Egzamin 10 luty 2010, pytania PDF

Preview

Summary

Ewa Girejko...

Description

A Nazwisko i imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egzamin z Analizy Matematycznej Informatyka/Matematyka, studia stacjonarne, 10.02.2010 I. Zadanie 1. Wyznaczyć granicę: lim (n sin n1 ). n→∞

Zadanie 2. Podać pochodną funkcji g(x) = ax , a następnie na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej do funkcji danej wyprowadź wzór na pochodną funkcji: f (x) = logax. ∞ P 1 Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregu: . n2 +2n+3 n=1

Zadanie 4. Funkcję f (x) =

ex +e−x 2

rozwinąć w szereg Maclaurina.

Zadanie 5. Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = ln (x2 − 1). Podać punkty przegięcia jej wykresu. R Zadanie 6. Obliczyć całkę nieoznaczoną: cos4 xdx. Zadanie 7. Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu y = x2 od x1 = 1 do x2 = 2. Zadanie 8. Wyznaczyć współczynniki a0 oraz a3 i b3 szeregu Fouriera funkcji okresowej o okresie 2π, która na przedziale h−π, πi przyjmuje wartości określone wzorem f (x) = x3 . II. a) Podaj nazwę i definicję pojęcia oznaczanego symbolem sup A. b) Sformułuj własność Darboux funkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym. c) Co to jest asymptota ukośna funkcji jednej zmiennej i jak ją wyznaczamy? d) Podaj nierówności zachodzące między średnimi (arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną) n dodatnich liczb rzeczywistych.

B Nazwisko i imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egzamin z Analizy Matematycznej Informatyka/Matematyka, studia stacjonarne, 10.02.2010 1

Zadanie 1. Wyznaczyć granicę: lim (n(a n − 1)). n→∞

Zadanie 2. Podać pochodną funkcji g(x) = sin x, a następnie na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej do funkcji danej wyprowadź wzór na pochodną funkcji: f (x) = arcsin x. ∞ P 1 Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregu: . n2 +n−2 n=2 2

Zadanie 4. Funkcję f (x) = x cos x rozwinąć w szereg Maclaurina. Zadanie 5. Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = xarctg x. Podać punkty przegięcia jej wykresu. R Zadanie 6. Obliczyć całkę nieoznaczoną: sin4 xdx. Zadanie 7. Obliczyć pole figury ograniczonej osią OX, prostymi x = 1, x = 2 i krzywą o równaniu y = ln x. Zadanie 8. Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji okresowej o okresie 2π, która na przedziale h−π, π i przyjmuje wartości określone wzorem f (x) = − 21 x. II. a) Podaj nazwę i definicję pojęcia oznaczanego symbolem inf A. b) Sformułuj twierdzenie Rolle’a. c) Co to jest pochodna funkcji w punkcie? d) Podaj nierówności Jensena dotyczącą funkcji wypukłych.

C Nazwisko i imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egzamin z Analizy Matematycznej Informatyka/Matematyka, studia stacjonarne, 10.02.2010 Zadanie 1. Wyznaczyć granicę: lim (n arcsin n1 ). n→∞

Zadanie 2. Podać pochodną funkcji g(x) = tgx, a następnie na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej do funkcji danej wyprowadź wzór na pochodną funkcji: f (x) = arctg x. P∞ 1 . Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregu: n=1 n2 +4 Zadanie 4. Funkcję f (x) =

ex −e−x 2

rozwinąć w szereg Maclaurina.

Zadanie 5. Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = ln (1 + x2 ).Podać punkty przegięcia jej wykresu. R 1 Zadanie 6. Obliczyć całkę nieoznaczoną: (x2 +1) 2 dx. Zadanie 7. Obliczyć pole figury ograniczonej osią OX, prostymi x = 2, x = 3 i krzywą o równaniu y = x22x−1 . Zadanie 8. Wyznaczyć współczynniki a0 oraz a3 i b3 szeregu Fouriera funkcji okresowej o okresie 2π, która na przedziale h−π, πi przyjmuje wartości określone wzorem f (x) = x2 + x + 1. II. a) Podaj nazwę i definicję pojęcia oznaczanego symbolem lim an . n→∞

b) Sformułuj twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej. c) Co to jest funkcja wypukła? d) Podaj nierówności Bernoulliego.

D Nazwisko i imię: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nr indeksu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Egzamin z Analizy Matematycznej Informatyka/Matematyka, studia stacjonarne, 10.02.2010 Zadanie 1. Wyznaczyć granicę: lim (n loga( 1n + 1)). n→∞

Zadanie 2. Podać pochodną funkcji g(x) = cos x, a następnie na podstawie twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej do funkcji danej wyprowadź wzór na pochodną funkcji: f (x) = arccos x. ∞ P 1 Zadanie 3. Zbadać zbieżność szeregu: . n2 +n+2 n=3 2 x

Zadanie 4. Funkcję f (x) = x e rozwinąć w szereg Maclaurina. Zadanie 5. Określić przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = e3x+sin x . Podać punkty przegięcia jej wykresu. R Zadanie 6. Obliczyć całkę nieoznaczoną: cos14 x dx. Zadanie 7. Obliczyć pole figury ograniczonej osią OX, prostymi x = 1, x = 2 i krzywą o równaniu y = arctg x. Zadanie 8. Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji okresowej o okresie 2π, która na przedziale h−π, π i przyjmuje wartości określone wzorem f (x) = 21 x. II. a) Podaj nazwę i definicję pojęcia oznaczanego symbolem lim f (x). x→a

b) Sformułuj twierdzenie Weierstrassa dotyczące funkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym. c) Jakie funkcje nazywamy całkowalnymi w sensie Riemanna? d) Podaj nierówności Cauchy’ego....