Intro d Differentiaalvergelijkingen PDF

Preview

Summary

Download Intro d Differentiaalvergelijkingen PDF

Description

Begrippen en definities Differentiaalvergelijking:

Een vergelijking die een relatie tussen een functie en een of meer afgeleiden van die functie bepaalt.

Notatie:

F(x, y ,y',y'' , ...y(n) ) = 0

Voorbeelden:

dy dx = y y' = y of dy dx = 3y = 0

d 2 y dx 2 + 4y = 0 2t y' + 4y = 3 y''' + 2exy'' + 4y = 3 uxx = utt

Gewone d.v’s: Partiële d.v’s:

als y = y(x) een functie van 1 variabele is als y = y(x1 , x2 , ..xn) een functie van meer dan 1 variabele is

Orde van de d.v.:

hoogste afgeleide in de d.v.

Oplossing d.v.:

functie y = y(x) die voldoet aan F(x, y ,y',y'' , ...y(n) ) = 0

Integraalkromme:

de grafiek van een oplossing noemen we integraalkromme

(ODE) (PDE)

Geef de oplossing van y' = y

De algemene oplossing is: Voorbeeld. Laat zien dat y = e–3t + 2t + 1 een oplossing is van de d.v. y' + 3y = 6t + 5

subst.

y = e–3t + 2t + 1 y' = –3e–3t + 2t –3e–3t + 2t + 3(e–3t + 2t + 1) = 6t + 5 –3e–3t + 2t + 3e–3t + 6t + 3 = 6t + 5 6t + 5 = 6t + 5

Laat nu zelf zien dat y(t) = C e–3t + 2t + 1 de oplossing is van de d.v. Dit is de algemene oplossing van de d.v. De algemene oplossing bevat dus een constante. Het zal blijken dat een nde orde d.v. n constanten heeft. Beginwaardeprobleem

Algemene oplossing is

y' + 3y = 6t + 5 y(0) = 3 

beginvoorwaarde

y(t) = Ce–3t + 2t + 1 y(0) = C.1 + 0 + 1 = 3 

C=2

Particuliere oplossing is

y(t) = 2e–3t + 2t + 1

Singuliere oplossing

Oplossing die niet voorkomt in de algemen oplossing

Voorbeeld. Laat zien dat y = (x + C)2 een oplossing is van de d.v. (y')2 – 4y = 0 . (Zelf nagaan) Is y = 0 een oplossing van de d.v. ? Nagaan!! Deze functie is NIET in de algemene oplossing. Dus y = 0 is een singuliere oplossing. Differentiaalvergelijkingen

Page 1

Begrippen en definities Hoe ontstaan d.v’s ? http://www.youtube.com/watch?v=j7wLDz3THhg&feature=related Voorbeeld: Voorbeeld:

Een massieve ijzer bol heeft een temperatuur van 100°C. We brengen de bol in een ruimte met een constante temperatuur van 20°C. Hoe verandert de temperatuur T(t) van de bol met de tijd t ? In een eenvoudig model neemt de temperatuur van de bol evenredig af met het verschil in temperatuur tussen de bol en zijn omgeving. De afname van de temperatuur per tijdseenheid is –T '(t). Een model voor het afkoelingsproces is dus: –T '(t) = a(T(t) – Tr)  –T '(t) = a(T(t) – Tr) met a > 0 de evenredigheidsconstante en Tr = 20°C de temperatuur van de omgeving.

Voorbeeld:

De groeisnelheid van een populatie bacteriën is proportioneel met de populatie. Stel de populatie op tijdstip t op P(t) Dan geldt:

dP ( t )  K.P( t ) (K is een constante) dt

Eerste orde differentiaalvergelijkingen Een eerste orde (gewone) d.v is een vergelijking van de vorm dy  f ( x, y) F(x, y ,y') = 0  y ' = f(x , y )  dx Richtingsveld We kunnen de d.v. F(x, y ,y') = 0 nog niet oplossen en dus de grafiek y(t) nog niet tekenen. Om toch een indruk te krijgen kunnen we wel het richtingsveld schetsen. Het richtingsveld bestaat uit raaklijnelementen . In elk punt (x,y) definieert y ' = f(x , y ) een r.c. van een raaklijn in (x,y) aan de integraalkromme. Een stukje van zo een raaklijn heet raaklijnelement.

Voorbeelden

voorbeeld van een richtingsveld

voorbeeld van een richtingsveld Differentiaalvergelijkingen

Page 2

Begrippen en definities Isokline:

Een kromme waarop de lijnelementen dezelfde richting (dus dezelfde r.c. hebben) Dus y' = f(x,y) = c

Voorbeeld:

Beschouw de d.v. y' = y – t2 Curven van de vorm y – t2 = c  y = t2 + c zijn isoclinen. Dit zijn parabolen.

Enkele isoklinen y = t2 + c voor verschillende waarden van c

Opgave: Schets het richtingsveld voor y' = y – t Kies –2  t  2 en –2  y  2 . Gebruik de methode van isoklinen Gebruik het richtingsveld om de curve door het punt (–1 , ½ ) te schetsen. Schets ook de curve door (–1 , –½ ) Isoklinen y – t = c  y = t + c Dit zijn lijnen. c=0 y=t c=1 y=t+1 c=2 y=t+2 c=3 y=t+3 c = –1 y=t–1 c = –2 y=t–2 Gebruik onderstaande tekening om de opgave af te maken.

Differentiaalvergelijkingen

Page 3...