Econometría - Nota: 10 PDF

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2 Sea Y el número de «caras» que salen al lanzar dos monedas.a) Obtenga la distribución de probabilidad de Y. 0 cero caras 1 una cara 2 dos caras total Distribución de probabilidad0,25 0,50 0,25 1,Distribución de probabilidad acumulada0,25 0,75 1,b) Obtenga la distribución de probabilidad acumulada ...

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2.1 Sea Y el número de «caras» que salen al lanzar dos monedas.

a) Obtenga la distribución de probabilidad de Y. Distribución de probabilidad Distribución de probabilidad acumulada

0 cero caras 0,25

1 una cara 0,50

2 dos caras 0,25

0,25

0,75

1,00

total 1,00

b) Obtenga la distribución de probabilidad acumulada de Y. c) Obtenga la media y la varianza de Y. E ( Y ) =0 (0,25) + 1(0,50) + 2(0,25) E(Y)= 0+0,50+0,50 E(Y)=1

2 2 2 VAR( Y )= ( 0−1) ( 0,25 ) +( 1−1 ) ( 0,50 ) +( 2−1 ) ( 0,25 ) VAR( Y )=0,25+0+0,25=0,50

2.2 Utilice la distribución de probabilidad proporcionada en la Tabla 2.2 para calcular: D. LARGO(Y=0) D. CORTO(Y=1) TOTAL

LLUVIA(X=0) 0,15 0,15 0,30

SIN LLUVIA(X=1) 0,07 0,63 0,70

TOTAL 0,22 0,78 1,00

a) E(Y) y E(X) E ( Y ) =0 ( 0,22) +1 ( 0,78 )

E ( Y ) =O +0,78=0,78

E ( X )=0 ( 0,30 ) +1 ( 0,70)

E ( X )=0+0,70=0,70

b) VAR(X) y VAR(Y)

VAR( Y )= ( 0−0,78 )2 ( 0,22 ) +( 1− 0,78 )2 ( 0,78 )

VAR( Y )= ( 0,61 ) 0,22+ ( 0.05 ) 78

VAR( Y )=0,13+0,04=0,17 2 2 VAR( X )=( O−0,70 ) ( 0,30) +( 1−0,70 ) ( 0,70)

VAR( X )=( 0,49 ) 0,30+( 0,09 ) 0,70

VAR( X )=0,15+0,06=0,21

c) COV(XY) y CORR (X, Y) COV(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)

COV ( X :; Y )=0 ( 0,15 + 0,15+ 0,077 ) +1(0,63)− ( 0,70) ( 0,78) COV ( X ; Y ) =0+ 0+0+0,63−0,55=0,08 CORR ( X ; Y )=

0,08 0,08 = =2,22 √(0,21 )(0,17) √ 0,036

2.3 Utilizando las variables aleatorias X e Y de la Tabla 2.2, considérense dos nuevas variables aleatorias W=3+6X y V=20-7Y LLUVIA(X=0) D. Largo (Y=0) D. Corto (Y=1) Total

0,15

SIN LLUVIA(X=1) 0,07

0,22

0,15

0,63

0,78

0,30

0,70

1,00

E ( V ) =E ( 20−7 Y ) =20−7 E ( Y )=20−7 ( 0,78) =14,54 E ( W ) =E( 3+ 6 X)=3+ 6 E ( X ) =3+6 ( 0,70 )=7,20 σ W =VAR ( 3+6 x)=6 . σ x =36 X 0.21 =7.56 2

2

2

2 2 2 σ V =VAR ( 20−7 Y )= ( −7) . σ Y =49 X 0.1716= 8.4084

σ WV =COV ( 3+6 X , 20−7 Y ) =6 X (−7 Y ) COV ( X ,Y )=− 42 X 0.084 =−3.528 CORR ( W ,V )=

σ WV −3.528 = =− 0.4425 σ W σ V √ 7.56 X 8.4084

2.4 Supóngase que X es una variable aleatoria de Bernoulli con P(X =1) =p X P(X=1)

0 1-1 →1-1=0

1 P →1

a) Demuestre que E ( x 3 ) = P E ( x 3 )= (0 3∗0,7 ) +( 13∗0,3) 3 E ( x )=0+ 0,3=0,3

b) Demuestre que E ( X K )=p para k>0 E ( x K ) = ( 0 0∗0,7 ) +(10∗0,30)

E ( x K ) =0+0,30=0,30

c) Supóngase que p=0,3. Calcule la media, varianza, asimetría y curtosis de X

TOTAL

x F(X)=P(X=0,3)

E ( x )= (0 −0,7 ) +( 1−0,3 )

0 1-P →10,3=0,7 E ( x )=0,3

1 P →0,3

Var=(0−0,3 )2 0,7 +(1−0,3 )2 0,3

Var=0,063 + 0,147=0,21 desv tipica= √var= √ 0,21=0,46 3 0,7− 0, ¿ (¿¿ 3) ¿ E¿ Asimetría=¿ 3

0,4 ¿ ¿ E¿ Asimetría=¿ Asimetría=

E(0,064) =0,67 0,0096

4

(0,7−0,3 ¿ ) ¿ 4 0,46 ¿ ¿ E¿ Curtosis=¿ 4

0,46 ¿ ¿ ¿ 4 E (0,4 ¿ ) Curtosis= ¿ Curtosis=

E (0,0256) =0.57 0,002

2.6 La tabla siguiente proporciona la distribución de probabilidad conjunta entre situación laboral y titulación universitaria entre los que se encuentran tanto empleados como buscando trabajo (desempleados) dentro de la población en edad de trabajar de EE.UU. en 2008.

Titulados no universitarios (X=0) Titulados universitarios (X=1)

DESEMPLEADOS(Y=0) 0,037 0,009

EMPLEADOS(Y=1) 0,622 0,332

TOTAL 0,659 0,341

TOTAL

0,046

a) Calcule E(Y). E ( Y ) =0 ( 0,046 ) + 1 ( 0,954 )

0,954

1,00

E ( Y )=0+ 0,954=0,954

b) La tasa de desempleo es la proporción de la fuerza laboral que se encuentra desempleada. Demuestre que la tasa de desempleo está dada por 1 - E(Y). D=1−E (Y )=1−0,954=0,046

T . D=

0,046 X 100 1,00

T . D=4,6

c) Calcule E(Y|X=1) y E(Y|X=0). E(Y|X=1) = 0x0,009 + 1x0,332= 0,332 E(Y|X=0) = 0x0,37 + 1x0,622= 0,622

d) Calcule la tasa de desempleo para (i) titulados universitarios y (ii) titulados no universitarios. TITULADOS NO UNIVERSITARIOS T . D=

0,037 X 100 1,00

T . D=3,7

TITULADOS UNIVERSITARIOS 0,009 X 100 T . D= T . D=0,9 1,00 e) Un miembro de esta población seleccionado aleatoriamente dice estar desempleado. ¿Cuál es la probabilidad de que este trabajador sea titulado universitario? ¿Y titulado no universitario? Pr . D .TU =

0,009 =0,026 0,341

Pr . D .TNU =

0,037 =0,056 0,659

f) ¿Son independientes los logros educativos y la situación laboral?

No, por que según el cuadro los titulados universitarios tienen menos probabilidades de estar desempleados que los titulados no universitarios, esto es de 0,009 a 0,37 en la tasa de desempleo

2.9 Sean X e Y variables aleatorias discretas con la distribución conjunta siguiente: a) Calcule la distribución de probabilidad, media, y varianza de Y 1 5 8 total Pr(y|x=1) Pr(y|x=5) Pr(y|x=8)

14 0,02 0,17 0,02 0,21 0,10 0,42 0,05

22 0,05 0,15 0,03 0,23 0,24 0,37 0,08

30 0,10 0,05 0.15 0,30 0,47 0,13 0,38

40 0,03 0,02 0,10 0,15 0,14 0,05 0,26

65 0,01 0,01 0,09 0,11 0,05 0,03 0,23

total 0,21 0,40 0,39 1,00 1,00 1,00 1,00

E ( Y ) =( 14∗0,21)+(22∗0,23)+(30∗0,30)+(40∗0,15 )+( 65∗0,11) E ( Y ) =2,94 + 5,06+9 + 6 + 7,15

E ( Y ) =30,15 E ( X ) = (1∗0,21 ) +( 5∗0,4 )+( 8∗0,39) E ( X ) =0,21+ 2+ 3.12

E ( X ) =5.33 2

65 −30,15 ¿ 0,11 2 40−30.15 ¿ 0,15 +¿ 2 2 22−30,15 ¿ 0,23 +( 30 −30,15 ) 0,30+¿ 2 Var ( Y )=(14−30,15 ) 0.21+ ¿ Var (Y ) =54.77+ 15.17+ 0.007 + 14.55 + 133.6=218.1 5−5.33 ¿ ¿ 8−5.33 ¿ ¿ 2 1−5.33 ¿ 0.21 +¿ Var( X )=¿ Var ( X ) =3.94 +0.44 + 2.78 =7.16

b) Calcule la distribución de probabilidad, media, y varianza de Y dado X=8.

E ( Y ∨X =8 )=14 (0,05 )+22 (0,08 ) +30 (0,38 )+ 40 ( 0,26) +65 (0,23 )

E ( Y ∨X =8 )=0,70+1,76+11,40 +10.40 + 14,95

E ( Y ∨X =8 )=39,21

VAR( Y 2∨ X=8 )=14 2 ( 0,05 )+ 222 ( 0,08 )+30 ( 0,38 ) +402 ( 0,26) +652 ( 0,23) 2 VAR( Y ∨ X=8 )=1778.7

VAR( Y )=1778.7−39,21 =241,65 2

c) Calcule la covarianza y la correlación entre X e Y. 0.02 ¿ (14 ) (0.01 +( 22)(0.05 )+( 30)( 0.10)+(40 )(0.03 )+(65 )(¿ ) ]+5 [ ( 14 )( 0,17 ) +(22 ) ( 0,15 )+ ( 30 ) (0.05 ) + ( 40 )( 0,0 E ( X , Y )=1 ¿ E ( X , Y )=6,23+ 43,15+122,32

E ( X , Y )=171,7

COV ( X ,Y ) =171,7−( 30,15) ( 5.33 )=11.001

CORR ( X ,Y )=

11.001 11.001 11.001 =0,28 = = √ (7,16 )(218,1) √ 1561,6 39.5

Y 2 E(¿ ¿2)=Var (Y ) + μ y =1+ 0=1 ¿...