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Modelo de Stackelberg SUPUESTOS: Dos empresas; empresa líder y empresa seguidora, la primera decisión la toma la empresa líder Misma estructura de costos

Cmg1=Cmg 2=C

Productos homogéneos Las empresas satisfacen toda la demanda del mercado 2 periodos en el primero la empresa líder elige la cantidad (decisión irreversible) en el segundo la empresa seguidora observa la cantidad elegida por la empresa y decide su cantidad Función inversa de la demanda lineal P(Q) = a-bQ, donde Q= q1+q2

JUEGO SECUENCIAL En este tipo de modelo se resuelve primero el problema del segundo periodo y después el del primero Entrando propiamente al modelo P= A−BQ ∨Q=q 1+ q2 q1 → empresalider ∨ q2 → empresa seguidora P= A−B q1−B q2 → Funcióninversa de la demanda Vamos a encontrar el Img para encontrar después la función de mejor respuesta posible a través de una derivada Función de ingreso total IT = PQ −CT IT 2=P q2=( A−B q 1− B q2 )q 2 IT 2 ∂ q2

= A − 2 B q2− B q 1= Img=Cmg=C

A−2 B q2−B q 1=C

Despejando ahora q2 encontramos la función de mejor respuesta posible q 2=

A−C q 1 − → FUNCIÓN DE MEJOR RESPUESTA DE LA EMPRESA2 2B 2

Sustituyendo la q 2 que acabamos de encontrar en la Función inversa de la demanda… P= A−B q1− B P= A−B q1−

q − ) ( A−C 2B 2 1

Bq1

+ ( A−C 2 ) 2

P=

( (

))

P=

2 A− A+C Bq1 − 2 2

P=

A +C B − q1 → Estanueva funcióninversa de lademanda esta en función solamemente deq 1 2 2

Bq A A−C −B q 1+ 1 − 2 2 1

Ahora para la función de ingreso marginal de la empresa 1 derivamos la función de Ingreso Total IT 1 A+ C B A+C −2 q1= = −B q 1=C=Cmg 2 ∂ q1 2 2

Despejando ahora q1

encontramos la producción de la empresa líder

A−C 2 A−C → q1¿ = q1 = B 2B Sustituyendo ahora la cantidad óptima

q1

en la función de mejor respuesta de la empresa 2 encontraremos

A−C ( 2B ) A−C − q= 2

q 2= ¿

q2 =

2B

2

A−C A−C − 2B 4B A−C 4B

Ahora encontraremos la producción óptima total del mercado A−C ¿ ¿ Q =q1 +q2¿ = A−C + 4B 2B ¿

Q=

(

3 A−C 4 B

)

Ahora para obtener el precio óptimo también sustituimos: P= A−B P= A− P=

( 34 A−C B )

3 3 A+ C 4 4

3 A +3 C 1 A+ C → P= 4 4 4

EJERCICIO Cmg = 5 Función inversa de la demanda:

P=9 −2 q1−2q 2

Función de beneficio: π 2=( 9−2 q1−2 q 2 ) q2

Derivando IT 2 =9 −2q 1−4 q2 =Img=C =5 ∂ q2

Despejando q 2 q 2=1−

q1 Funciónde mejor respuesta2 2

Sustituyendo q 2 en la función inversa de la demanda

(

P=9 −2 q1−2 1−

q1 2

)

P=7 −q 1 funcióninversa de la demanda solamente en funcion de q1 Img=7−2 q1=C=5

El 2 en rojito es por el doble de la pendiente 2 q1=2 ¿

q1 =1 Sustituyendo q1

¿

en la función de mejor respuesta 2

q1¿ 1 q =1− =1− 2 2 ¿ 2

¿

q2 =

1 2

Calculando la producción total optima del mercado ¿

¿

¿

Q =q1 +q 2

1 3 Q ¿ =1+ = 2 2 ¿

P =A−B Q

¿

3 P¿ =9−2( ) 2 ¿

P =6 BENEFICIOS: π 1=P q1−C q1=q1 ( P−c )=1(6−5) ¿

π 1 =1 π 2=q 2 ( P−c ) = 1 ( 6− 5) 2 ¿

π2 =

1 2...