Ejercicios 10.4 Libro Leithold Louis El calculo 7ed PDF

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Se muestran los problemas con su solución del capitulo 10.4...

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Ejercicios 10.4 Equipo 2 3 de Octubre del 2020

Calculo Vectorial Dr. Hugo Alfredo Carrillo Serrano Hector Rolando Perez Rodriguez Hugo Alberto Garcia Nu˜nez Ana Cristina Farias Rodriguez Gustavo Angel Gonzalez Lira Hugo Humberto Ortega Pisarro Lina Patricia Carmona Mendez Ana Gabriela Gonzalez Ramos

1

191M0355 181M0286 191M0326 191M0336 181M0306 191M0308 191M0335

1

Problemas 1-6

1.1

En los ejercicios 1 a 6, obtenga una ecuaci´ on del plano que contenga al punto P y tenga como vector N como vector normal

1. P=(3,1,2)

N =< 1, 2, 3 > a1 (x − X0 ) + a2 (y − Y0 ) + a3 (z − Z0 ) = 0 1(x − 3) + 2(y − 1) + (−3)(z − 2) = 0 x − 3 + 2y − 2 − 3z + 6 = 0 x-2y-3z=-1

2. P=(-3,2,5)

N =< 6, −3, −2 > a1 (x − X0 ) + a2 (y − Y0 ) + a3 (z − Z0 ) = 0 6(x − (−3) + (−3)(y − 2) + (−2)(z − 5) = 0 6x + 18 − 3y + 6 − 2z + 10 6x- 3y -2z= -34

3. P=(0,-1,2)

N =< 0, 1, −1 > a1 (x − X0 ) + a2 (y − Y0 ) + a3 (z − Z0 ) = 0 0(x − (0) + 1(y − (−1) + (−1)(z − 2) = 0 y + 1 + (−z) + 2 = 0 y-z=-3

4. P=(-1,8,3)

N =< −7, −1, 1 > a1 (x − X0 ) + a2 (y − Y0 ) + a3 (z − Z0 ) = 0

−7(x − (−1) + (−1) + (−1)(y − 8) + 1(z − 3) = 0 −7x − 7 − y + 8 + z − 3 = 0 -7x-y+z=2 5. P=(2,1,-1)

N =< −i + 3j + 4k > 2

a1 (x − X0 ) + a2 (y − Y0 ) + a3 (z − Z0 ) = 0 −1(x − 2) + 3(y − 1) + 4(z − (−1) = 0 −x + 2 + 3y − 3 + 4z + 4 = 0 -x+3y+4z=-3 6. P=(1,0,0)

N =< i + k > a1 (x − X0 ) + a2 (y − Y0 ) + a3 (z − Z0 ) = 0 1(x − 1) + 0(y − 0) + 1(z − 0) x−1+z x+z=1

3

2

Problemas 7-8

2.1 En los problemas 7 y 8 determine la ecuaci´ on del plano que contiene los 3 puntos. 7. P(3,4,1) Q(1,7,1) R(-1,-2,5) Como primer paso procedemos a obtener un vector tanto P~Q como P~Q mediante una resta en base al punto de origen de nuestros dos vectores que en este caso es P. P~Q = Q(1, 7, 1) − P (3, 4, 1) = (−2, 3, 0) P~R = R(−1, −2, 5) − P (3, 4, 1) = (−4, −6, 4) P~Q = (−2, 3, 0)P R = (−4, −6, 4) Una vez que obtenemos estos dos vectores procederemos a obtener el producto cruz de estos mismos,para asi obtener un vector n el cual en este caso ser´anormal al plano.        i j k 3 0 2 0 −2 3 ~  ~  i− j+ k P Q × P R = −2 3 0 = −6 4 −4 4 −4 6 −4 −6 4 [12-0]i-[-8-8]j+[12-(-12)]k ~n = 12i + 8j + 24k Ubicamos un punto T en el espacio (x,y,z) el cual usaremos de referencia para ir obteniendo nuestra ecuaci´on del plano T = (x, y, z) Como siguiente paso vamos a obtener un vector P~T P~T = T (x, y, z) − P (3, 4, 1) P~T =< x − 3, y − 4, z − 1 > 4

Una vez que ya contamos con nuestro vector, obtenemos es producto punto de P~T · ~n el cual nos dar´a como resultado la ecuaci´on de nuestro plano que contiene 3 puntos. P~T · ~n =< x − 3, y − 4, z − 1 > · < 12, 8, 24 >= 0 (x − 3) · 12 + (y − 4) · 8 + (z − 1) · 24 = 0 12x + 8y + 24z − 92 = 0 3x + 2y + 6z = 23

5

8. P(0,0,2) Q(2,4,1) R(-2,3,3) P~Q = Q(2, 4, 1) − P (0, 0, 2) = (2, 4, −1) P~R = R(−2, 3, 3) − P (0, 0, 2) = (−2, 3, 1) P~Q = (2, 4, −1)P R = (−2, 3, 1)         i j k 4 −1 2 −1 2 4 ~  ~  i− j+ k P Q × P R = 2 4 −1 = 3 1 −2 1 −2 3 −2 3 1 [3-(-3)]i-[2-2]j+[6-(-18)]k ~n = 7i − 0j + 14k T = (x, y, z) ~ P T = T (x, y, z) − P (0, 0, 2) P~T =< x − 0, y − 0, z − 2 >

P~T · ~n =< x − 0, y − 0, z − 2 > · < 7, 0, 14 > (x − 0) · 7 + (y − 0) · 0 + (z − 2) · 14 = 0 7x − 0y + 14z − 28 = 0

6

3

Problemas 9-14

3.1 En los ejercicios 9 a 14, dibuje el plano y obtenga dos vectores unitarios normales al plano 9. 2x-y+2z-6=0 kN k =

p √

(2)2 + (1)2 + (2)2

= 9 =3

U N1 =< 32 , − 13 , 23 >

U N2 =< − 32 , 13 , − 32 >

7

10. 4x-4y+2z-9=0 kN k =

p

√

(4)2 + (−4)2 + (2)2

= 36 =6

U N1 =< 32 , − 23 , 13 >

U N2 =< − 32 , 23 , − 31 >

8

11. 4x+3y=12z=0 kN k =

p √

(4)2 + (3)2 + (−12)2

= 169 = 13

U N1 =<

4 3 , , − 12 13 13 13

4 12 U N2 =< − 13 , − 133 , 13 >

>

9

12. y+2z-4=0 kN k =

=

U N1 =< 0,

√1 , √2 5 5

p √

(0)2 + (1)2 + (2)2

5 U N2 =< 0, − √15 , − √25 >

>

10

13. 3x+2z-6=0 kN k =

=

p √

(3)2 + (0)2 + (2)2

13

3 , 0, − √613 > U N1 =< √13

U N2 =< − √313 , 0,

11

√6 13

>

14. z=5 kN k =

p √

(0)2 + (0)2 + (1)2

= 1 =1

U N1 =< 0, 0, 1 >

U N2 =< 0, 0, −1 >

12

4

Problemas 15-20

4.1 En los ejercicios 15 al 20, obtenga una ecuaci´ on del plano que satisfaga las condiciones indicadas. 15. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos (2, 2, -4) y (7, -1, 3) y contiene el punto (-5, 1, 2). A (2, 2, -4)

B (7,-1, 3)

C (-5, 1, 2)

−→ AB =< 7 − 2, −1 − 2, 3 + 4 > =< 5, −3, 7 > −−→ C0 C =< x + 5, y − 3, z + 7 > −−→ −→ C0 C · AB =< x + 5, y − 3, z + 7 > · < −5, 1, 2 > = 5(x − 5) − 3(y − 1) + 7(z − 2) = 0 = 5x + 25 − 3y + 3 + 7z − 14 = 0 = 5x − 3y + 7z + 14 = 0

16. Paralelo al plano 4x − 2y + z − 1 = 0 y contiene al punto (2, 6 -1). 4x − 2y + z − 1 = 0

~n =< 4, −2, 1 >

a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0 4(x − 2) − 2(y − 6) + 1(z + 1) = 0 4x − 8 − 2y + 12 + z + 1 = 0 4x − 2y + z + 5 = 0

13

17. Perpendicular al plano x + 3y − z − 7 = 0 y contiene a los puntos ( 2, 0, 5) y (0, 2, -1). ~n =< 1, 3, −1 > < a, b, c > · ~n =< a, b, c > · < 1, 3, −1 >= 0 a + 3b − c = 0

(1)

A= (2,0,5) B=(0,2,-1) −−−→ V (AB) =< −2, 2, −6 > −−−→ < a, b, c > · V (AB) =< a, b, c > · < −2, 2, −6 >= 0 −2a + 2b − 6c = 0

Resolvemos las ecuaciones 1 y 2

(a + 3b − c = 0)(−2) (−2a + 2b − 6c = 0)(3) −2a − 6b + 2c = 0 −6a + 6b − 18c = 0 −8a − 16c = 0 16c a= −8 a = −2c

(−2c) + 3b − c = 0 c + 2c b= 3 b=c −2c(x − 2) + c(y − 0) + c(z − 5) = 0 i 1 h − 2cx + 4c + cy + cz − 5c = 0 −c 2x − y − z + 1 = 0 14

(2)

18. Perpendicular a cada uno de los planos x−y+z = 0 y 2x+y−4z−5 = 0 y contiene al punto (4, 0, -2). ~ =< a, b, c > M x−y+z = 0

~ 1 =< 1, −1, 1 > M

vector normal al plano 2x + y − 4z − 5 = 0 ~ 2 =< 2, 1, −4 > M

~ ·M ~ 1 =< a, b, c > · < 1, −1, 1 >= 0 M

= a−b+c = 0

~ ·M ~ 2 =< a, b, c > · < 2, 1, −4 >= 0 M

Se resuelven las ecuaciones en t´erminos de ”a” a−b+c = 0 2a + b − 4c = 0

3a − 3c = 0 3a = 3c 3c a= 3 a=c

2a + b − 4(a) = 0

b − 2a = 0 b = 2a ~ = < a, 2a, a > M

a(x − 4) + 2a(y − 0) + a(z + 2) = 0 i 1h ax − 4a + 2ay + az + 2a = 0 a x − 4 + 2y + z + 2 = 0 x + 2y + z − 2 = 0

19. 15

= 2a + b − 4c = 0

20. Contiene al punto P= (-3,5,-2) y es perpendicular a la representaci´on −−−→ del vector V (OP ) ~n =< −3,5, −2 > Ax + By + Cz + D = 0 −3x + 5y − 2z + D = 0 −3(−3) + 5(5) − 2(−2) + D = 0 9 + 25 + 4 + D = 0 D = −38 (−1) − 3x + 5y − 2z − 38 = 0 3x − 5y + 2z + 38 = 0

16

5

Problemas 21-28

5.1 En los ejercicios 21 a 23 determine el ´ angulo agudo entre los 2 planos 21. 2x − y − 2z − 5 = 0 y 6x − 2y + 3z + 8 = 0 N1 = 2i − j − 2k

N2 = 6i − 2j + 3k

N1 · N2 kN1 kkN2 k < 2, −1, −2 > · < 6, −2, 3 > √ cos θ = √ 4 + 1 + 4 36 + 4 + 9 12 + 2 − 6 cos θ = √ √ 9 49 8 cos θ = 21 8 θ = arccos 21 θ = 67.60◦ cos θ =

El a´ngulo agudo es: 180◦ − θ 180◦ − 67.60◦ = 112.40◦

17

22. 2x − 5y + 3z − 1 = 0 y y − 5z + 3 = 0 N1 = 2i − 5j + 3k

N2 = 0i + j − 5k

N1 · N2 kN1 kkN2 k < 2, −5, 3 > · < 0, 1, −5 > √ √ cos θ = 4 + 25 + 9 1 + 25 −5 − 15 cos θ = √ √ 38 26 −20 cos θ = √ √ 38 26 8 θ = arccos √ √ 38 26 ◦ θ = 129.51 cos θ =

El a´ngulo agudo es: 180◦ − θ 180◦ − 129.51◦ = 50.49◦

18

23. 3x + 4y = 0 y 4x − 7y + 4z − 6 = 0 N1 = 3i + 4j

N2 = 4i − 7j + 4k

N1 · N2 kN1 kkN2 k < 3, 4, 0 > · < 4, −7, 4 > √ cos θ = √ 9 + 16 16 + 49 + 16 12 − 28 cos θ = √ √ 25 81 −16 cos θ = 45 −16 θ = arccos 45 θ = 110.82◦

cos θ =

El a´ngulo agudo es: 180◦ − θ 180◦ − 110.82◦ = 69.18◦ 24. Calcule la distancia del plano 2x + 2y − z − 6 = 0 al punto (2, 2,-4). P = (2, 2, −4) −−−→ V (QP ) = −i + 2j − 4k

Q = (3, 0, 0) ~ = 2i + 2j − 4k N

−−−→ |N · V (QP )| d= kN k |< 2, 2, −1 > · < −1, 2, −4 >| √ d= 4+4+1 |−2 + 4 + 4| 6 √ = d= 3 9 d=2

19

25. Obtenga la distancia del plano 5x + 11y + 2z − 30 = 0 al punto (-2, 6, 3) P = (−2, 6, 3) −−−→ V (QP ) = −8i + 6j + 3k

Q = (6, 0, 0) ~ = 5i + 11j + 2k N

−−−→ |N · V (QP )| d= kN k |< 5, 11, 2 > · < −8, 6, 3 >| √ d= 25 + 121 + 4 |−40 + 66 + 6| √ = d= 150 32 d=√ 150 26. Calcule la distancia perpendicular entre los planos paralelos 4x − 8y − z = −9

y

4x − 8y − z = 6

|d − d′ | kN k 15 |−9 − 6| =√ d= √ 16 + 64 + 1 81 15 d= 9 5 d= 3 d=

20

27. Determine la distancia perpendicular entre los planos paralelos 4y − 3z − 6 = 0

y

y=0 6 z= −3

8y − 6z − 27 = 0

y=0 27 z= −6 9 z=− 2

z = −2

9 Q = (0, 0, − ) 2 −−−→ 5 V (P Q) =< 0, 0, − > 2 ~ =< 0, 4, −3 > N

P = (0, 0, −2)

d= d= d= d=

−−−→ |N · V (P Q)| kN k |< 0, 4, −3 > · < 0, 0, − 52 >| √ 16 + 9 15 15 √2 = 10 25 3 2

21

28. Si a,b,c son diferentes de 0, y son las interceptaciones x,y y z respectivamente de un plano, demuestre que una ecuaci´on del plano es z x y + + =1 c a b Esta es la forma de interceptaci´on de la ecuaci´on de un plano Interceptaciones con los ejes eje(x) P = (a, 0, 0) eje(y) Q = (0, b, 0) eje(z) R = (0, 0, c) Se remplaza x,y y z por los puntos de interceptaci´on P = (a, 0, 0) a 0 0 + + =1 a b c 1+0+0=1 Q = (0, b, 0) 0 b 0 + + =1 a b c 0+1+0=1 R = (0, 0, c) 0 0 c + + =1 a b c 0+0+1=1

22

6

problemas 29-36

6.1 En los ejercicios 29 a 36, obtenga ecuaciones perim´ etricas y sim´ etricas para la recta que satisface las condiciones indicadas. 29. pasa por los dos puntos (1, 2, 1) y (5, -1, 1). (5-1)x + (-1-2)y + (1-1)z x=4 y=-3 z=0 Ecuaciones parametricas x=1+4t y=2-3t z=1 Ecuaciones simetricas -

x−1 y+2 = ;z = 1 4 −3

30. pasa por el punto (5, 3, 2) con los n´ umeros directores [4, 1, -1] P = (5, 3, 2) ~V =< 4, 1, −1 >

Ecuaciones parametricas x = 5 + 4t y = 3+t z = 2−t Ecuaciones sim´etricas x−5 y−3 z−2 = = −1 4 1 23

31. pasa por el origen y es perpendicular a la recta su intersecci´on.

1 x 4

− 10 = 31 y = 21 z en

1 1 1 x − 10 = y = z = t 4 3 2 x = 10 + 4t y = 3t z = 2t P = (4t + 10, 3t, 2t) −−−→ V (OP ) =< 4t + 10, 3t, 2t > ~n =< 4, 3, 2 > −−−→ ~n · V (OP ) = 0 < 4, 3, 2 > · < 4t + 10, 3t, 2t > = 0 16t + 40 + 9t + 4t = 0 t=−

D E ~ = 130, − 120 , − 80 P 29 29 29 Esto es proporcional a: ~ =< 13, −12, −8 > P

Ecuaciones parametricas x = 13 y = −12

z = −8 Ecuaciones sim´etricas y z z = = −8 13 −12

24

40 29

32. pasa por el origen y es perpendicular a las rectas que tienen n´ umeros directores [4, 2, 1] y [-3, -2, 1] ~P =< 4, 2, 1 >

~ =< −3, −2, 1 > Q

~n · P~ = 0 < a, b, c > · < 4, 2, 1 > = 0 4a + 2b + c = 0 ~=0 ~n · Q < a, b, c > · < −3, −2, 1 > = 0

−3a − 2b + c = 0

4a + 2b + c = 0 −3a − 2b + c = 0 a + 2c = 0 a = −2c (3)4a + 2b + c = 0 (4) − 3a − 2b + c = 0

−2b + 7c = 0 2b c= 7

25

7 b= c 2 a = −4 b=7 O = (0, 0, 0)

a = −2c

c=2 c=2

Ecuaciones parametricas x = −4t y = 7t z = 2t

Ecuaciones sim´etricas y z x = = 2 −4 7

26

33. perpendicular a las rectas que tienen n´ umeros directores [-5, 1, 2] y [2, -3, -4] en el punto (-2, 0, 3) ~ =< −5, 1, 2 > P ~n · P~ = 0

~ =< 2, −3, −4 > Q ~ =0 ~n · Q

< a, b, c > · < −5, 1, 2 >= 0

< a, b, c > · < 2, −3, −4 >= 0

−5a + b + 2c = 0 2a − 3b − 4c = 0 b + 2c = 5a 3b + 4c = 2a Despejamos en base a ”a”

(−2)b + 2c = 5a

(−3)b + 2c = 5a

3b + 4c = 2a b = −8a

3b + 4c = 2a − 2c = −13a −13a c= −2 13a c= 2

E D 13 a a, −8a, 2 Le damos el valor de 2 a ”a” para eliminar el denominador y obtenemos un vector proporcional 13 < 2, −8(2), (2) > 2 < 2, −16, 13 > Ecuaciones parametricas x = −2 + 2t y = −16t

z = 3 + 13t Ecuaciones simetricas y z−3 x+2 = = 13 2 −16

27

34. pasa por el punto (-3, 1, -5) y es perpendicular al plano 4x + 2y + z 7=0  A(−3, 1, −5) V dr(4, −2, 1)  x = −3 + 4t y = 1 − 2t  z = −5 + t

x+3 4

=

y−1 −2

=

z+5 1

35. pasa por el punto (4, -5, 20) y es perpendicular al plano x + 3y - 6z 8=0  A(4, −5, 20) V dr(1, 3, −6)   x= 4+t y = −5 + 3t  z = 20 − 6t

x−4 1

=

28

y+5 3

=

z−20 −6

36. pasa por el punto (2, 0, -4) y es paralela a cada uno de los planos 2x + y − z = 0 Y x + 3y + 5 = 0 

       i j k 1 −1 2 −1 2 1 2 1 −1 = ij+ k 3 5 1 5 1 3 1 3 5 [5 + 3]i − [10 + 1]j + [6 − 1]k = 8i − 11j + 5k r = (x, y, z) = t(8, −11, 5) + (2, 0, −4)   x = 2 + 8t y = 0 − 11t  z = −4 + 5t

x−2 8

=

29

y −11

=

z+4 5

7

problemas 37-40

37. Obtenga un conjunto de ecuaciones sim´etricas para la recta  3 4x − 3y + z = 2 − 2x + 5y − 3z = −4 1 (14x 14

− 4y = 2) = x −

−2 −

2y 7

12x −9y +3z = 6 2x +5y −3z = −4 14x −4y 0 =2

=

1 7

→

x−71 2 7

4x − 3y + z = 2 2x + 5y − 3z = −4

− 13y = 10) = z − x− 71 2 7

x− 17 2

=y= =

30

4x − 3y + z = 2 2x + 5y − 3z = −4

=y

4x −3y +z =2 −4x −10y +6z = +8 0 −13y +7z = 10



1 (+7z 7



y 7

=

13y 7

=

z− −10 7 13 7 z− −10 7

13

10 7

→

z− −10 7 13 7

=y

38. Demuestre que las rectas coinciden y+4 z−2 x+1 = = 3 2 −5 y + 14 z − 8 x−3 = = −3 −2 5 Primero despejamos x, y y z en las dos ecuaciones x+1 =t 2 x + 1 = 2t x = −1 + 2t x−3 =s −2 x − 3 = −2s x = 3 − 2s

Ecuaci´on 1 y+4 =t −5 y + 4 = −5t

y = −4 − 5t

Ecuaci´on 2 y + 14 =s 5 y + 14 = 5s y = −14 + 5s

z−2 =t 3 z − 2 = 3t

z = 2 + 3t

z−8 =s −3 z − 8 = −3s z = 8 − 3s

Igualamos las ecuaciones x −1 + 2t = 3 − 2s 2t + 2s = 3 + 1 2t + 2s = 4

x 2t = 4 − 2s 4 − 2s t= 2 t = 2−s

y − 4 − 5t = −14 + 5s − 4 + 14 = 5t + 5s 10 = 5t + 5s

Ahora despejaremos t y 10 − 5s = 5t 10 − 5s =t 5 t =2−s Coincide en donde t=2-s

31

z 2 + 3t = 8 − 3s 3t + 3s = 8 − 2 3t + 3s = 6

z 3t = 6 − 3s 6 − 3s t= 3 t=2=s

39. Demuestre que la recta x − 2y + z = 6. x = 3 + 2t

x−3 2

=

y+2 3

=

z+1 4

y = −2 + 3t

esta contenida en el plano z = −1 + 4t

1(3 + 2t) − 2(−2 + 3t) + 1(−1 + 4t) = 6 3 + 2t + 4 − 6t − 1 + 4t = 6 6=6 La recta esta contenida en el plano

40. Demuestre que la recta x + 1 = 3x+y-z=3

−1y 2

− 6 = z est´a contenida en el plano

x + 1 = t; −1y − 6 = t; z = t 2 x = t − 1; y = 6 − 2t; z = t Sustituimos valores en nuestra ecuaci´ on original. 3(t − 1) + (6 − 2t) − t = 3 3t-3+6-2t-t=3 3=3 Si pertenece al plano indicado

32

8

problemas 41-46

8.1 Los planos que pasan por una recta y son perpendiculares a los planos coordenados se denominan planos de proyecci´ on de la recta. En los ejercicios 41 a 44, determine las ecuaciones de los planos de proyecci´ on de la recta y dibuje la recta. 41. 3x − 2y + 5z − 30 = 0 2x + 3y − 19z − 6 = 0 x=0 13y − 40z + 42 = 0 y=0 13x − 5z − 102 = 0 z=0 8z − y − 66 = 0

33

42. A=x+y-3z+1=0 B=2x-y-3z+14=0 2A-B=3y-3z-12=0;y-z-4=0 A+B=3x-6z+15=0;x-2y+5=0 A-B=-x+2y-13=0

34

43. x − 2y − 3z + 6 x+y+z −1= 0   −x +2y +3z −6 = 0 −1 x − 2y − 3z + 6 = 0 = x+y+z −1= 0 x y z −1 = 0 3y+ 4z − 7 = 0  x −2y −3z +6 = 0 x − 2y − 3z + 6 = 0 = 2 x+y+z −1= 0 2x 0 2z −2 = 0 3x− z + 4 = 0  x −2y −3z +6 = 0 x − 2y − 3z + 6 = 0 = 3 x+y+z −1= 0 3x +3y +3z −3 = 0 4x + y + 3 = 0

35

44. A = 2x − y + z − 7 = 0 B = 4x − y + 3z − 13 = 0 B − 2A = y + z + 1 = 0 B − A = 2x + 2z − 6 = 0 3A − B = 2x − 2y − 8 = 0

x+z −3= 0 x−y−4= 0

36

45. Calcule el coseno del a´ngulo del a´ngulo menor entre el vector cuya representaci´on es paralela a la recta x = 2y + 4; z = −y + 4 y el vector cuya representaci´ on es paralela a la recta x = y + 7; 2z = y + 2 x = 2y + 4;

y = y;

x = y + 7;

y = y;

z = −y + 4 y z =− +1 2 ~ =< 1, 1, 1 > Q 2

~ =< 2, 1, −1 > P

~ P~ · Q kP kkQk < 2, 1, −1 > · < 1, 1, 12 > cos θ = √ q 4 + 1 + 1 1 + 1 + 14 cos θ =

2+1− 1 = √ q 2 6 94 5

= √2 3 6 √ √2 5 6 5 6 = = 3(6) 18

37

46. Obtenga una ecuacion del plano que contiene al punto P=(6, 2 4) y a la recta x−1 = z−3 = y+2 7 6 5 Primero localizamos el vector director y el punto de la recta, para despu´es encontrar un segundo vector director desde el punto del plano al punto de la recta → − n1 =< 5, 6, 7 > Q = (1, −2, 3) −→ P Q =< −5, −4, −1 >        i j k −→  6 −1 5 −4 5 −1 → −  6 7 = n1 × P Q = 5 k j+ i− −5 6 −5 7 −4 7 −5 −4 −1 

= (−6 − (−28))i − (−5 − (−35))j + (−20 − (−30))k ~n = 22i − 30j + 10k =< 22, −30, 10 >

a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0

22(x − 6) − 30(y − 2) + 10(z − 4) = 0 22x − 132 − 30y + 60 + 10z − 40 = 0 22x − 30y + 10z − 112 = 0 11x − 15y + 5z − 56 = 0

38

9

Problemas 47-48

9.1 En el ejercico 47-48 determine una ecuaci´ on del plano que contenga a la recta indicadas que se intersectan. 47. -

x−2 y+3 z +2 = = 4 −1 −3



3x + 2y + z + 2 = 0 x − y + 2z − 1 = 0 x = 4t + 2;

y = −t − 3;

(4t + 2, −5 − 3, 3t − 2) t = 1 → (6, −4, 1)

z = 3t − 2

3x + 2y + z + 2 + k(x − y + 2z − 1) = 0 3(6) + 2(−4) + 1 + 2 + k(6 − (−4) + 2(1) − 1) = 0 18 − 8 + 1 + 2 + 11k = 0 13 + 11k = 0 13 k=− 11

3x + 2y + z + 2 − 3x + 2y + z + 2 −

13 (x − y + 2z − 1) = 0 11

13 26 13 13 =0 x+ y− z + 11 11 11 11

35 15 20 x+ y− =0 11 11 11 i 35 15 35 11 h 20 =0 x+ y− z+ 11 5 11 11 11 4x + 7y − 3z + 7 39

48.

x 2

=

y−2 3

10

=

z−1 1

y

x 1

=

y−2 −1

=

z−1 1

Problemas 49-63

49. Demuestre que las rectas. x+2 5

=

x−3 −5

=

y−1 −2 y+4 2

=z+4 =

z−3 −1

Son paralelas, y obtenga una ecuaci´on del plano determinado por estas rectas.
...