E3-U9-anle - analisis no lineal PDF

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CATEDRA DE ESTRUCTURAS IV

FACULTAD DE INGENIERIA ˘ U.N.L.P.

ANALISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS INTRODUCCION: Hasta ahora hemos analizado estructuras con un comportamiento lineal, es decir donde se cumple que entre causas y efectos existe una relación lineal. Para el cumplimiento de estas premisas debían verificarse que el material es elástico lineal (material hookeano) y los desplazamientos de la estructura son pequeños. Cuando no se cumple algunas de estas premisas el comportamiento de la estructura es NO LINEAL. La no-linealidad se puede deber solamente a que el material no es lineal y estamos en el caso de NO-LINEALIDAD FISICA. Si en cambio la no-linealidad se debe a que los desplazamientos en la estructura no son pequeños estamos en el caso de NO-LINEALIDAD GEOMETRICA. Para analizar todos estos tema estableceremos dos hipótesis dentro de las cuales desarrollaremos una teoría que nos permitirá abordar problema sumamente complejos. Hipótesis: 1. Material elástico 2. Los desplazamientos no son pequeños y no deben despreciarse en el análisis del equilibrio. Con respecto a esta última hipótesis cabe realizar algunas consideraciones respecto a la magnitud de los desplazamientos. Estos pueden tomar distintos valores para los cuales se puede hacer distintas aproximaciones que permiten arribar a soluciones matemáticas sencillas sin perder por ello la precisión en los resultados. Si se analiza el conjunto de deformaciones y desplazamientos se puede hacer las siguientes consideraciones: Caso 1.

Las deformaciones específicas y los desplazamientos son pequeños. Este es el caso del análisis de estructuras lineales donde los desplazamientos son pequeños y el equilibrio se analiza sin tenerlos en cuenta.

Caso 2.

Las deformaciones específicas no son pequeñas y los desplazamientos son pequeños. En este es el caso del análisis de estructuras en régimen anelástico (cálculo plástico), donde en ciertas zonas de la estructura se alcanza deformaciones muy importantes que se traducen en la formación de articulaciones plásticas, a pesar de las cuales los desplazamientos de la estructura se mantienen pequeños y el equilibrio puede seguir siendo analizando sin tenerlos en cuenta. Esta es una no-linealidad física.

Caso 3.

Las deformaciones específicas son pequeñas y los desplazamientos no son pequeños. En este caso de un comportamiento no lineal de estructura debido a la nolinealidad geométrica.

1 − www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras4.htm

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Caso 4.

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Las deformaciones específicas y los desplazamientos no son pequeños. En este caso corresponde a un comportamiento no-lineal geométrico y físico.

En lo sigue nos limitaremos al análisis de los puntos 3 y 4, ya que el 1 y 2, ya fueron tratados en el análisis de las estructuras en régimen lineal y en cálculo plástico. El análisis de la no-linealidad geométrica se la suele subdividir de acuerdo a la forma de cuantificar el valor del radio de curvatura χ χ. 1)

χ = 1/r

= y''/ (1+y'2)3/2

2)

χ = 1/r

= y'' = dθθ / dx = d2y /dx2

El primer caso utiliza la expresión exacta de la curvatura y se denominada teoría de barras de grandes deformaciones. Nosotros utilizaremos la segunda expresión de la curvatura, que a pesar de ser aproximada, la teoría desarrollada con ella arriba a resultados muy aceptables a través de formulaciones matemáticas muy sencillas. Al final analizaremos un caso muy sencillo con la primera expresión de la curvatura y podremos comparar los resultados con la teoría desarrollada con la expresión aproximada de la curvatura. Para empezar analizaremos un simple caso, a modo de ejemplo, de una barra sometida a una carga transversal q constante y una fuerza axil P en sus extremos. q P

P E, J L

q x

P

M(x) y

P

R Q

Si en el estudio del equilibrio tenemos en cuenta los desplazamientos de la barra, el valor del momento flector a una distancia x vale: M(x) = P y + R x + q x2/2 = P y + Mt Siendo Mt el momento flector de las cargas transversales, o sean aquellas generadas por R y q. La ecuación diferencial de la elástica cuya expresión es: E.J y" = - M (x)

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Reemplazamos el valor M(x) E J y" = - P.y - Mt

y" + P/EJ y = - Mt /EJ

y" + k2 . y = - Mt/EJ

k = √ P/EJ

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden no homogénea con coeficientes constantes, cuya solución es: y = y1 + y2 siendo: y1: Solución de la ecuación homogénea, es decir de la ecuación diferencial igualada a cero y " + k2 . y = 0 1

1

La solución de esta ecuación diferencial es del tipo y1 = C1.sen(kx) + C2.cos(kx) Esta solución tiene la particularidad de ser independiente de las cargas transversales y depende únicamente de las propiedades de la barra y del esfuerzo axil P. Este aspecto es sumamente importante para temas que trataremos mas adelante. A través de las condiciones de borde podemos obtener el valor de las constantes C1 y C2. y2: Solución particular de la ecuación diferencial que depende del término independiente, es decir en este caso de la función Mt/EJ. y2= f(Mt/EJ) Esta expresión muestra que la solución es independiente de la carga axil P y dependen solo de las cargas transversales. La solución y2 es una función lineal de las cargas, no así y1 que es del tipo no lineal. O sea la respuesta y es del tipo lineal con respecto a las cargas transversales y no lineal con respecto a P. Como conclusión que podemos decir que si tenemos varias cargas transversales, las solución de y1 es única e independiente de las mismas, a esta habrá que sumarle las soluciones particulares que dependen de cada carga transversal. y = y1 + y2a + y2b + y2c + ....... Continuemos analizando el caso de una viga simplemente apoyada y verificaremos lo anteriormente enunciado. La ecuación diferencial que gobierna el equilibrio, como vimos anteriormente y" + k . y = - Mt/EJ la solución de esta ecuación diferencial es: y = y1 + y2 y1 = C1.sen(kx) + C2.cos(kx) y2 = q/(2EJ) (2/k2 + Lx – x2) 3 − www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras4.htm

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Las condiciones de borde son las siguientes: x=0 y=0 M=0 x=L y=0 M=0 reemplazando estas condiciones en la anterior ecuación obtenemos la solución final y = q/(EJ k4) . [ -(1-cos(kL) . sen(kx)/(sen)kL) + 1-cos(kx) + k2 /2 . (Lx - x2)] y a su vez si aplicamos la ecuación M = y" EJ podemos obtener la función momento flector. M = q/k2 [(1-cos(kL) . sen(kx)/sen(kL) + cos(kx) – 1] en la parte central de la viga, cuando x = L/2 el descenso vertical y el momento flector máximo valen: y máx. = q/(EJ k4) . [-(1-cos(kL) . sen(kL/2)/(sen)kL) + 1-cos(kL/2) + k2 L2/8] M máx. = q/k2. (1 - cos(kL/2)) / (cos(kL/2)

12

12

10

10

8

8

6

P (t)

q (t/m)

Con estos valores podemos realizar gráficos entre las causas q y P, y obtener la respuesta de la estructura analizada. Primero dejaremos fijo P y haremos variar q y obtenemos los siguientes gráficos:

6

4 4 2 2 0 0.0E+00

2.0E-01

4.0E-01

6.0E-01

8.0E-01

1.0E+00

v (m)

0 0.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

M (tm)

P (t)=0

P (t)=285

P (t) = 0

P (t)=400

P (t) = 285

P (t) = 400

En estos gráficos podemos observar que existe una relación lineal entre causa (q) y efecto (u y M) para distintos valores fijos de P. Esta es una conclusión sumamente importante porque significa que si el esfuerzo axil se mantiene constate podremos utilizar el Principio de Superposición y todos el andamiaje matemático desarrollado para las estructuras lineales, como ser los métodos de resolución de estructuras indeterminadas (método de las fuerzas y método de las deformaciones). Esta conclusión permite desarrollar métodos para la resolución de estructuras donde sea necesario este tipo de análisis, aun en los casos en que no se cumple que el esfuerzo axil se mantenga constante.

600

600

500

500

400

400 P (t)

P (t)

Si ahora mantenemos constante q y variamos P, tenemos los siguientes gráficos.

300

300

200

200

100

100

0 0.0E+00 1.0E+00 2.0E+00 3.0E+00 4.0E+00 5.0E+00 6.0E+00 7.0E+00

0 0

1000

v (cm) q (t/m) = 1

q (t/m) = 5

2000

3000

4000

M (tm)

q (t/m) = 10

q (t/m) = 1

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q (t/m) = 5

q (t/m) = 10

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En estos en cambio no existe linealidad entre causa P y los efectos u y M para distintos valores de q constantes. La relación es no-lineal, muy acentuada e incluso indeterminada para valores de q = 0 cuyos valores tienen una gran significación como veremos mas adelante. A continuación estudiaremos una forma de aplicar el método de las deformaciones que nos permitirá resolver estructuras que por sus características es necesario este tipo de análisis. Para este fin primero analizaremos la barra aislada, o sea estudiaremos la matriz rigidez, de la misma manera que lo hicimos en la teoría lineal. Matriz rigidez de barra de segundo orden Para simplificar sobre la barra no actúa otras cargas que los esfuerzos en sus extremos y para este análisis seguiremos el mismo camino utilizado anteriormente, es decir analizaremos el equilibrio de la barra en su estado deformado.

L

P

x

E, J

u

P

v1

P

v2 u1

M1

v vr u2

P M2

Q

Q

Mt = M1 - Qx y" + k2 y = - (M1 - Q x) / E J k2 = P / E J Por razones de equilibrio se cumple Q = (M1 + M2 + P vr ) / l y" + k2 y = - (M1 (l - x) / l - M2 x / l – P vr x / l) La solución es: y = y1 + y2 y = C1 sen(kx) + C2 cos(kx) - (M1 (l-x) -M2 x)/(k EJ l) + vr x/l A través de las condiciones de borde se pueden determinar el valor de todas las constantes C1, C2, M1 y M2

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Condiciones de borde: x=0

y = v1 y'= θ1

x=l

y = v2 y'= θθ2

Los valores de las constantes dan : M1 = ( A θ1 + B θ2 - ( A + B ) (v2-v1) /L ) E J / L M2 = ( B θ 1 + A θ2 - ( A + B ) (v2-v1) /L ) E J / L Para el esfuerzo de corte podemos tener las siguientes expresiones: Q = ( M1 + M2 + P vr ) / l Q = (( A + B ).( θ1 + θ2 ) - ( 2 ( A + B ) - D ) vr/l) E J / l Los coeficientes A B D se denominan coeficientes de Pandeo o de Estabilidad y las expresiones que las definen sus valores son: A = (εεsen(e) - ε cos(εε)) / ( 2 (1-cos(εε) - ε sen(εε))) B = (εε (εε - sen(εε)) / (2 (εε - cos(εεε) – ε) C = (εε sen(εε )) / ( sen(εε) - ε cos(εε)) ε = L √ (P/E J) Todas estas fórmulas corresponden para un esfuerzo de compresión, en el caso de que este sea de tracción ε = L √ (P/EJ) i

siendo i = √(-1)

(εε i)2 = - ε 2

cos(iεε) = Ch (εε ) sen (iεε) = i Sh(εε) tg(iε ε) = i Th(εε) Para este caso los coeficientes de estabilidad valen: A = (εε (Sh(ε ε) - ε Ch(εεε)) /(2(Ch(εε ) - 1) - ε sh(εεε))) B = (εε (εε - Sh(ε ε))) / (2(Ch(εε) - 1) - ε sh(εε))) C = (εε Sh(ε ε )) / (εεε Ch(e) - Sh(εε)) ε = √ (P/EJ) El valor de estos coeficientes se pueden observar en el gráfico adjunto. En el podemos realizar las siguientes observaciones : a) Para volares de εε = 0, los coeficientes de estabilidad coinciden los valores utilizados en la teoría lineal A=4

B=2

C=3

D = 12

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L*RAIZ(P/EJ)

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-20 -19 -18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10

A

-9

B

-8

C

-7

-6

-5

-4

-3

-2

7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 (0.5) 0 -1 (1.0) (1.5) (2.0) (2.5) (3.0) (3.5) (4.0) (4.5) (5.0) (5.5) (6.0)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2(A+B)-D

b) Los coeficientes de estabilidad se anulan para determinados valores de εε, los cuales tienen una significación muy importante como veremos más adelante. Si el valor de estos coeficientes solo dependen del valor de P y por lo tanto son independientes de los desplazamientos que los generan. O sea que los esfuerzos que se originan en los extremos de las baras son funciones lineales de los desplazamientos si mantiene constante el esfuerzo axil P. La linealidad cambia para cada valor distinto de P. Si incorporamos el valor de P a las constantes geométricas y elásticas de la barras podríamos decir que la relación entre causa y efecto es lineal. Este proceder nos una poderosa arma para resolver problemas no lineales mediante los métodos lineales que han sido sumamente desarrollados. Finalmente la matriz rigidez de barra de segundo orden es la siguiente px1 py1 m1 = px2 py2 m2

EF/L

0

0

-EF/L

0

0

0

(2(A+B)-D)EJ/L3

(A+B)EJ/L2

0

-(2(A+B)-D)EJ/L3

(A+B)EJ/L2

0

(A+B)EJ/L2

A EJ/L3

0

-(A+B)EJ/L2

B EJ/L3

-EF/L

0

0

EF/L

0

0

0

-(2(A+B)-D)EJ/L3

0

(2(A+B)-D)EJ/L3

0

2

(A+B)EJ/L

-(A+B)EJ/L2 B EJ/L

3

0

2

-(A+B)EJ/L

x

-(A+B)EJ/L2 A EJ/L3

RESOLUCION DE ESTRUCTURAL NO LINEALES Resolver una estructura es encontrar la relación causas - efectos, ya sea esta lineal o nolineal. Mientras que en primer caso la relación es lineal y por lo tanto conocida, en el segundo no lo es. Los procedimientos desarrollados hasta el presente se basan en las conclusiones anteriormente enunciadas, según las cuales son aplicables todos los procedimientos lineales siempre y cuando el esfuerzo axil se mantenga constante. Esto implica conocer el valor de dicho esfuerzo. Para poder resolver esta incongruencia se aplica los métodos iterativos, que implica adoptar un valor de la variable que se desconoce y se modifica a medida que se plantea la exigencia que dicha variable debe cumplir, por ejemplo en las ecuaciones de equilibrio. A 7 − www.ing.unlp.edu.ar/constr/estructuras4.htm

u1 v1 θ1 u2 v2 θ2

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su vez se establece cual es el error máximo que se admite en el valor de determinadas variables, por ejemplo los desplazamientos. El método de la tangente y el método de Newton - Raphson que describiremos continuación, presuponen conocido el valor del esfuerzo axil, a partir del cual podemos conocer la rigidez de segundo orden de cada barra (k") y de la estructura (K"). Esta última es válida para el valor del esfuerzo axil que hemos adoptado, simbólica podemos escribir: P = K”(P) U Esto indica que la matriz K”, es una función de las cargas. Los métodos siguen procedimientos similares, se supone que el esfuerzo axil es conocido, por ejemplo nulo, a partir del cual la matriz K” es constante e independiente de las cargas. Con estas premisas podemos aplicar los métodos lineales y obtener los desplazamientos nodales U y todos los esfuerzos internos. En este paso descubriremos que el esfuerzo axil adoptado no coincide con el adoptado. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Se adopta un valor del esfuerzo axil nulo. Se determinan los coeficientes de estabilidad para cada barra Ai, Bi, .. Se plantea las ecuaciones de equilibrio P = K" U Se resuelve el sistema de ecuaciones, determinando el valor de U = K”-1 P Se calcula todos los esfuerzos, incluyendo el valor de los esfuerzos axiles N. Si la diferencia entre los desplazamientos U de dos iteraciones sucesivas es menor que un determinado valor, el proceso se detiene, en caso contrario se continua en el paso siguiente. 7. Se adopta el valor del esfuerzo axil el determinado en el paso 5. 8. Se vuelve al paso 2, donde tenemos un valor de Pi mejorado. El diagrama de flujo correspondiente sería: Pi = 0 Ai, Bi,... P = K” U U = K”-1 P

Un - U(n-1) > error

Nn Pi (n+1) = N n

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STOP

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El hecho de comparar los desplazamientos y no los esfuerzos axiles se debe a que las incógnitas del problema son los desplazamientos, a través de los cuales se determinan los demás esfuerzos. En forma gráfica podemos interpretar este proceso de la siguiente manera: 1. En el gráfico tenemos una función desconocida y deseamos encontrar el punto de correspondencia entre la carga P y U. 2. A través de un procedimiento lineal donde asumimos para Pi valores nulo, resolver un primer valor ds U1. 3. Con estos desplazamientos podemos determinar los correspondientes esfuerzos axiles N y a partir de los mismos los coeficientes de estabilidad y la matriz K”. 4. Realizados el producto matricial P = K”U determinamos un punto de la función desconocida. 5. Con este punto determinado podemos seguir según el procedimiento elegido. El método de la secante modifica las rigideces originales y determina un nuevo valor mejorado y así sucesivamente hasta que la diferencia entre dos procesos iterativos sea menor que un determinado error. El método de Newton - Raphson, a partir del desplazamiento hallado utiliza la tangente para encontrar un incremento de desplazamiento.

P

U U1 U2 U3 U n

METODO DE LA SECANTE

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P

U1

U2 U3 Un

U

METODO DE NEWTON - RAPHSON

P

U1 U2

Un

U

METODO TANGENTE INICIAL ESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO - PANDEO Estudiaremos un conjunto de estructuras que tienen la particularidad de tener un sistema de ecuaciones de equilibrio del tipo: K”U=0 Estas ecuaciones lineales se denominan homogéneas y la estructura que poseen este sistema son aquellas que cumplen con los siguientes requisitos: 1. Las barras son indeformables axílmente 2. Si la estructura es del tipo de nudos no desplazables, las cargas deben ser fuerzas actuando en los nudos no desplazables. 3. Si la estructura es del tipo de nudos desplazables, las cargas deben ser fuerzas actuando en los nudos de manera de equilibrarse barra a barra. Desde el punto de vista matemático este sistema de ecuaciones tiene dos tipos de soluciones: 1. Si el determinante de la matriz de rigidez K” (DK”) es distinto de cero ...