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E – Flexão Pura

Cap. 5.0 – FLEXAO PURA 5.1 – INTRODUÇÃO As peças longas, quando submetidas à flexão, apresentam tensões normais elevadas (por exemplo, para se quebrar um lápis, com as mãos, jamais se cogitaria tracioná-lo, comprimi-lo, torcê-lo ou cisalhá-lo; um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tensões de ruptura no material). Daí a importância do presente estudo. 5.2 – MOMENTO FLETOR (M) Recordando estudos de Isostática, quando da análise das relações entre os esforços solicitantes em uma viga sob carregamento transversal q(x), temos que: q(x)

Fy = 0 ⇒ Q = q (x) dx + (Q + dQ)

y

dQ/dx = - q(x) ........... (5.2.1) M

Q

x

O

Q+dQ

Mo =0 ⇒ M+Qdx=q(x)dx.dx/ + M+dM

M+dM

(sendo > 1, tornando o termo ⇑ desprezível em presença das demais) e

dx

dM/dx = Q ...................... (5.2.2)

Fig. 5.2.1 – Relações entre q(x), Q e M em uma viga

A relação 5.2.2 denota que, quando a força cortante Q é nula ao longo de uma extensão x da viga, o momento fletor M será constante (FLEXÃO PURA). Da mesma forma, nas seções onde o momento fletor é extremo (máximo [+] ou mínimo [-]) a força cortante será nula, sendo aplicável para tais casos (de especial importância) o estudo da flexão como sendo pura. 2,0 tf

2,0 tf

2,0 1,5 4,0 m tf + 2,0 Q=0

+3,0 tf.m

1,5

1,5

4,0 m

+ 2,0 - 2,0

4,0 tf

1,0 tf / m

1,5

3,5 m

3,5 m

+ 2,0 - 2,0

Q=0

2,0 tf Q (tf)

Q=0 - 2,0

M +5,0 tf.m

+7,0 tf.m

Fig. 5.2.2 – Diagramas de esforços solicitantes (Q e M) de vigas sob carregamento transversal (exemplos) 1

E – Flexão Pura

5.3 – TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO RETA (SIMÉTRICA) E ELÁSTICA. No caso comum de vigas com seção transversal simétrica em relação ao plano do carregamento, verifica-se que a distribuição das tensões normais nos diversos pontos da seção só depende da distância y em relação à linha que a divide nas partes tracionada e comprimida (“linha neutra” – LN – Fig. 5.3.1 – a e b). Admitindo que a seção transversal permanece plana após girar em torno da LN em decorrência da deformação das fibras longitudinais, concluiremos que a linha neutra será reta e que as deformações variarão linearmente com relação a seu afastamento y em relação à LN(Fig. 5.3 .1– c).

y

M

(a)

(b)

y

dA (c)

Fig.5.3.1 –(a) Flexão de vigas simétricas. (b) tensões normais. (c) deformações – manutenção da seção plana (Obs: o eixo y foi orientado para baixo para se adequar à c onvenção de sinais do momento fletor - positivo quando traciona as fibras inferiores e comprime as superiores)

Computando a resultante dos momentos, em relação à linha neutra, das forças elementares atuantes nos diversos pontos da seção podemos escrever (Fig. 5.3.1 b):

∫

dA.y = M.............................(5.3.1)

Adotando a hipótese da manutenção da seção plana (Fig. 5.3.1 c), e admitindo que o material da viga trabalha na fase elástica podemos escrever sucessivamente: = c. y ..........

=E

=ky

( distribuição linear das tensões) e

∫ k y dA.y = M ⇒ k = M / ∫ y 2 dA , sendo ∫ y2 dA = ILN (momento de inércia da área da seção transversal em relação à linha neutra). Portanto:

M / LIN) y .................. (5.3.2) equação estabelecida por Euler, para determinação da tensão normal atuante em um ponto qualquer de uma dada seção de uma viga, onde atua um momento fletor M e que 2

E – Flexão Pura

tem um momento de inércia ILN em relação à linha neutra, sendo y a distância do ponto citado, em relação à mencionada LN. Resta precisar a posição em que se encontra a linha neutra. Como na flexão pura a força normal é nula, teremos, necessariamente:

∫

dA = N = 0 e ∫

LN )

y dA = 0, portanto, ∫ y dA = 0,

ou seja, o momento estático (de 1ª ordem) da área da seção em relação à Linha Neutra sendo nulo, indica que a LN contém o centróide da área. 5.4 – VÁRIAS FORMAS DE SEÇÃO. MÓDULO DE RESISTÊNCIA (W). Para as formas mais comuns das seções das vigas (retangular, circular, tubular ou composições destas), o cômputo dos respectivos momentos de inércia I em relação a eixo central que contém o centróide da área nos fornece, por exemplo(com e >>

= k0 + k1 y + k2 z , sendo k i constantes a determinar.

Considerando que a flexão é pura e, portanto, N = 0, teremos que N = ∫ dA = 0 e, então k0 = 0, (já que os momentos estáticos em relação aos eixos baricêntricos são nulos) indicando que a linha neutra, também neste caso, contém o centróide da área da seção e que:

= 1 ky + k2 z ................................................ (5.6.2) Levando em 5.6.1 obtemos: Mz =

∫

M z = k1

(k1 y 2 + k2 zy) dA

∫ y2

dA + k 2 ∫ zy dA

∫

(k 1 yz + k2 z2) dA , ou

e

Mz =

e

Mz = k1 ∫ yz dA + k 2

11

∫

z2 dA .

E – Flexão Pura

Considerando que:

∫

∫

2

y dA = Iz ;

2

z dA = I y ;

∫

yz dA = Pyz *

* - P yz - Produto de Inércia da área da seção em relação ao par de eixos yz. Finalmente teremos: Mz = k1 I z + k2 P yz

................................... (5.6.3).

My = k1 P yz + k2 Iy Conhecido o carregamento e determinado o momento fletor, obtemos suas componentes nos eixos y (para baixo) e z escolhidos (cuidado com o sinal de Mz , positivo quando no sentido negativo do eixo z). Conhecidas as características geométricas da seção, podemos determinar os momentos e produto de inércia em relação aos eixos. Tais valores (Mz , My , Iz , Iy e P yz ), levados em 5.6.3, nos permitem obter um sistema de duas equações com as duas incógnitas k1 e k 2. Resolvido o sistema e utilizando 5.6.2, obteremos o valor da tensão normal, bastando conhecer as coordenadas do ponto correspondente da seção. A posição da linha neutra será determinada considerando que nela as tensões serão nulas (fazendo = 0 em 5.6.2, obtendo-se a equação da L.N.).

Exemplo nº 5.6.1 - O perfil de abas des iguais esquematizado ao lado é submetido a um carregamento vertical e, em determin ada seção, a flexão é pura, com momento fletor de 10,0 kN.m, tracionando a aba s uperior. Pede-se determinar: 1º) as tensões normais nos pontos A, B e C assinalados; 2º) a posição da linha neutra; 3º) as máximas tensões de tração e de compressão na seção.

80

B

A

20

M = 10,0 kN.m

140

22

C 20

52

CG

z

Solução – Estabelecendo os eixos y z com origem no centróide da área da seção: y c = (60 x20 x10 + 140 x20 x70) / (60 x20 + 140 x20) = 52 mm zc = (60 x20 x50 + 140 x20 x 10) / (60 x20 + 140 x20) = 22 mm

No cálculo dos momentos de inércia obtem-se: Iz = 60 x20 3/12 + 60 x20(52 – 10)2 + 20 x 140 3/12 + 140 x 20(70 – 52)2 = 6 4 –6 4 = 7,637 x 10 mm = 7,637 x 10 m 3 2 3 Iy = 140 x20 /12 + 140 x20(22 – 10) + 20 x 60 /12 + 60 x 20(50 – 22)2 = = 1,797 x 106 mm4 = 1,797 x 10 –6 m 4

12

y

E – Flexão Pura

No cômputo do PRODUTO DE INERCIA P yz levaremos em conta que é nulo o seu valor quando um dos eixos for de simetria para a seção. Portanto, os produtos de inércia baricêntricos para cada uma das abas retangulares serão nulos, bastando apenas acrescentar os produtos de transporte para o baricentro da figura, conforme estabelece o teorema de Steiner (eixos paralelos). Importante será levar em conta que, ao contrário dos momentos de inércia (grandeza sempre positiva), o produto de inércia pode ser positivo ou negativo (conforme o quadrante em que a figura esteja posicionada) Assim, para a área da cantoneira em análise (em sua maior parte contida nos 2º e 4º quadrantes) teremos: P yz = [ - 60 x 20 x (50 – 22) x (52 – 10)] + [ - 140 x 20 x (70 – 52) x (22 – 10) = = - 2,016 x 106 mm 4 = - 2,016 x 10 –6 m4

Levando em 5.6.3 os resultados obtidos para as propriedades geométricas da seção e considerando que o momento fletor M tem como componentes: M y = 0 e Mz = - 10 kN.m (o sinal negativo corresponde à convenção usual para momentos que tra cionam as fibras superiores, embora esteja orientado no sentido positivo do eixo z –  ! –   ): - 10 x 103 = [ 7,637 k1 + (- 2,016) k 2 ] x 10 –6 0 = [(- 2,016) k1 + 1,797 k2 ] x 10 -6 Resolvido o sistema obtemos: k1 = - 1.860 x 106 ; k2 = - 2.087 x 106 (Pa/m) e, levando em

5.12, teremos finalmente:

= (- 1.860) y + (- 2.087) z ..............................(a)

Para os pontos A(-52; -22); B(-52; +58) e C(+84; -2) – coordenadas (y; z) em mm, teremos: A = + 143 MPa (tração); B = - 24,3 MPa (compressão !! *); C = 152 MPa (compressão). * o resultado, inesperado em princípio, de uma tensão de compressão em ponto da ab a superior do perfil, ficará compreendido ao analisarmos a posição da linha neutra.

A linha neutra (que separa as regiões tracionada e comprimida) é o lugar geométrico dos pontos da seção onde a tensão é nula, permitindo obter-se a sua equação zLN = f (y LN) fazendo = 0 em (a): 0 = 1.860 y + 2.087 z >>>> zLN = - 0,8912 y LN (eq. da LN) indicando que a LN forma um ângulo com o eixo y tal que a sua tg = - 0,8915 ou seja = - 41,7º = + 138,3º. Portanto, a linha neutra não coincide com a linha de ação do vetor momento na seção (ao contrário do que ocorre na flexão reta). O ponto B, realmente, está no lado comprimido do perfil. As tensões máximas ocorrerão nos pontos mais afastados da linha neutra. No caso em apreciação: max

Tração

= 143 MPa (ponto A);

max

Comp.

= 152 MPa (ponto A)

A 52 Linha Neutra

- 41,7º

++ + ++ + + + + +

y

 !"#$  A = B = (10.000 / 7,637 x 10-6 ) x 0,052 = 68,1 MPa (errado !) C=

(10.000 / 7,637 x 10-6 ) x 0,088 = 115 MPa (errado !)

13

B

41,9º

58

C

-

z

E – Flexão Pura

No caso de vigas cuja seção transversal possui um eixo de simetria, porém o plano do carregamento não coincide com o seu plano de simetria (FLEXAO OBLIQUA), a determinação das tensões se realiza de maneira mais simples escolhendo-se, como um dos eixos, o eixo citado de simetria da seção. Assim, teremos a condição simplificada de Pyz = 0 que, levada em 5.6.3 nos fornece:

k 1 = MZ / IZ

e

k 2 = MY / I Y.

Considerando 5.6.2, termos finalmente:

= (MZ / IZ) Y + (M Y / IY) Z ................ (5.6.4)

M

Z Plano do carregamento

Y

indicando que a solução seria a composição de duas flexões retas, cada uma computada em relação a um dos eixos principais da seção (representados em letras maiúsculas como Y e Z). Obs.: mesmo que a seção não admita um eixo de simetria, haverá dois eixos perpendiculares em relação aos quais o produto de inércia será nulo (eixos principais de inércia), e para os quais os momentos de inércia serão extremos (um máximo e outro mínimo). Seus valores são dados por: I 1,2 = ½ (Iy + I z) +

[ ½ (I y – I z)2 + (P yz)2

Exemplo nº 5.6.2– A viga em “T”, posicionada obliquamente A 80 em relação ao plano do carregamento vertical, com a alma formando um ângulo de 30º, está submetida, em determinada seção, a flexão pura com um momento fletor de intensidade M = 2,5 kN.m, tracionando as fibras inferiores. Pede-se determinar M as máximas tensões de tração e de compressão, indicando os B pontos da seção onde ocorrem. 30 LN Solução: 30º O centróide da seção fica em: Z YC YC = (80x30x15 + 100x24x80) / (80x30 + 100x24) = 47,5 mm Os momentos de inércia principais valerão: 24 IZ =80x30 3/12 + 80x30(47,5 –15) 2 + 24x100 3/12 + 100x24(80 –47,5)2 100 4 Y I Z = 7,250 x 10-6 m C 3 3 -6 4 IY = 30 x 80 / 12 + 100 x 24 / 12 = 1,395 x 10 mm I Y = 1,395 x 10-6 m 4 As componentes do momento fletor nos eixos principais serão: M Z = 2,5 x cos 30º = + 2,165 kN.m; MY = 2,5 x cos 60º = + 1,250 kN.m; Levando em 2.14 teremos:

= (2.165 / 7,250x10-6) Y + ( 1.250 / 1,395x10-6 ) Z;

= ( 298,6 Y + 896,1 Z )x10 6 .

A equação da linha neutra ( = 0) será: ZLN = - 0,3332 YLN . Portanto, a LN forma com o eixo Y um ângulo tal que tg = - 0,3332 e = -18,43º. Os pontos onde ocorrem as tensões extremas são aqueles mais afastados da LN. Para a compressão, não há dúvida, será a quina A da mesa:

= [298,6 x (-0,0475) + 896,1 (-0,040 )] x 10 6 = - 50,0 MPa – ( compressão máxima). Para a tração, dois seriam os “candidatos”: (a quina B da mesa e a quina C da alma):

= [298,6 x (-0,0475 + 0,030) + 896,1 (+0,040 )] x 106 = + 30,6 MPa. 6 C = [298,6 x (0,130 - 0,0475) + 896,1 (+0,012)] x 10 = + 35,4 MPa – (tração máxima).

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E – Flexão Pura

Exercício Proposto nº 5.6.3 – Para a viga retangular (b x h), submetida a um carregamento vertical direcionado segundo uma de suas diagonais, pede-se: 1º) mostrar que a linha neutra estará direcionada segundo a outra diagonal, e 2º) determinar as máximas tensões de tração e compressão em função do momento M e das dimensões da seção.

h M b

5.7 – DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA SIMÉTRICA E ELÁSTICA. O momento fletor é o esforço solicitante que, atuando em duas seções contíguas paralelas de uma viga reta, separadas de dx, provoca um ângulo d entre elas de sorte a se poder escrever (ver Fig. 5.7.1 abaixo): d = dx / y sendo a deformação específica longitudinal de uma fibra situada a uma distância y do plano neutro. Admitindo que o material trabalha na fase elástica, teremos:

d

x x

z

= portanto:

/ E = (M / E ILN) y

y

d =

dx

dx / E I

LN

.......(5.7.1)

No caso da flexão pura, com M constante, seção uniforme e material continuo, ao longo da extensão L0 da viga obteremos, para o pequeno ângulo formado entre as seções extremas:

y

(1+ )dx Fig. 5.7.1 – Deformações na flexão pura simétrica

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E – Flexão Pura

=

L 0 / E ILN .......(5.7.2) (compare com as equações 1.7.2, 3.1.1 e 4.2.8).

O raio de curvatura do plano neutro pode ser calculado observando (ainda na Fig. 5.7.1) que: d dx; portanto d dx = 1 / 1/

L

...................................... (5.7.3)

2 mm

D = 2,0 m

35

Exemplo nº 5.7.1 – Uma fita de aço (E = 210 GPa), com 2 mm de espessura e 20 mm de largura, é encurvada para formar um aro 20 circular com 2,0m de diâmetro, sendo suas extremidades unidas através de um pino cravado conforme mostra a figura ao lado. Pede-se estimar: 1º) o valor máximo das tensões normais na fita; 2º) o valor da força de tração no pino da união. Obs.: há uma superposição entre as fitas da ordem de 35 mm.

Solução: A equação 5.16 nos fornece: 1/

L

= 1 / 1,0 = 12 M / 210x109 x 20 x (2)3 x 10 -12

de onde tiramos M = 2,8 N.m

Fpino

As tensões máximas (tanto de tração como de compressão) valerão:

35

3 -12 -3 =[12 x 2,8 / 20 x (2) x 10 ] x (1,0 x 10 ) = 210 MPa

O momento fletor aplicado na extremidade da fita, através da ação do pino e do encosto com a outra extremidade da fita, será dado por: Fpino x (2/3) 0,035 = 2,8 e, portanto: Fpino = 120 N. (valor aproximado, admitindo que a ação de encosto entre as fitas se caracterizasse por uma distribuição linear de esforços, desde zero, na altura do pino, até o valor máximo, na extremidade).

16...