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Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

EJERCICIO 2.1.

Obtener la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques: H3 _ G1

+_

G2

+

+_

G3

G4

H1

H2

H3/G4 _ G1

+_

G2

+

+_

G3

H1

G4

H2 H3/(G4·G1)

_ +

_

G1

G2

+_

+_

G3

H1

G4

H2 H3/(G4·G1)

_ +

G1  G2 1  G 1  G 2  H1

G3 G 4 1  G3  G 4  H 2

G1  G 2 G3 G 4 1  G1  G 2  H1 1  G 3  G 4  H 2 G1  G 2 G3  G 4 H3 1 1  G 1  G 2  H1 1  G 3  G 4  H 2 G 4 G1

G1G 2 G3 G4 1 G1G 2 H1  G 3G 4 H 2  G 2G 3H 3  G1G 2G 3G 4H 1H 2

1

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

EJERCICIO 2.2.

Obtener la función de transferencia global del sistema mediante el movimiento de bloques. c

H2 _ R(s) + +_ a +

G1 b

+ d

G2

C(s)

G3

H1

La señal en el punto d será: d  (a  b)G1  cH 2  aG 1  bG 1  cH 2 Se mueve el bloque restador cuya salida es el punto d hasta situarlo a continuación del punto de suma a: c H2 _ R(s) + +_ a

+ + b

G1

C(s) d

G2

G3

H1

Se analiza ahora de que está formada la señal que llega al punto d: d  (a  cH 2  b)G1  aG 1 bG1  cH 2 G 1

Con respecto al valor inicial de la señal se puede observar que sobra G1 en el último sumando. Para resolver esto se dividirá el bloque H2 entre G1. c

H2/G1 _ R(s) + +_ a

+ + b

G1

H1

2

C(s) d

G2

G3

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

Resolviendo el bucle interno: M 1( s ) 

G 1G 2 1  G1 G 2 H 1

Con lo que el diagrama de bloques ahora será: H2/G1

c

_ R(s) + +_ a

G1 G 2 G 3 1 G1 G 2 H1

C(s)

Resolviendo el lazo interno entre a y c: G1G 2 G 3 1  G1 G 2 H1 G1G 2 G 3 M 2 (s )   G1G 2 G 3 H2 1  G 1G 2 H 1  G 2G 3H 2 1  1  G 1G 2 H 1 G1

R(s) +_

G1 G 2 G 3 1 G 1 G 2 H1  G 2 G 3 H 2

C(s)

Y resolviendo el último lazo: G 1G 2G 3 M 3 (s ) 

R(s)

G1 G2 G3 1  G 1G 2H 1  G 2G 3H 2  G 1G 2 G 3 1  G 1G 2 H 1  G 2G 3H 2  G 1G 2G 3 1 1  G1 G 2 H 1  G 2 G 3 H 2

G 1G 2G 3 1 G1 G2 H1  G2 G3 H2  G1 G2 G3

C(s)

Otra posible forma de resolver sería moviendo la señal de realimentación tomada a la salida del bloque G2 hasta la salida del bloque G3. De esta forma modificando los bloques afectados se tendría:

3

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

H2 _ R(s) +_

+

+

G1

+

G2

G3

C(s)

H1/G3

Resolviendo el bloque más interno: M 1 (s ) 

R(s) +_

+ +

G2 G 3 1  G2 G3 H 2

G 2G 3 1 G 2 G 3 H 2

G1

C(s)

H1/G3

Resolviendo el lazo más interno nuevamente: G 1G 2 G 3 M 2 (s ) 

G 1G 2 G 3 1  G 2G 3H 2  G 1G 2 G 3 H 1  G2 G3 H2  G1 G2 H1 1  1 1  G 2 G 3 H 2 G3

R(s) +_

G1 G 2 G 3 1  G2 G3 H2  G1 G2 H1

C(s)

Y resolviendo el último lazo: G 1G 2 G 3 G 1G 2 G 3 1  G2 G 3 H 2  G1 G 2 H1 M 3 (s )   G1G 2 G 3 1  G 2 G 3 H 2  G1 G 2 H 1  G 1 G 2 G 3 1 1  G2 G 3 H 2  G1 G 2 H1

4

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

EJERCICIO 2.3.

Para el diagrama de bloques de la figura encontrar Geq y Heq de forma analítica y gráfica. R(s) r +_

e

u

1 s  10

K

z

2 s 3

v

1 s

Y(s)

0.1 + w +

+ +

Analíticamente: 1 s1   e  r  z  r  (0.1u  w)  r  (0.1u  v  v )  r   0.1u  v s s     s 1 2 2(s  1)  2(s  1)  K e u   r   0.1    u  r   0.1    r   0.1u   s s 3  s(s  3)  s( s  3)  s  10    2(s 1)  K  e  r   0.1  e  s(s  3)  s  10  0.1K 2 K(s 1)   e 1   r  s  10 s(s  3)(s  10)   1

e 1

0.1K 2K(s  1)  s  10 s(s  3)(s  10) e

r

1 r s(s  3)(s  10)  0. 1Ks(s  3)  2K(s  1) s(s  3)(s  10)

s( s  3)(s 10) r s  (13  0.1K)s2  (30  2.3K)s  2 K 3

Por otro lado, la función de transferencia de lazo directo es directa: y

2K e s( s  3)(s 10)

G (s ) 

y 2K  e s(s  3)(s  10)

5

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

Entonces, la función de transferencia de lazo cerrado es: 2K e Y (s ) s(s  3)(s  10) M (s )   R (s) s 3  (13  0.1K)s 2  (30  2.3K)s  2K e s(s  3)(s  10) M (s ) 

2K s  (13  0.1K)s  (30  2.3K)s  2 K 3

2

Se busca ahora descomponer dicha función de lazo cerrado en las funciones correspondientes a la cadena directa, cuyo valor ya se conoce, y la realimentación. M (s ) 

G (s ) 1  G (s ) H (s )

Para este sistema, sustituyendo el valor de la cadena directa: 2K s(s  3)(s  10) 2K 2K   M (s )  3 2 2K 1 H (s) s(s  3)(s  10)  2K  H (s) s  13s  30s  2K  H (s) s(s  3)(s  10)

Luego igualando los denominadores de las dos expresiones obtenidas para M(s):

s 3  (13  0.1K)s 2  (30  2.3K )s  2 K  s 3  13s 2  30s  2K  H (s)

s 3  13s 2  30s  0.1Ks 2  2.3Ks  2K  s 3  13s 2  30s  2K  H (s) 0.1Ks 2  2.3Ks  2K  2K  H (s) H eq  0.05s 2  1.15s  1

R(s) +_

2K s(s  3)(s  10)

2

0.05s  115 . s 1

6

C(s)

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

Resolviendo ahora de forma gráfica: R(s) r +_

e K

u

1 s  10

z

2 s 3

v

1 s

Y(s)

0.1 + w +

+ +

Pasando el último bloque delante del punto de bifurcación v:

R(s) r +_

e K

u

1 s  10

z

2 s( s  3)

Y(s)

v

s

0.1 + w +

+ +

Agrupando las funciones de transferencia del último sumador:

R(s) r +_

e

u

K s 10

z

2 s(s  3)

v

Y(s)

s+1

0.1 + w +

Moviendo el bloque

R(s) r +_

2 delante del punto de bifurcación u: s(s  3)

e

u

2K s(s  3)(s  10)

v

01 . s(s  3) 2

z

+ w +

7

s+1

Y(s)

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

Agrupando los dos elementos del sumador: R(s) r +_

e

Y(s)

2K s(s  3)(s  10)

z

2 0.05s  115 . s1

EJERCICIO 2.4.

Para el diagrama de bloques mostrado en la figura calcular las funciones de transferencia G(s) y H(s) equivalentes de forma analítica y gráfica. Calcular también la función de transferencia G(s) equivalente para que el sistema tenga realimentación unitaria. R(s) r +_

e

v

10 s 1

z

1 s

Y(s) y

2 + +

Analíticamente: 1 10 1 1 e e  r  z  r  (2 v  y)  r   2 v  v   r   2  v  r  2   s s  1 s s     1 10  e  r   2    e s   s 1     2s 1   10  e 1    r    s   s  1  e

s2 s r s(s  1)  2 r 2 r 20s  10 s  21s  10 s 21 s 10   1 2 s s

La función de transferencia de cadena directa se obtiene de forma directa: G (s ) 

y 10  e s(s  1)

8

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

y

10 e s(s  1)

Y la función de transferencia de lazo cerrado es: 10 e y s(s  1) 10 M (s )   2  2 r s  21s  10 s  21s  10 e s(s  1) Sabiendo que: M (s ) 

G (s ) 1  G (s ) H (s )

10 s(s  1) 10 M (s )   2 10 1  H (s) s  s  10  H (s)  s(s 1) Igualando los denominadores de las dos funciones de transferencia M(s) obtenidas: s 2  21s  10  s 2  s  10  H (s)

20s  10  10  H (s) H(s)  2s  1 R(s) +_

Y(s)

10 s( s  1)

2s+1

Resolviendo el diagrama de bloques de forma gráfica: R(s) r +_

e

v

10 s 1

z

1 s

2 + +

9

Y(s) y

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

Moviendo el último bloque delante del punto v:

R(s) r +_

e

v

10 s(s  1)

z

Y(s) y

2s + +

Uniendo los elementos del sumador:

R(s) +_

10 s(s  1)

Y(s)

2s+1 Si se desea que Heq sea 1: R(s) +_

G’(s)

Y(s)

Como la función de transferencia de lazo cerrado es: M (s ) 

10 s  21s  10 2

Dividiendo el numerador y denominador de M(s) entre s 2  21s se tiene: 10 10 2 G ' (s ) M(s)  2 s  21s  s  21s  10 1  G ' (s ) s  21s 10 1 2  s  21s s2  21s s2  21s 2

R(s) +_

10 s(s  21)

10

Y(s)

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

De forma gráfica partiendo de la función obtenida con Geq y Heq: R(s) +_

Y(s)

10 s(s  1)

2s+1 R(s) +_

Y(s)

10 s(s  1)

2s 1

10 10 s(s  1) s(s  1) 10 10 G ' (s )   2   2 10 s(s  21)  2s s  s  20s s  21s 1 s(s  1) s(s  1) R(s) +_

Y(s)

10 s(s  21)

EJERCICIO 2.5.

Resolver el siguiente diagrama de bloques de forma gráfica y mediante la técnica de los flujogramas. C(s) R(s) G1 G2 + -

G3

+_

G4

+ +

G6

G8

11

G5

G7

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

Resolviendo primero gráficamente: En primer lugar se ha ordenado el diagrama de bloques de la forma típica: R(s) +_

C(s) G3

+_

G5

G8

G1

G2

G4

G7

+ +

G6

Ahora los bloques G5 y G2 se mueven delante del punto de bifurcación: R(s) +_

C(s) G3

+_

G1

G 8G 5 G 2

G7 G5G 2

+ +

G6

Se agrupan los bloques de la realimentación interna:

12

G4

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

C(s)

R(s) +_

G3

G1

G 8 G 5G 2

+_

 G7  G 6   G 4   G 5G 2 

C(s)

R(s)

G3

+_

G1

G8 G5G 2

+_

G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 G5G 2

Agrupando en un único bloque la realimentación interna:

G ' (s ) 

R(s) +_

G 8G 5G 2 G 8 G 5G 2  G (G  G 4 G 5 G 2 1  G 8G 6 (G 7  G 4G 5G 2 ) 1  G8 G5 G2 6 7 G 5G 2

G3

G8 G5 G2 1 G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )

C(s) G1

Agrupando finalmente los elementos restantes: G3

M (s ) 

G8 G5 G 2

G1

G1 G 3 G 8 G 5 G 2

1  G8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 ) 1  G8 G 6 ( G 7  G 4 G 5 G 2 )  G 8 G 5G 2 G1 G 3 G 8 G 5 G 2 1  G3 G1 1  1  G8 G 6 ( G 7  G 4 G 5 G 2 ) 1  G8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )

13

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

M (s ) 

M (s ) 

G1 G3 G8 G5 G 2 1  G 8 G 6 (G 7  G 4 G 5 G 2 )  G 1G 3G 8G 5G 2

G1 G2 G 3 G 5 G 8 1  G6 G7 G8  G2 G4 G5 G6 G8  G1 G2 G 3 G 5 G 8

Aplicando la técnica de los flujogramas: Se construye en primer lugar el flujograma correspondiente al sistema: R

1

G3

G8

G2 G5

G1

1

C

G7 G4

-G6 -1

Se resuelve aplicando la regla de Mason: La relación entre la salida C(s) y la entrada R(s), viene dada por: C(s)  Tk  k  M (s )  k R (s )  siendo:  (Determinante del flujograma.) = 1-i+ij-ijk+… Trayectos directos: "aquellos que partiendo de un nodo fuente llegan a un nodo final sin pasar dos veces por el mismo nodo" i: ganancia de cada lazo. i igual a la suma de ganancias de los bucles que tienen algún nodo común con cualquier trayecto directo. ij igual a la suma de productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos bucles disjuntos. TK es la ganancia del k-ésimo trayecto directo. K se calcula igual que , pero eliminando los bucles que tienen algún nodo común

14

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

con el k-ésimo trayecto directo. Trayectos directos: T1  G 3 G8 G 2 G 5 G 1 Lazos: 1   G 3 G 8 G 2 G 5G 1  2  G 8 G 7 G 6  3   G8 G 2 G 5 G 4 G 6

 i   1   2   3   G3 G8 G2 G5 G1  G8 G7 G6  G8 G2 G5 G4 G6 No existen lazos disjuntos.   1

 i  1  1   2  3  1  G3 G8 G2 G5 G1  G8 G 7 G 6

 G8 G 2 G 5G 4 G 6

1  1 C(s) G 3G 8G 2G 5G 1  Tk  k   M (s )  k R (s ) 1 G3 G8 G2 G5 G1  G8 G7 G6  G8 G2 G5 G 4 G6 

EJERCICIO 2.6.

Calcular la función de transferencia

C(s) del siguiente flujograma: R (s )

-H2 R(s) 1

1

G1

G2

G3

1

C(s)

H1 -1

Trayectos Directos:

P1  G1G 2 G 3

Lazos Independientes:

L1  G1G 2 H1 L2   G 2 G 2 H 2

L3  G1G 2G 3 Determinante:

  1   L a   Lb Lc   Ld Le Lf  ...

15

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

  1  G1 G2 H1  G2 G3 H2  G1G 2G 3  P1  G1G 2 G 3

Cofactor:

1  1

Entonces: 1  Pk  k  k

M (s ) 

M (s ) 

G1G 2 G 3 1 G1 G2 H1  G2 G3 H 2  G1 G 2 G3

EJERCICIO 2.7.

Calcular la función de transferencia

Y (s ) del siguiente flujograma: R (s )

6 R(s) 1

1

-4

1 s+1

1

-3

s s+2

3

-5

Trayectos Directos: P1 

3s (s  1)(s  2)

P2 

4 (s  1)

P3  6 Lazos Independientes: L1 

3 (s  1)

L2 

 5s ( s  2)

Pares de lazos: L1 L 2  Determinante:

15s (s  1)(s  2)

  1   L a   L b Lc   Ld Le Lf  ...

16

1 Y(s)

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

 3 5s  15s     1     (s 1) (s  2)  (s  1)(s  2)

Cofactores: P1 

3s (s  1)(s  2) 1  1

P2   4 (s  1) 5s 2  1  (s  2)

P3  6  3 5s  15s    3  1     (s  1) (s  2)  (s  1)(s  2)

Entonces: M (s ) 

1  Pk  k  k

3s 5s      4    1      1  (s 1)(s  2)  ( s  2)   s  1   M (s )   5s  15s  3 1       (s  1) ( s  2)  (s  1)(s  2) M (s ) 

3 5s 15s   61    (s  1) ( s  2) (s  1)(s  2)   5s  15s  3 1       (s  1) ( s  2)  (s  1)(s  2)

36s2  135s  40 6s 2  26s  8

EJERCICIO 2.8.

Calcular la función de transferencia del siguiente flujograma:

H1 R(s) 1

G1

G2

H2 G3

H3

H4

G4 1 C(s) G8

G5 G6

G7

17

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

Trayectos Directos: P1  G1G 2 G 3 G 4 P2  G 5 G 6 G 7 G 8 Lazos Independientes: L1  G 2 H1

L 2  G 3H2 L3  G 6 H 3 L4  G 7 H 4 Pares de lazos: L1L 4  G 2 H1G 7 H 4 L2 L 3  G 3 H 2 G 6 H 3

Determinante:   1

La  Lb Lc  Ld Le Lf  ...

  1  G2 H1  G3 H2  G 6 H3  G 7 H 4    G2 H1G7 H 4  G3H 2G 6H 3 Cofactores: P1  G1G 2 G 3 G 4  1  1  G 6 H3  G 7 H 4 P2  G 5 G 6 G 7 G 8  2  1  G 2 H1  G3 H 2 Entonces: M (s ) 

M (s ) 

1  Pk  k  k

(G G G G )(1  (G H  G H ))  (G G G G )(1 (G H  G H )) 1 2 3 4 6 3 7 4 5 6 7 8 2 1 3 2 1  (G H  G H  G H  G H )  (G H G H  G H G H ) 2 1 3 2 6 3 7 4 2 1 7 4 3 2 6 3

EJERCICIO 2.9.

Calcular las funciones de transferencia indicadas para el siguiente flujograma:

18

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

-4 R1(s) 1 R2(s) 1

1 C1(s) s 1 s+2 10 s

1 C2(s)

1 s+3 T 11 

T 21 

C 1 (s ) R 1 (s ) C1 (s) R 2 (s )

T 21 

C 2 (s ) R 1 (s )

T22 

C 2 (s ) R 2 (s )

1- T11  C1 (s ) R 1 (s)

-4 R1(s) 1

1 C1(s) s 1 s+2 10 s 1 s+3

 s  1  10  1         s(s  3)  s 2   T11 (s)    4s    40   1      s 2   s(s 3)  T11 (s) 

s3  3s2  10s  20 5s 3  17s 2  46s  80

2- T21  C2 (s ) R1 (s)

-4 R1(s) 1 s 1 s+2 10 s 1 C2(s) 1 s+3  1    1 s(s  3)   T21 (s)    4s    40   1     s  2   s(s  3) 

19

Diagramas de Bloques y Flujogramas.

T21 (s) 

s2 5s  17s 2  46s  80 3

3- T21  C1 (s) R 2 (s)

-4

R2(s) 1

1 s

1 C1(s) s s+2 10 1 s+3

 10    1  (s  3)  T12 (s)    4s    40   1     s  2   s(s  3)  T12 (s)

2 10s  2s 5s 3  17s 2  46s  80

4- T22  C 2 (s) R 2 (s)

-4

R2(s) 1

1 s

s s+2 10 1 C2(s) 1 s+3

 1   40      1  s(s  3)   (s  3)   T22 (s)    4s    40  1       s  2   s(s  3)  T22 (s) 

5s 2  2s 5s 3  17s 2  46s  80

EJERCICIO 2.10.

Calcular las funciones de transferencia del siguiente flujograma:

20

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

R2(s)

R3(s)

1 1 s 6 -2 -4

R1(s) 1 1

1 1 1 Y1(s) s -3

Y2(s) T 11 

T13 

Y 1( s ) R 1 (s ) Y1 (s) ...