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EJERCICIOS INTERCAMBIO Y PRODUCCION En una economía se producen dos bienes, 𝑥 e 𝑦, mediante la utilización de los factores productivos trabajo y capital, 𝐿 y 𝐾, de acuerdo con las siguientes funciones de producción: 𝑥=𝐹(𝐿𝑥,𝐾𝑥)=(𝐿𝑥𝐾𝑥)1/4; 𝑦=𝐹(𝐿𝑦,𝐾𝑦)=(𝐿𝑦𝐾𝑦)1/La dotación total de factores está limitada...

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EJERCICIOS INTERCAMBIO Y PRODUCCION

1. En una economía se producen dos bienes, 𝑥 e 𝑦, mediante la utilización de los factores productivos trabajo y capital, 𝐿 y 𝐾, de acuerdo con las siguientes funciones de producción: 𝑥=𝐹(𝐿𝑥,𝐾𝑥)=(𝐿𝑥𝐾𝑥)1/4; 𝑦=𝐹(𝐿𝑦,𝐾𝑦)=(𝐿𝑦𝐾𝑦)1/2 La dotación total de factores está limitada, disponiéndose de 25 unidades de trabajo y 25 unidades de capital 𝐿=25, 𝐾=25). El único consumidor que opera en esta economía tiene unas preferencias por los bienes 𝑥 e 𝑦 representadas por la función de utilidad 𝑈=𝑥𝑦. Determine: a) La expresión de la curva de contrato en producción y represéntela gráficamente. Resolución Para hallar la curva de contrato en producción, debemos utilizar la expresión matemática que garantiza el equilibrio, es decir, la igualdad de las relaciones marginales de sustitución técnica: Para el bien x: 3

1

1⁄ 𝐿− ⁄4 𝐾 ⁄4 𝑥 𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑥 = 4 1 3 ⁄ − 1⁄ 𝐿 4 𝐾 ⁄4 𝑥 4 𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑥 =

𝐾𝑥 𝐿𝑥

Para el bien y: 1

1

1⁄ 𝐿− ⁄2 𝐾 ⁄2 𝑦 𝑦 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦 = 2 1 1 ⁄ − 1⁄ 𝐿 2 𝐾 ⁄2 𝑦 2 𝑦 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦 =

𝐾𝑦 𝐿𝑦

Igualando las relaciones marginales de sustitución técnica tenemos: 𝐾𝑥 𝐾𝑦 = 𝐿𝑥 𝐿𝑦 Consideremos ahora las dotaciones iniciales de trabajo y capital 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 25

𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 25 Despejando Lx y Ly tenemos: 𝐿𝑥 = 25 − 𝐿𝑦 𝐾𝑥 = 25 − 𝐾𝑦 Reemplazando en la expresión de equilibrio: 25 − 𝐾𝑦 𝐾𝑦 = 25 − 𝐿𝑦 𝐿𝑦 25𝐿𝑦 − 𝐾𝑦 𝐿𝑦 = 25𝐾𝑦 − 𝐾𝑦 𝐿𝑦 𝐿𝑦 = 𝐾𝑦 Que es la expresión de la curva de contrato en producción. De manera equivalente pudieron despejar Ly en función de Lx y Ky en función de Kx. con lo que la curva de contrato en producción sería: 𝐿𝑥 = 𝐾𝑥 b) La expresión de la frontera de posibilidades de producción o curva de transformación. Represéntela y comente la interpretación económica de su pendiente. Resolución Para hallar la expresión de la frontera de posibilidades de producción debemos utilizar 2 piezas de información: las curvas de contrato en producción expresadas en términos del bien x y en términos del bien y, y la dotación inicial de factores de producción (trabajo y capital). Recuerden siempre que la frontera de posibilidades de producción debe expresarse en función de los bienes que la economía produce, no en función de los factores de producción que utiliza. Para el bien x la función de producción está determinada por: 1⁄

1⁄ 4

𝑥 = 𝐿𝑥 4 𝐾𝑥

Reemplazando la expresión de la curva de contrato (Lx=Kx) en la función de producción: 1⁄

1⁄

𝑥 = 𝐿𝑥 4 𝐿𝑥 4

1⁄ 2

𝑥 = 𝐿𝑥

𝐿𝑥 = 𝑥 2 Para el bien y la función de producción está determinada por: 1⁄ 2

1⁄

𝑦 = 𝐿𝑦 2 𝐾𝑦

Reemplazando la expresión de la curva de contrato (Ly=Ky) en la función de producción: 1⁄

1⁄

𝑦 = 𝐿𝑦 2 𝐿𝑦 2 𝑦 = 𝐿𝑦 𝐿𝑦 = 𝑦 Sabemos que la dotación de trabajo es igual a 25, por lo que: 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 25 𝑥 2 + 𝑦 = 25 𝑦 = 25 − 𝑥 2 Que es la expresión que denota la frontera de posibilidades de producción c) La asignación correspondiente al óptimo de Pareto. Resolución Para hallar la asignación Pareto óptima debemos igualar la tasa marginal de sustitución del individuo y la tasa marginal de transformación de la economía. Para el individuo: 𝑇𝑀𝑆 =

𝑦 𝑥

Para la economía: 𝑇𝑀𝑇 =

𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑇𝑀𝑇 = 2𝑥 Igualando en equilibrio: 𝑦 = 2𝑥 𝑥 𝑦 = 2𝑥 2 Reemplazando la condición de equilibrio en la ecuación de la frontera de producción tenemos: 𝑦 = 25 − 𝑥 2 2𝑥 2 = 25 − 𝑥 2 3𝑥 2 = 25 𝑥 2 = 25⁄3 𝑥 = 2,89 𝑦 = 2𝑥 2 𝑦 = 16,67 d) Los niveles de producción y los precios correspondiente al equilibrio general competitivo de esta economía ¿Es el equilibrio competitivo un óptimo de Pareto. Resolución Sabemos que 𝐿𝑥 = 𝑥 2 𝐿𝑦 = 𝑦 Por lo tanto: 𝐿𝑥 = 8,33 𝐿𝑦 = 16,67 Sabemos también 1⁄

1⁄ 4

𝑥 = 𝐿𝑥 4 𝐾𝑥

𝐾𝑥 =

𝑥4 𝐿𝑥 1⁄ 2

1⁄

𝑦 = 𝐿𝑦 2 𝐾𝑦 𝐾𝑦 =

𝑦2 𝐿𝑦

Por lo tanto 𝐾𝑥 = 𝐾𝑦 =

(2,89)4 = 8,33 8,33

(16,67)2 = 16,67 16,67

De la misma manera, sabemos 𝑇𝑀𝑆 =

𝑃𝑥 𝑃𝑦

𝑦 𝑃𝑥 = 𝑥 𝑃𝑦 Haciendo Py=1 (numerario) 16,67 = 𝑃𝑥 2,89 𝑃𝑥 = 5,77 Por último, sabemos que para el caso del bien y (pudo ser x también) 𝑃𝑀𝑔𝐿 =

𝑤 𝑃𝑦

𝑤 = 𝑃𝑦 𝑃𝑀𝑔𝐿 𝑤=

1 𝐾𝑦 1 ⁄ 𝑃( ) 2 2 𝑦 𝐿𝑦

1 16,67 1⁄ 𝑤 = (1)( ) 2 2 8,33 𝑤 = 0,7 𝑃𝑀𝑔𝑘 =

𝑟 𝑃𝑦

𝑟 = 𝑃𝑦 𝑃𝑀𝑔𝑘 𝑟=

𝑟=

𝐿𝑦 1 1 𝑃 ( ) ⁄2 2 𝑦 𝐾𝑦

1 8,33 1⁄ ) 2 (1)( 2 16,67 𝑟 = 0,35

2. Perú cuenta con dos sectores económicos fundamentales: la producción minera (𝒙) y la producción agrícola (𝒚). Ambos sectores utilizan capital físico (𝑲) y mano de obra (𝑳) para producir. Para ambos sectores las existencias de factores productivos son limitadas  = 𝟏𝟎𝟎 y 𝑳 = 𝟖𝟎𝟎). De tal manera que las funciones de producción de ambos (específicamente, 𝑲 tipos de bienes son de la siguiente forma: 𝟏/𝟑 𝟐/𝟑 𝒙 = 𝑲 𝒙 𝑳𝒙 𝟏/𝟑 𝟐/𝟑 𝒚 = 𝑲 𝒚 𝑳𝒚

a. Obtenga el conjunto de asignaciones Pareto-eficientes en términos de los factores de producción (Curva de Contrato en Producción). A partir de ellos, obtenga el conjunto de asignaciones en términos de niveles de producción (FPP) correspondiente. Resolución Para hallar la curva de contrato en producción, debemos utilizar la expresión matemática que garantiza el equilibrio, es decir, la igualdad de las relaciones marginales de sustitución técnica: Para el bien x: 1

2⁄ 𝐿−1⁄4 𝐾 ⁄3 𝑥 𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑥 = 3 2 2 − ⁄ 1⁄ 𝐿 3 𝐾 ⁄3 3 𝑥 𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑥 =

𝐾𝑥 𝐿𝑥

Para el bien y: 1

1

2⁄ 𝐿− ⁄4 𝐾 ⁄3 𝑦 𝑦 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦 = 3 2 −2 ⁄ 1⁄ 𝐿 3 𝐾 ⁄3 3 𝑦 𝑦

𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦 =

𝐾𝑦 𝐿𝑦

Igualando las relaciones marginales de sustitución técnica tenemos: 𝐾𝑥 𝐾𝑦 = 𝐿𝑥 𝐿𝑦 Consideremos ahora las dotaciones iniciales de trabajo y capital 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 800 𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 100 Despejando Lx y Ly tenemos: 𝐿𝑦 = 800 − 𝐿𝑥 𝐾𝑦 = 100 − 𝐾𝑥 Reemplazando en la expresión de equilibrio: 100 − 𝐾𝑥 𝐾𝑥 = 800 − 𝐿𝑥 𝐿𝑥 100𝐿𝑥 − 𝐾𝑥 𝐿𝑥 = 800𝐾𝑥 − 𝐾𝑥 𝐿𝑥 𝐿𝑥 = 8𝐾𝑥 Para hallar la expresión de la frontera de posibilidades de producción debemos utilizar 2 piezas de información: las curvas de contrato en producción expresadas en términos del bien x y en términos del bien y, y la dotación inicial de factores de producción (trabajo y capital). Recuerden siempre que la frontera de posibilidades de producción debe expresarse en función de los bienes que la economía produce, no en función de los factores de producción que utiliza. Para el bien x la función de producción está determinada por: 2⁄

1⁄ 3

𝑥 = 𝐿𝑥 3 𝐾𝑥

Reemplazando la expresión de la curva de contrato (Lx=8Kx) en la función de producción: 2⁄ 2 ⁄3 1⁄3 3𝐾 𝑥 𝐾𝑥

𝑥=8

𝑥 = 4𝐾𝑥 𝐾𝑥 =

𝑥 4

Para el bien y la función de producción está determinada por: 1⁄ 3

2⁄

𝑦 = 𝐿𝑦 3 𝐾𝑦

Reemplazando la expresión de la curva de contrato (Ly=8Ky) en la función de producción: 2⁄ 2 ⁄3 1⁄3 3𝐾 𝑦 𝐾𝑦

𝑦=8

𝑦 = 4𝐾𝑦 𝐾𝑦 =

𝑦 4

Sabemos que la dotación de capital es igual a 100, por lo que: 𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 100 𝑥 𝑦 + = 100 4 4 𝑦 = 400 − 𝑥 Que es la expresión que denota la frontera de posibilidades de producción b. Si es que las preferencias de los consumidores peruanos están descritas por la siguiente función de bienestar: 𝑼𝑷 = 𝒙𝟑 𝒚, Calcule los niveles óptimos de producción peruana, a nivel social, así como los requerimientos de factores de producción y el sistema de precios asociado: 𝑬𝑮𝑪: [𝒙∗; 𝒚∗; 𝑳∗𝒙; 𝑲∗𝒙; 𝑳𝒚∗ ; 𝑲𝒚∗ ; ( 𝑷𝒙∗ ; 𝑷∗𝒚; 𝒘∗; 𝒓∗)] (Ayuda: Recuerde que la optimización privada brinda información suficiente para calcular los precios de los factores). Para hallar la asignación Pareto óptima debemos igualar la tasa marginal de sustitución del individuo y la tasa marginal de transformación de la economía. Para el individuo: 𝑇𝑀𝑆 =

3𝑥 2 𝑦 𝑥3

𝑇𝑀𝑆 =

3𝑦 𝑥

𝑇𝑀𝑇 =

𝜕𝑦 𝜕𝑥

Para la economía:

𝑇𝑀𝑇 = 1 Igualando en equilibrio: 3𝑦 =1 𝑥 𝑥 = 3𝑦 Reemplazando la condición de equilibrio en la ecuación de la frontera de producción tenemos: 𝑦 = 400 − 𝑥 𝑦 = 400 − 3𝑦 𝑦 = 100 𝑥 = 300 Sabemos también que: 𝐾𝑥 =

𝑥 4

𝐾𝑦 =

𝑦 4

Por lo que: 𝐾𝑥 = 75 𝐾𝑦 = 25 Del mismo modo sabemos (curva de contrato): 𝐿𝑥 = 8𝐾𝑥 𝐿𝑦 = 8𝐾𝑦

Por lo que: 𝐿𝑥 = 600 𝐿𝑦 = 200 Para hallar el sistema de precios (bienes y factores de producción) debemos recordar que en el equilibrio el producto marginal de cada factor de producción debe ser equivalente a su precio relativo. Para el caso del factor L y el bien x: 𝑃𝑀𝑔𝐿 =

1⁄ 3

2𝐾

1⁄ 3

3𝐿

=

𝑤 𝑃

1

2 75 ⁄3 𝑤 𝑃𝑀𝑔𝐿 = ( )( )= 1 3 600 ⁄3 𝑃 2 1 𝑤 𝑃𝑀𝑔𝐿 = ( )( ) = 3 2 𝑃 𝑤 1 = 𝑃 3 Para el caso del factor K y el bien x: 2

𝑃𝑀𝑔𝐿 =

1 𝐿 ⁄3 𝑟 = 2 3 𝐾 ⁄3 𝑃 2

1 600 ⁄3 𝑟 𝑃𝑀𝑔𝐿 = ( )( 2 ) = ⁄ 3 75 3 𝑃 1 𝑟 𝑃𝑀𝑔𝐿 = ( )4 = 𝑃 3 𝑟 4 = 𝑃 3 ¿De dónde sacamos información sobre el precio de los bienes? De la maximización de beneficios privados 𝑀𝑎𝑥 𝜋 = 𝑃𝑥 𝑋 − 𝑤𝐿𝑥 − 𝑟𝐾𝑥 Sabemos que: 𝐾𝑥 =

𝑥 4

𝐿𝑥 = 8𝐾𝑥 Por lo que 𝑀𝑎𝑥 𝜋 = 𝑃𝑥 𝑥 − 𝑤2𝑥 − 𝑟

𝑥 4

𝜕𝜋 𝑟 = 𝑃𝑥 − 2𝑤 − = 0 4 𝜕𝑥 𝑃𝑥 = 2𝑤 +

𝑟 4

Para el caso del bien y 𝑃𝑦 = 2𝑤 +

𝑟 4

Por lo tanto 𝑟 𝑃𝑥 2𝑤 + 4 = =1 𝑃𝑦 2𝑤 + 𝑟 4 Asumiendo que Px=Py=1 𝑤 = 1⁄3 𝑟 = 4⁄3 3. En una economía se producen dos bienes, 𝑥 e 𝑦, mediante la utilización de los factores productivos trabajo y capital, 𝐿 y 𝐾 , de acuerdo con las siguientes funciones de producción: 1⁄

3⁄ 4

1⁄

2⁄ 3

𝑥 = 𝐹(𝐿𝑥 , 𝐾𝑥 ) = 𝐿𝑥 4 𝐾𝑥

𝑦 = 𝐺(𝐿𝑦 , 𝐾𝑦 ) = 𝐿𝑦 3 𝐾𝑦

La dotación total de factores está limitada, disponiéndose de 200 unidades de trabajo y 200 unidades de capital 𝐿 = 200, 𝐾 = 200). En esta economía existen dos consumidores A y B, cuyas preferencias por los bienes 𝑥 e 𝑦 pueden ser representadas. Respectivamente, por las siguientes funciones de utilidad: 𝑈𝐴 = 𝑈𝐴 (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) = 𝑥𝐴 + 𝑦𝐴 𝑈𝐵 = 𝑈𝐵 (𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 ) = 𝑥𝐵 𝑦𝐵 Determine y represente gráficamente: a. La curva de contrato en producción y la frontera de posibilidades de producción.

Resolución Para hallar la expresión de la curva de contrato en producción debemos igualar las RMST de ambos bienes. Para el bien x: −3

3

1⁄ 𝐿 ⁄4 𝐾 ⁄4 𝑥 𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑥 = 4 1 −1 ⁄ 4 3⁄ 𝐿 𝐾 ⁄4 4 𝑥 𝑥 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑥 =

𝐾𝑥 3𝐿𝑥

Para el bien y: −2

2

1⁄ 𝐿 ⁄3 𝐾 ⁄3 𝑦 𝑦 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦 = 3 1 −1 ⁄ 2⁄ 𝐿 3 𝐾 ⁄3 3 𝑦 𝑦 𝑅𝑀𝑆𝑇𝑦 =

𝐾𝑦 2𝐿𝑦

Igualando: 𝐾𝑦 𝐾𝑥 = 3𝐿𝑥 2𝐿𝑦 Considerando la información de las dotaciones de factores de la economía: 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 200 𝐿𝑥 = 200 − 𝐿𝑦 𝐾𝑥 + 𝐾𝑦 = 200 𝐾𝑥 = 200 − 𝐾𝑦 Reemplazando en la condición de equilibrio: 2𝐿𝑦 (200 − 𝐾𝑦 ) = 3𝐾𝑦 (200 − 𝐿𝑦 ) 400𝐿𝑦 − 2𝐿𝑦 𝐾𝑦 = 600𝐾𝑦 − 3𝐿𝑦 𝐾𝑦 400𝐿𝑦 = 600𝐾𝑦 − 𝐿𝑦 𝐾𝑦 𝐾𝑦 =

400𝐿𝑦 600 − 𝐿𝑦

Que es la ecuación de la curva de contrato en producción (o alternativamente 𝐾𝑥 =

600𝐿𝑥 400+𝐿𝑥

)

Para hallar la ecuación de la frontera de posibilidades de producción debemos utilizar la información de la función de producción y las dotaciones de factores de la economía. Para el bien x: 1⁄

3⁄ 4

𝑥 = 𝐿𝑥 4 𝐾𝑥 1⁄

𝑥 = 𝐿𝑥 4(

600𝐿𝑥 3⁄ ) 4 400 + 𝐿𝑥

600 3⁄ 𝑥 = 𝐿𝑥 ( ) 4 400 + 𝐿𝑥 𝐿𝑥 = 𝑥(

400 + 𝐿𝑥 3⁄ ) 4 600

Para el bien y: 1⁄

2⁄ 3

𝑦 = 𝐿𝑦 3 𝐾𝑦 1⁄

𝑦 = 𝐿𝑦 3(

400𝐿𝑦 2⁄ ) 3 600 − 𝐿𝑦

400 2 ⁄ ) 3 𝑦 = 𝐿𝑦 ( 600 − 𝐿𝑦 𝐿𝑦 = 𝑦(

600 − 𝐿𝑦 2⁄ ) 3 400

La dotación de factores de la economía 𝐿𝑥 + 𝐿𝑦 = 200 𝑥(

600 − 𝐿𝑦 2⁄ 400 + 𝐿𝑥 3⁄ ) 3 = 200 ) 4 + 𝑦( 400 600

𝑥(

400 + 𝐿𝑥 3⁄ 600 − 𝐿𝑦 2⁄ ) 4 + 𝑦( ) 3 = 200 600 400

𝑥 𝑦 2 3 (600 − 𝐿𝑦 ) ⁄3 = 200 (400 + 𝐿𝑥 ) ⁄4 + 400 121,2 𝑥 𝑦 2 3 (600 − 𝐿𝑦 ) ⁄3 = 200 − (400 + 𝐿𝑥 ) ⁄4 400 121,2

𝑦=

800 − 3,3𝑥(400 + 𝐿𝑥 ) (600 − 𝐿𝑦 )

3⁄ 4

2⁄ 3

Que es la ecuación de la frontera de posibilidades de producción (implícita). b. La curva de contrato en consumo. Resolución Para hallar la curva de contrato en consumo deben igualarse las tasas marginales de sustitución. Para el individuo A: 𝑇𝑀𝑆𝐴 = 1 Para el individuo B: 𝑇𝑀𝑆𝐵 =

𝑦𝐵 𝑥𝐵

Igualando las tasas marginales de sustitución: 𝑥𝐵 = 𝑦𝐵 Que es la ecuación de la curva de contrato. c. Suponga que al consumidor A se le asigna una cuarta parte de la producción total del bien 𝑥 y tres cuartas partes de la producción del bien 𝑦. ¿Es la dotación inicial de bienes eficiente en el sentido de Pareto? Resolución 1 𝑥𝐴 = 𝑥 4 3 𝑥𝐵 = 𝑥 4 3 𝑦𝐴 = 𝑦 4 1 𝑦𝐵 = 𝑦 4 Para analizar si la dotación inicial es eficiente en el sentido de Pareto, debemos verificar que las tasas marginales de sustitución son iguales. 𝑇𝑀𝑆𝐴 = 1

𝑇𝑀𝑆𝐵 =

1⁄ 𝑦 4 3⁄ 𝑥 4

𝑇𝑀𝑆𝐵 =

𝑦 3𝑥

Igualando tenemos: 𝑦 = 3𝑥 Que es la condición para que la dotación inicial sea un óptimo de Pareto. d. Dada la asignación de bienes entre los consumidores, señala cómo obtendría el conjunto relevante de asignaciones eficiente en el sentido de Pareto y el equilibrio general competitivo....