordt hier steeds aangeduid.  De symbolen 10, 100, 1000 worden er steeds voor geplaats (eigenlijk niet nodig want ze lezen toch van rechts naar links)  Die symbolen weglaten = ons systeem  Waarom niet als ons systeem? Ze hadden geen waarde voor ‘0’

1.1.5

Een positiesysteem bij De Maya’s

Grote verschillen met ons talstelsel Een symbool voor 1 = een bolletje Een symbool voor 5 = een streepje Symbool voor nul = raar ding Een nieuwe positie = 20 (bovenaan) Telsysteem tot 20 = additief Daarna = POSITIESYSTEEM (door de 0)  Ons talstelsel = naast elkaar. Hier = boven elkaar.  Wat is het grootste getal dat de May’s noteren met 2 rangen? ( = 399) Voor sterrekunde = (359)      

1.1.6 De ontdekking van het getal ‘0’ Zorgt voor de basis van ons tiendelig positiesysteem. (Cijfer = 0 in Arabisch) Oorsprong: Indiase geleerden  we hebben een lege plaats nodig  later een stip  daarna 0 1.1.7 Arabische cijfers? Arabieren leerden het positiesysteem van de Indiërs. (9 e eeuw) Zij noemden het ‘Hindoe’ getallen. Kwam terecht in Parijs waar men een school oprichtte voor de bestudering van de ‘nieuwe’ getallen. Kwam uiteindelijk in Europa. Conclusie: onze Arabische cijfers zijn eigenlijk Indische cijfers.

1.2 Basis van een getallensysteem De basis van ons huidige getallensysteem is 10. (Groeperen per 10  10 eenheden groeperen = 1 tiental,…) We hebben 10 symbolen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. We maken groepjes van 10 om grotere aantallen voor te stellen. De positie van de cijfers bepaalt hun waarde.

 

Waarschijnlijk zijn oorsprong door 10 vingers op ons handen. Ook 12 en 60 worden veel gebruikt. Bv. 12 in een dozijn, 60 minuten, 60 seconden, …

Voorbeeld 1: Gumulgal (Australië) + Bakairo (Zuid-Amerika) Deze twee stammen tellen maar tot 6. = ADDITIONEEL systeem Voorbeeld 2: Yasayama (Kongo) Gebruiken 5 als basis. Ook 10 is hier een basis.

1.3 Positiesystemen met basis verschillend van 10 1.3.1 Tellen met Shadoks: het 4-delig talstelsel Basis 4 en steunt op 2 bouwstenen: We hebben 4 symbolen We maken groepjes per 4 Talstelsel van Shadoks:

Waarom mag je het symbool 4 niet gebruiken in het 4-delig talstelsel? Zodra we 4 elementen hebben, stoppen we ze in een ‘vuilbak’ en creëren we op die manier een nieuwe rang. De vier symbolen zijn 0, 1, 2, 3

Positietabel bij de Shadoks  omzetten van Shadoks naar ons posititiesysteem

Omzetten van ons positiesysteem  Shadoks Stap 1:

Stap 2:

Stap 3:

Stap 4:

Stap 5:

X groepen van 256

X groepen van 64

X groepen van 16

X groepen van 4

Losse elementen

1.3.2 Tellen met Mickey Mouse: het 8-delig talstelsel Bouwstenen: We hebben 8 symbolen We maken groepjes van 8 Omzetten van tiendelig stelsel naar 8-delig stelsel (eenvoudige cijfers) Tiendelig talstelsel …. paar volle handen en …. vingers.

Bv. getal 22 2 paar volle handen en 2 vingers.

We noteren: ….

We noteren: 22

…. paar volle handen en …. vingers.

2 paar volle handen (= 16) en 6 vingers. (22 – 16)

We noteren: ….

We noteren: (26)8

Achtdelig talstelsel

Omzetten van tiendelig stelsel naar 8-delig stelsel (moeilijke cijfers) 512

64

8

1

4

1 3

99 omzetten naar 8-delig stelsel  1 groep van 64 (99 – 64 = 35)  4 groepen van 8 (35 – 32 = 3)  3 losse elementen van 1 = (143)8 Omzetten van 8-delig stelsel naar tiendelig stelsel 512

64

Bv. (3021)8 3 x 512 = 1536

8

0 x 64

2x8 = 16

1

1x1 =1 Totaal: 1536 + 16 + 1 = 1553

1.3.3 Werken in een n-delig systeem STAP 1: stel de juiste positietabel op! Bv. voor 7-delig talstelsel 7x7x7x7 = 2401

7x7x7 = 343 4

7x7 = 49 2 1

Voorbeeld van tiendelig  7-delig Zet 1476 om naar het 7-delig stelsel = (4206)8 Voorbeeld van 7-delig  tiendelig (102)7 = ? 1 x 49 + 2 x 1 = 51 (Computer  2-delig talstelsel = binaire code (0 of 1))

7

Los

0 0

6 2

HOOFDSTUK 2: TELPROBLEMEN EN KANSREKENEN 2.1 Telproblemen 2.1.1 Inleiding Telprobleem = het tellen van zaken, en de problemen die daarmee gepaard (kunnen) gaan.  Gekwantificeerde wereld = tellen moet juist zijn! 2.1.2 Visuele voorstelling Telprobleem = voorstellen om tot een oplossing te komen. (Een aantal noteren we als volgt: Bv. aantal kinderen = #K (kinderen) 1. Zo concreet mogelijk - materiaal 2. Met een schematische voorstelling 

BOOMDIAGRAM

Bv. Je wil deze zomer op vakantie, maar je twijfelt nog tussen 4 landen (Italië, Frankrijk, Spanje of Portugal). Daarnaast weet je ook nog niet of je met de auto of het vliegtuig zal gaan, aangezien je reispartner een beetje vliegangst heeft. Je moet ook nog het logement bepalen (hotel, jeugdherberg, kamperen, couchsurfing). Op hoeveel manieren kan deze reis georganiseerd worden? Variabelen: 1. Land: I, F, S, P (notatie: #L = 4) 2. Vervoer: A of V (notatie: #V = 2) 3. Overnachten: H, J, K, C (notatie: #O = 4) Gevraagd: #M = ? Boomdiagram

= #M = 32



WEGENDIAGRAM

Nadeel: we kunnen niet direct aflezen hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn.  Productregel = het aantal mogelijkheden (variablen) met elkaar vermenigvuldigen. Bv.: #M = (#L) 4 x (#V) 2 x (#O) 4 #M = 4 x 2 x 4 = 32 Op voorwaarde: - Uit elk punt - Binnen 1 keuzeniveau (= kolom) - Evenveel mogelijkheden - (Voorbeeld: ‘naar Portugal gaan we sowieso met het vliegtuig’.)



ROOSTERDIAGRAM Dobbelsteen 1

D o b b e l s 2

Hoeveel mogelijkheden heb je om met 2 dobbelstenen ten hoogte 8 te gooien? Roosterdiagram = duidelijk.

2.1.3 Systematisch/schematisch noteren Deel 1: brieven Je bent afgestudeerd en wil sollicitatie -brieven versturen (nog steeds best per brief). Je schreef 4 brieven voor scholen bij jou in de buurt, en om op te vallen wil je ze in gekleurde enveloppes steken. Je hebt 4 verschillende enveloppen voor jou liggen. Op hoeveel manieren kan je de brieven over de enveloppen verdelen?

#P1 = 4 #P2 = 3 #P3 = 2 #P4 = 1 #B = #P1 x #P2 x #P3 x #P4 = 24 Deel 2: brieven Je hebt dezelfde 4 brieven voor jou liggen, maar nu wil je weten op hoeveel manieren je die in 5 verschillende enveloppen kan steken:

 Nu hebben we 5 posities voor 4 brieven = telkens 1 ‘vrij’ = 5 mogelijkheden Ofwel P1 vrij, ofwel P2, ofwel P3 etc. Maar ook nog steeds verdeling van 4 brieven over 4 enveloppen (24).  5 x 24 = 120

Zie p.25 – 27 voor oefeningen 2.2 Kansrekenen Kansrekenen = op zo een precies mogelijke manier voorspellingen maken over allerlei gebeurtenissen waarin toeval een grote rol speelt.  Combinatie van 2 telproblemen 2.2.1 Begrippen en notaties    

(Kans) expermiment: evenement waarvan de afloop toevallig bepaald wordt Uitkomst: resultaat van een experiment Uitkomstenverzameling/universum (U): verzameling van alle mogelijke uitkomsten van het experiment Gebeurtenis: bepaald aspect van U dat je wil onderzoeken  De kans op gebeurtenis ‘A’ als P(A)  Een gebeurtenis die niet kan voorkomen (7 gooien met een dobbelsteen) = ledig  Kan uit 2 voorwaarden bestaan: ‘een oneven getal gooien’ (1, 3, 5) EN een deler van 6 gooien (1, 2, 3, 6). Getallen die overeen komen zijn 1 en 3. F = (1, 3)

2.2.2 Eigenschappen van kansen  



Kans = steeds een getal tussen 0 en 1 (kommagetal, breuk) / tussen 0% en 100% Als alle gebeurtenissen samen overeenkomen met de volledige uitkomstenverzameling, dan is de som van de kansen van alle gebeurtenissen gelijk aan 1. (Gebeurtenis A: 1, 2, 3, 4 gooien met de dobbelsteen. Gebeurtenis B: 5, 6 gooien met de dobbelsteen. Optellen 4/6 + 2/6 = 6/6 = 1) COMPLEMENTREGEL: de kans op een gebeurtenis is gelijk aan 1 – de overige kansen. 6/6 – 2/6 = 4/6

2.2.3 Forume van Laplace

De kans (gebeurtenis A) om 2 te gooien met een dobbelsteen is 1 (gunstig) op 6 (totaal). Hoe groot is de kans dat de pijl 2 keer na elkaar op ‘groen’ landt? P(GrGr) = ¼ x ¼ = 1/16 = 6,25% Hoe groot is de kans dat de pijl eerst op blauw en daarna op geel landt? P(BG) = ¼ x ¼ = 6,25% Hoe groot is de kans dat hij op blauw of geel landt? P(B) of P(G) = ¼ + ¼ = 50% Hoe groot is de kans dat de pijl bij 2 ‘spins’ op rood en blauw landt? P(RB) of P(BR) = ¼ x ¼ + ¼ x ¼ = 1/8 = 12,5%

2.2.4 Systematisch/schematisch noteren In een vaas zitten 5 witte, 3 zwarte bollen. De kans op een zwarte bol is dus 3/8. De kans op een witte bol is 5/8. (MET teruglegging) a) We hebben een witte bal EN een witte bal nodig. 5/8 x 4/7 = (5/14) b) We hebben een zwarte bal EN een zwarte bal nodig. 3/8 x 2/7 = 3/28 c) We hebben 2 witte OF 2 zwarte ballen nodig. 5/14 + 3/28 = 13/28  REKENREGELS:  De som van de kansen van de takken die uit 1 punt vertrekken is altijd gelijk aan 1  Regel: als je er EN tussen zet, vermenigvuldig je  Regel: als je er OF tussen zet, tel je op p.31-33 oefeningen!

HOOFDSTUK 3: STATISTIEK 3.1 Statistische informatie in tabellen en diagrammen 3.1.1 Soorten variabelen Numerieke variablen

Discreet: niet alle tussenliggende waarden kunnen voorkomen.

(Je kan zinvolle bewerkingen uitvoeren)

(Bv. Aantal kinderen in een gezin = tussen 1 en 5 kinderen. 4,5 kan niet voorkomen.) (Aantal dagen vakantie, aantal kamers, aantal doelpunten, …)

Continu: alle getallen kunnen voorkomen. (Lichaamslengte, gewicht, temperatuur, afstand, …) (80, 167 kg)

Kwalitatieve variablen

Nominaal: geen logische volgorde.

(Je kan niet rekenen met de gegevens, bv. kleur, bloedgroep, huisnummers, postcodes, telefoonnummers, …)

(Haarkleur: blond – bruin – zwart, .. maakt niet uit!) (Geslacht, beroep, vervoer, …)

Ordinaal: er is een bepaalde volgorde. (Akkoord – niet akkoord – helemaal niet akkoord)

3.1.2 Soorten tabellen Enkelvoudige tabel Kruistabel

Gegevens  1 categorie. (Bv.: klassen + soorten drankjes) Verschillende categorieën: kolomtotaal, rijtotaal en algemeen totaal

3.1.3 Soorten diagrammen Voordeel diagram = snel evoluties of verhoudingen tussen aantallen vaststellen.  Absolute frequenties (exacte aantallen) (Aantal drankjes nodig in een klas)  Relatieve frequenties (procenten) (Verhouding van mensen)  Staafdiagram

Staafdiagram

Histogram (tegen elkaar)

Stapeldiagram (verschillende onderdelen)

 Cirkeldiagram (taartdiagram) Verhoudingen worden voorgesteld! (Meestal procenten + kwalitatieve wariablen waarbij de volgorde niet belangrijk is  nominaal)

 Lijndiagram (lijngrafiek) Evolutie voorstellen. Opgemeten waarden (punten) worden verbonden. (De tussenliggende waarden werden niet opgemeten.) (Nominale variable, volgorde speelt een rol!)

3.1.4 Een geschikte voorstelling kiezen Voorbeeld 1

Lengte = numerieke, continue variable DUS lengte opdelen in intervallen. Waarom een histogram? - Er is een bepaalde volgorde (van klein naar groot)  cirkeldiagram is niet geschikt - Er is geen sprake van evolutie  geen lijndiagram maar staafdiagram - Lengte = continue variable = staven sluiten aaneen = histogram

Voorbeeld 2 Koop of download je muziek? Kopen 219 Downloaden 158 Kopen en downloaden 66 Geen van beide 17

Koop of download je muziek? Kopen 47,6% Downloaden 34,3% Kopen en downloaden 14,3% Geen van beide 3,7%

Verhoudingen tussen mensen  omzetten in percenten (totaal mensen = 460 dus 17/460 = 3,7%) Voorbeeld van kwalitatieve, nominale variable  cirkeldiagram: - De volgorde maakt niet uit  cirkeldiagram - Er is geen ordening  geen lijndiagram - Staafdiagram is ook mogelijk

Voorbeeld 3 0 maand 1 maand 2 maand 3 maand

53 cm 58 cm 61 cm 62, 5 cm

Lengte van een baby  numerieke continue variable MET evolutie = lijndiagram: - Evolutie  lijndiagram (lengte in cm, leeftijd in maanden  punten verbinden) - ! LET OP : grafieken altijd een naam geven + x-y as ook !

3.1.5 Misleidende voorstellingen Voorbeeld 1

Bespreking: - Linkse tabel  correcte weergave - Rechtse tabel  verticale as werden enkel beperkt aantal waarden weergegeven  misleidend

Voorbeeld 2 In beide grafieken = dezelfde gegevens. De onderste tabel werd uitgerokken = lijkt minder evolutie dan bovenste. (Schaal horizontale as)

Voorbeeld 3

Detail nemen uit een grotere grafiek  misleidend.

3.2 Statistische informatie in getallen

Centrummaten: gemiddelde en mediaan (modale leerling) Spreidingsmaat: standaardafwijking

3.2.1 Gemiddelde en mediaan RZL

TEC-com

DT3

Senne Boonen

4

9

6

Dieter Bracke

8

6

6

Mathijs de Bel

3

9

9

Arne Horowitz

3

4

6

Barbara Minne

7

- (afwezig)

- (afwezig)

Gert Stilton

8

6

9

Jasper Terlouw

6

4

7

Mathis Tijsmans

7

5

6

Griet Van Cleemput

7

10

6

Selma vanden Heede

3

10

8

Gemiddelde (x )

7

7

Mediaan (med)

6

6

 Gemiddelde berekenen (TEC-com) = alle resultaten optellen en delen door het totaal (zonder afwezigen!) n = het aantal resultaten= 9

= gemiddelde = (9 + 6 + 9 + 4 + 6 + 4 + 5 + 10 + 10) / 9 = 63/9 = 7  Mediaan berekenen (TEC-com) Rangschikken van klein  groot. Mediaan = middelste resultaat of het gemiddelde van de 2 middelste resultaten. 4 – 4 – 5 – 6 – 6 – 9 – 9 – 10 – 10 =6

3.2.2 Standaardafwijking (s)

Tine Arne Robbe Gijs Anna Amber Joke Tibo Jarne Janne GEMIDDELD E MEDIAAN

Hoofdrekenen 9 6 9 4 7 4 4 10 10 Afwezig

Cijferen 7 6 7 6 7 8 7 7 8 Afwezig

7

7

7

7

Cijferen  resultaten zijn ongeveer gelijk – in evenwicht verdeeld Hoofdrekenen  resultaten liggen veel meer gespreid Standaardafwijking = gemiddelde afwijking van het gemiddelde. Hoe groter s = hoe groter de spreiding van de resultaten. Berekening: Stap 1: bepaal het gemiddelde (7) Stap 2: bepaal voor elk resultaat de afwijking van het gemiddelde, en kwadrateer deze afwijking Hoofdrekenen 9 6 9 4 7 4 4 10 10

Afwijking gemiddelde

Kwadraat afwijking

9–7=2 7–6=1 9–7=2 7–4=3 7–7=0 7–4=3 7–4=3 10 – 7 = 3 10 – 7 = 3

2² = 4 1² = 1 2² = 4 3² = 9 0² = 0 3² = 9 3² = 9 3² = 9 3² = 9

Stap 3: maak de som van de kwadraten van de afwijkingen 4 + 1 + 4 + 9 + 0 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 Stap 4: deel dit getal door ‘het aantal resultaten – 1’ (n – 1) (9 – 1 = 8) 54 : (n – 1) 8 = 6, 75 (variantie) Stap 5: neem de vierkantswortel van dit getal √6,75 = 2,6 (= STANDAARDAFWIJKING)

3.2.3 De normale verdeling = klok van Gauss komt vaak voor bij de verdeling van lengte, gewicht, … ! Continue variable ! Voorbeeld: intelligentiequotiënt

Voorbeeld: Kangoeroe uitslagen

3.2.4 Percentielen -

P25: “percentiel 25” Betekenis: de waarde waar 25% van de gegevens onder ligt, of aan gelijk is (en dus 75% boven). Voorbeeld: voor lengte is P25 = 165cm = Betekenis: 25% van de populatie is kleiner dan of gelijk aan 165cm. Percentiel 50 komt overeen met de mediaan

Zie p.51-53 voor toepassingen 3.3 Statistisch onderzoek 3.3.1 Steekproeven Onderzoek naar een bepaalde populatie ( = iedereen/alles waarover ik gegevens wil verzamelen)  nemen van een selectie uit die doelgroep.  Moet representatief zijn!!  Steekproef op deze doelgroep Fouten bij steekproeven: - Mensen laten deelnemen op vrijwillige basis  automatisch de gemotiveerde leerlingen = vertekend beeld - Een onderzoek uitvoeren in één deel van de populatie (bv. één klas)  grote variëteit!! - Niet-aselecte steekproef: mensen vrijwillig laten kiezen, enquête via e-mail (niet elk individu in de populatie heeft evenveel kans om gekozen te worden door bv. internet aansluiting die niet aanwezig is) niet-aselect = deel van de samenleving wordt vergeten/genegeerd.  ASELECTE steekproef: elk individu in de populatie heeft evenveel kans om gekozen te worden voor de steekproef. Fouten bij steekproef in een klasgroep, verdeeld in 2 onderzoeksgroepen: - De leerkracht selecteerd zelf  via trekking! (Onderzoek in maar 1 klas  meerdere klassen) - De leerlingen weten zelf tot welke groep ze behoren = placebo-effect = leerlingen gaan beter presteren omdat ze geloof hechten aan het middel  elke groep iets geven zodat ze zelf niet weten tot welke groep ze behoren. (Bv. Druivensuiker) - De leerkracht wist wie tot welke groep behoorde (subjectief)  dubbelblind experiment

3.3.2 Van steekproef naar ‘bewijs’

Nemen van steekproeven uit de populatie  leidt tot een besluit. Meestal moeilijk om tot een juist besluit te komen. Volgend onderzoek heeft enkele bedenkingen:

-

-

-

Bij een symmetrische munt  kans op kop en munt normaal gezien 50%. In dit onderzoek werd er 140/250 keer kop gegooid, meer als verwacht. Men trok onmiddellijk conclusies maar kan het ook geen toeval zijn? Experiment wijst uit dat de kans dat men 140 keer kop gooit bij het gooien van 250 munten, maar een kans is van 3,3 %. In alle andere gevallen zou het aantal keer kop minder dan 140 zijn.  Onderzoekers denken dat er iets aan...