Ejercicio 1 parcial PDF

Preview

Summary

Se inscribe un rectángulo en la elipse x2 /400 + y2 /225 = 1 con sus lados paralelos a los ejes. Hallar las dimensiones de dicho rectángulo para que a) el área sea máxima,x= 10 √ 2 y= 15 √ 2A= 2 ( 20 √ 2 ) 2 (15 √ 22)A= 600 u²b) el perímetro sea máximo.P = 2x + 2y Sustituyen valoresX=Y=P = 2(16) + 2...

Description

8. Se inscribe un rectángulo en la elipse x2 /400 + y2 /225 = 1 con sus lados paralelos a los ejes. Hallar las dimensiones de dicho rectángulo para que a) el área sea máxima, x=1 0 √ 2 y=15 √ 2 A=

2(2 0√ 2 ) 2 (

15 √ 2 ) 2

A= 600 u² b) el perímetro sea máximo. P=2x+2y Sustituyen valores X=16 Y=9 P=2( 16)+2( 9) P=32+18 P=50 u Datos

Para sacar el área del rectángulo tomando en cuenta que es lado por lado la simplificaremos en “x” y “y” como se multiplican ambos lados explicado de la siguiente manera, estos lados se toman porque son el límite con el elipse A=( 2x ) ( 2y) A=4x y( Pr i mer aecuaci ónpar ahal l arelár eadelr ect ángul o)ecuación del área del rectángulo inscrita en un círculo que tiene la ecuación

Des pej ar emosaxdel aec uac i óndel ael i ps e        x² y ² + =1 Ec uac i óndel ael i ps e( E. E.par af ut ur asr ef er enc i as ) 400 225 x² y² =1− 225 400 x² 400 ) y ²=225 ¿ 1−

y ²=225−

225 x ² 400

y ²=225−

9 x² 16

s es i mpl i fi c al af r acc i ón

9 x² 16 9 x2 uaci óndos ) Ec y=√(225− 16 Aes t aec uaci ónl as us t i t ui mosenl adelár ea A=4x y 9 x2 A=(4 x)√ (225− ) 16 y ²=225−

A=(4 )√(225 x−

9 x³ ) 16

ec uac i ón3

Der i v ac onr espect oaxys ei gual ar aac er opar at eners upunt omáx i moopunt o cr i t i c o 3 dy 9000−9 x / 2 = dx √(225 x 2−9 x 4 / 16) 9000−9 x 3 / 2 ¿ 0 2 4 √(225 x −9 x /16) Seder i v aei gual aacer opar a encont r arel ár eamáx i ma

9000−9 x 3 2 9000(2) x ²= 9 x ²=200 ár eamax i ma x=10 √ 2 0=

Es t ev al ors es us t i t uy eenl aE. E. (10 √ 2)² y ² + =1 400 225 200 y ² + =1 400 225 1 y ² =1 + 2 225 Sedes pej ay

1 y ²= /225 2 225 y ²= 2 225 y=√ 2 15 √ 2 y= es t eesl ado“ y”delr ect ángul o! 2 Par aelper í met r os eel abor aot r af or mul a Ahor at r abaj ar emosc onelper í met r oP.Deldi buj osededuc equeelper í met r oes : P=x+x+y+y P=2x+2y sus t i t ui mosenl aec uac i ónant er i oreldespej es egúnec uac i óndos : 2 9x P=4 x+(4)√(225− ) 16

der i v amosPconr es pect oax: (9 x /4) dP =4− dx 9 x2 ) √ (225− 16 Ali gualquel aant er i ori nc i s os ei gual aacer opar aobt enerl ospunt osmáx i moso cr í t i c os (9 x /4) 0 =4 − 9 x2 ) √ (225− 16 −(9 x /4 ) −4= 9 x2 √ (225− ) 16 (9 x /4) 4= 9 x2 ) √ (225− 16 2 9x 9x 4 ( 225− )= 16 4 2 9x 9x (4 ( 225− ))²=( )² 16 4

√ √

2

(16 )(225−

9x 81 x ² )¿ ²= 16 16

2

9x )¿ ² ¿=81 x ² 16 Semul t i pl i c at odopor16par apoderel i mi narl af r ac c i ón 2 9x (16 )(16 )(225− )¿ ² ¿=81 x ²(16) 16 921600−2304 x ²=1296 x ² 921600=1296 x ²+2304 x ² 921600=3600 x ² 921600 =x ² 3600 921600 =x √ 3600 16=x cal c ul amosydel aec uac i óndos: 9 x2 ) y=√(225− 16 Sus t i t ui mos 2 9(16) ) y=√(225− 16 y=√(225−144) y=81 y=9 ( (16 )(16 )(225−...