Exp. N°1 Control no lineal PDF

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UNIVERSIDADNACIONALMAYOR DESAN MARCOS“DECANA DEAMÉRICA”Curso: Laboratorio de Sistemas de Control II.Tema: Efecto de las no linealidades sobre la respuestatemporalIntegranteProfesor: Ing. Roberto Mandujano MiesesFacultad: Ingeniería Electrónica, Eléctrica, Telecomunicaciones yBiomédicaEscuela: Electr...

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS “DECANA DE AMÉRICA” Curso: Laboratorio de Sistemas de Control II. Tema: Efecto de las no linealidades sobre la respuesta temporal Integrante

Profesor: Ing. Roberto Mandujano Mieses Facultad: Ingeniería Electrónica, Eléctrica, Telecomunicaciones y Biomédica Escuela: Electrónica.

Lima – Perú 2021

Efecto de las no linealidades sobre la respuesta temporal Universidad Nacional Mayor de San Marcos Lima, Perú

Resumen- En este informe llamado “Efecto de las no linealidades sobre la respuesta temporal” experimentaremos mediante el software simulink la interacción de un sistema físico además incluiremos un marco teórico sobre dicho tema. 1. OBJETIVOS • •

Examinar cualitativamente los efectos de las no linealidades en la respuesta temporal de un sistema físico. Entender el comportamiento de un sistema no lineal al ser perturbado alrededor de una solución o punto de operación nominal.

2. INTRODUCCIÓN El describiendo la función es un procedimiento aproximado para analizar ciertos problemas de control no lineal en ingeniería de control. Para empezar, recordemos primero la definición básica de un sistema de control lineal. Los sistemas de control lineal son aquellos en los que el principio de superposición (si las dos entradas se aplican simultáneamente, entonces la salida será la suma de dos salidas) es aplicable. En el caso de sistemas de control altamente no lineales, no podemos aplicar el principio de superposición. 3. MARCO TEÓRICO Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición. Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada entrada a la vez y sumando los resultados. Aunque muchas relaciones físicas se representan a menudo mediante ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos las relaciones reales no son verdaderamente lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos revela que incluso los llamados «sistemas lineales» sólo lo son en rangos de operación limitados. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en el desarrollo de la función no lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención sólo del término lineal. Debido a que no se consideran los términos de orden superior del desarrollo en serie de Taylor, estos términos no considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de la condición de operación. (De otro modo, el resultado sería inexacto.) 3.1. Aproximación lineal de modelos matemáticos no lineales Con la finalidad de obtener un modelo matemático lineal para un sistema no lineal, se supone que las variables sólo se desvían ligeramente de alguna condición de operación. Considérese un sistema cuya entrada es ฀฀(฀฀) y cuya salida es ฀฀(฀฀). La relación entre ฀฀(฀฀ ) y ฀฀(฀฀ ) se obtiene mediante ฀ ฀ = ฀฀ (฀฀)

… Ecua. 1

Si la condición de operación normal corresponde a ฀฀ , ฀฀�, la Ecuación (1) se expande en series de Taylor alrededor de este punto, del modo siguiente: ฀ ฀ = ฀฀ (฀฀)

฀฀฀฀

= ฀฀ (฀฀ ) + (฀฀ − ฀฀ ) +

1฀฀2 ฀฀ (฀฀ 2 2! ฀฀฀฀

฀฀฀฀

− ฀฀ )2 + ⋯ Ecua. 2

Donde las derivadas ฀฀฀฀/฀฀฀฀, ฀฀ 2 ฀฀/฀฀฀฀ 2 , … se evalúan en ฀ ฀ = ฀฀ . Si la variación ฀฀ − ฀฀ es pequeña, es posible no consideras los términos de orden superior en ฀฀ − ฀฀ . Entonces, la Ecuación (2) se escribe como: ฀ ฀ = ฀฀� + ฀฀ (฀฀ − ฀฀ )

… Ecua. 3

donde: ฀฀� = ฀฀ (฀฀ ) ฀฀฀฀ ฀฀= ฀฀฀฀ ฀฀=฀฀ de la Ecuación (3) puede reescribirse como: ฀฀ − ฀฀� = ฀฀(฀฀ − ฀฀ )

… Ecua. 4

Que indica que ฀฀ − ฀฀� es proporcional a ฀฀ − ฀฀ . La Ecuación (4) da un modelo matemático lineal para el sistema no lineal obtenido mediante la Ecuación (1) cerca del punto de operación ฀ ฀ = ฀฀ , ฀ ฀ = ฀฀�. A continuación, considere un sistema no lineal cuya salida ฀฀ es una función de dos entradas ฀฀1 y ฀฀2 de modo que: ฀ ฀ = ฀฀ (฀฀1 , ฀฀2 )

… Ecua. (5)

Con la finalidad de obtener una aproximación lineal para este sistema no lineal, es posible expandir la Ecuación (5) en series de Taylor alrededor del punto de operación normal ฀฀1 , ฀฀2 . Entonces, la Ecuación (5) se convierte en: ฀฀฀฀ ฀฀฀฀ ฀ ฀ = ฀฀ (฀฀1 , ฀฀2 ) + � (฀฀1 − ฀฀1 ) + (฀฀2 − ฀฀2 )� ฀฀฀฀1 ฀฀฀฀2 1 ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀ 2 ฀฀ ฀฀ 2 ฀฀ 2+2 ) ( (฀฀2 − ฀฀2 )2 � + ⋯ ) )( + � ( − ฀฀ ฀฀ + ฀฀ − ฀฀ − ฀฀ ฀฀ 1 1 2 2 1 1 2! ฀฀฀฀ 2 1 ฀฀฀฀ 2 2 ฀฀฀฀1 ฀฀฀฀2

donde las derivadas parciales se evalúan en ฀฀1 = ฀฀1 , ฀฀2 = ฀฀2 Cerca del punto de operación normal, es posible no considerar los términos de orden superior. A continuación, el modelo matemático lineal de este sistema no lineal alrededor de la condición de operación normal se obtiene mediante ฀฀ − ฀฀� = ฀฀1 (฀฀1 − ฀฀1 ) + ฀฀2 (฀฀2 − ฀฀2 ) donde: ฀฀� = ฀฀ (฀฀1 , ฀฀2 ) ฀฀฀฀ ฀฀1 = ฀฀฀฀1 ฀฀1 =฀฀1 ,฀฀2 =฀฀2 ฀฀฀฀ ฀฀2 = ฀฀฀฀2 ฀฀1 =฀฀1 ,฀฀2=฀฀2 La técnica de linealización presentada aquí es válida alrededor de la condición de operación. Sin embargo, si las condiciones de operación varían ampliamente, tales ecuaciones linealizadas no son adecuadas y deben manejarse ecuaciones no lineales. Es importante recordar que un modelo

matemático determinado, que se use en el análisis y el diseño, puede representar con precisión la dinámica de un sistema real para ciertas condiciones de operación, pero puede no ser preciso para otras. En la mayoría tipos de sistemas de control no podemos evitar la presencia de ciertos tipos de no linealidades. Pueden clasificarse como estáticos o dinámicos. Un sistema para el que existe una relación no lineal entre la entrada y la salida, que no implica una ecuación diferencial, se denomina no linealidad estática. Por otra parte, la entrada y la salida pueden estar relacionadas a través de una ecuación diferencial no lineal. Este sistema se denomina no linealidad dinámica. Ahora vamos a discutir varios tipos de no linealidad en un sistema de control: • •

No linealidad de saturación No linealidad de la zona muerta

3.2. Respuesta con elemento no lineal de saturación La no linealidad de saturación es un tipo común de no linealidad. Por ejemplo, véase esta no linealidad en la saturación de la curva de magnetización de Motor de corriente continua. Para entender este tipo de no linealidad, discutamos la curva de saturación o la curva de magnetización que se da a continuación:

Figura 1 Curva de magnetización (ejemplo de respuesta con elemento no lineal de saturación)

De la curva anterior podemos ver que la salida muestra un comportamiento lineal al principio, pero después de eso hay una saturación en la curva que un tipo de no linealidad en el sistema. También hemos mostrado una curva aproximada. El mismo tipo de saturación no linealidad también podemos ver en un amplificador para el cual la salida es proporcional a la entrada sólo para un rango limitado de valores de entrada. Cuando la entrada excede este rango, la salida tiende a convertirse en no lineal. 3.3. Respuesta con elemento no lineal con zona muerta La no linealidad de la zona muerta se muestra en varios dispositivos eléctricos como los motores, Los servomotores DC, actuadores, etc. No linealidad de la zona muerta se refiere a una condición en la que la salida se convierte en cero cuando la entrada cruza cierto valor límite.

Figura 2 No linealidad de la zona muerta

4. PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS 4.1. Respuesta con elemento no lineal de saturación Pasamos a elaborar el diagrama de bloques en el Simulink:

Figura 3 Diagrama de bloques en Simulink en respuesta con el elemento no lineal de saturación

Donde la función de transferencia del motor, más carga y engranajes es:

฀฀ (฀฀ ): Velocidad angular (rad/seg). ฀฀฀฀ (฀฀ ): Voltaje en la armadura.

฀฀(฀฀) 0.2083 = ฀฀฀฀ (฀฀) ฀ ฀ + 1.71

Figura 4 Señales de salida con elemento no lineal de saturación

4.2. Respuesta con elemento no lineal con zona muerta Pasamos a elaborar el diagrama de bloques en el Simulink:

Figura 6 Diagrama de bloques en Simulink en respuesta con el elemento no lineal con zona muerta

Figura 5 Señales de salida con elemento no lineal de zona muerta

5. DISCUSIÓN DE RESULTADOS 5.1. Respuesta con elemento no lineal de saturación •

La señal de entrada del sistema es de tipo escalón de 10 voltios, un limitador de señal de entrada a los valores de saturación con ±5 voltios y función de transferencia.

•

La figura obtenida son las señales de salida obtenidas por el diagrama de bloque una de color de amarilla que es la señal que involucra la señal limitadora que es la saturación que llega a tener el valor de 0.61 voltios y la de color celeste que está sin la señal limitadora llega a tener el valor de 1.22 voltios.

5.2. Respuesta con elemento no lineal con zona muerta

•

La señal de entrada del sistema es de tipo escalón de 10 voltios, un limitador de señal de entrada a los valores de zona muerta con ±2 voltios, función de transferencia y un integrador.

•

La figura obtenida son las señales de salida obtenidas por el diagrama de bloque una de color de amarilla que tendrá cera para entradas dentro de la zona muerta, el offset de señales de entrada ya sea por el valor de inicio o final cuando está fuera de la zona muerta y la de color celeste que no tiene la señal de zona muerta. Ambas señales son oscilantes y sus valores son positivas.

6. CONCLUSIONES •

Con esta experiencia pudimos afirmar lo que la teoría de no linealidad se cumple y además que con ayuda del Simulink pudimos realizar la experiencia.

•

Ambos casos notamos que hacen un cambio temporal en su respuesta de salida teniendo su efecto en la amplitud.

7. REFERENCIAS [1] Introducción a los sistemas de control. Ricardo Hernández Gaviño. 2010 [2] Ingenieria de control moderno. Katsuhiko Ogata.2010 [3] Fundamentos de circuitos eléctricos. CharlesK:Alexander | Matthew N.O. Sadiku. Quinta edición [4] https://www.electronicafacil.top/ingenieria-control/describiendo-la-funcion-analisis-de-sistemasno-lineales/...