Ejercicios Matrices - Resumen Matemáticas básicas PDF

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1 Álgebra Matricial y Geometría Analítica Matrices 2017-1 1. Dado el sistema matricial



1 donde A =  0 0

2 1 0



3X − Y 2X + 5Y

  −3 2 2  y B = 1 1 −1

= A = B 

2 3 −1 0 , 2 1

a) halle las matrices X e Y , y b) calcule X − Y t . [PC3 2017-0] 2. Dado el sistema matricial   −9 7 3 yB= 2 8 4



X + 3Y 3X + 5Y

= A = B

donde A es de orden 2 × 3 A = (aij ) : aij = 2i − ij

a) Halle las matrices X e Y . b) Calcule X − 3C, si se sabe que C es la matriz opuesta de Y . [PC3 2016-1] 3. Sean A y X dos matrices tales que  1 a − b −1 A= 2 3 b  b−c a−c 4 

es una matriz simétrica y

1 t (X − 2A) = At − 2A. 3

Halle la matriz X . [PC4 2015-2] 4. Sea A = (aij ) una matriz de orden 4 × 4 tal que aij = 3i − j tipo de matriz es. [PC4 2015-0]    −2 4 2 2 −1 1 1 yB = 2 1 5. Dadas las matrices A =  2 −1 −2 3 2 −2 

3X − Y X + 2Y

yB=

A + At . Halle B e indique qué 2

 1 0  , resuelva el sistema 1

= A = 2B

7 X − 14Y . 2 [PC3 2014-1] y calcule

6.



−2 4 a) Dadas las matrices A =  4 2 3 2

  2 3 −2  y B =  4 4 3 

3X − 4Y 2X + 3Y

= A = 2B

−2 2 −3

 2 1 , resuelva el sistema 2

2 b) Si A ∈ Rn×n demuestre que B =

1 (A + At ) es una matriz simétrica. 4

[PC3 2014-0] 

−1 0 7. Dadas las matrices A =  3 1 2 1

[PC4 2013-1]  3 1 8. Si A =  0 3 0 0 [PC3 2017-0]

  1 2 −1 −1  y B =  0 1 0 2 −2  2X − 3Y = A 3X + 4Y = B

 1 3 , resuelva el sistema 1

 0 1 , halle todas las matrices B tales que AB = BA. 3

9. Dadas las matrices

A=



−3 2 0 4



   11 8 5 0 0 3  −1 4   , B =  0 4 0 11  , C =   0 3  −2 0 1 0 2 0 

y D=



3 −1 2 0 1 3

5 −10



Determine cuáles de los siguientes productos están definidos y calcúlelos. En el caso que no esté definido justifique su respuesta. a) CA b) A(CD) c) (DC)A d) C t B t [PC3 2016-1] 10. Calcule det(A) si 

  A=  

[PC3 2017-0] 11.

5 1 0 0 0

6 5 1 0 0

0 6 5 1 0

0 0 6 5 1

0 0 0 6 5

     

a) Analice la verdad o falsedad de la siguiente proposición: Para cualesquiera A y B matrices cuadradas de orden 2 × 2, se cumple

  a  b) Si  d  g

[PC3 2016-1]

b e h

det(A + B) = det(A) + det(B )     2a 2d 2g  c    f  = 25, calcule  3c 3f 3i   b i  e h 

12. Dada la matriz A de orden 4 × 4: 

1  2 A=  3 −2 Si det(A) = 124, halle el valor de a. [PC4 2016-1]

2 a+2 4 a+2 −2 a + 2 3 a+2

 −2 3   4  2

3 13. Halle el valor del determinante de la matriz  2  0  A=  1  1 1

2 0 1 1 2

2 0 1 1 3

−1 1 1 1 4

−1 1 1 2 4

     

[PC4 2016-0] 14. Dadas las matrices 

  A=  

1 1 1 2 0

2 −2 0 0 0

2 −8 −2 5 1

 2 2 0 −1   0 −2   1 2  −1 1



2  7  B= 8 8

0 3 9 9

0 0 2 4

 0 0   0  6

a) Halle el determinante de las matrices A y B . b) Halle C = det(At )B −1 . [EE 2015-0] 15. Dada la matriz

 2 1 0 A =  −1 0 1  . 1 3 1 

a) Halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0. b) Para cada valor de λ hallado en la parte a), halle el vector columna X3×1 no nulo tal que AX = λX. [PC4 2017-0] 16. Dada la matriz A =



2 1 0 3



.

a) Halle el mayor número real λ tal que det(At − λI ) = 0. b) Halle una matriz B de orden 2 × 1 tal que At B = λB , donde λ es el número hallado en la parte a). [PC4 2015-2] 17. Dada la matriz

 −3 −1 −1 1 −1  , A= 1 1 −1 1 

a) halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI3 ) = 0, y b) para cada valor de λ encontrado en la parte a), halle un vector columna V ∈ R3×1 no nulo tal que AV = λV . [E2 2014-1] 18.

a) Si A es una matriz cuadrada de orden 4 tal que A4 = Θ, demuestre que (I − 2A)−1 = I + 2A + 4A2 + 8A3 . b) Usando la parte a), calcule la inversa de I − 2A  0 1  0 0  A= 0 0 0 0 [E2 2017-0]

si 2 1 0 0

 3 2  . 1  0

4 19. Dada la matriz

 5 3 4 A =  2 −4 −5  , −1 3 4 

a) halle el valor de p ∈ N si | adj(A)| = |A|p , y b) calcule la matriz inversa de A. [PC3 2017-0] 20. Si A es una matriz 4 × 4 tal que 

3  4 adj(A) =   3 4

1 0 0 −1

 1 1 2 −1   1 0  0 2

y det(A) = 4, halle la matriz A. [EE 2016-1] 21. Dada la matriz A de orden 3 × 3:



 5 3 4  1 −4 −5  −1 3 4

a) Si | adj(A)| = |A|k , halle el valor de k . b) Calcule A−1 , usando adj(A). [PC4 2016-1] 22. Dadas las matrices A =



2 3 −1 1



yB=



−1 2

2 −1

 , resuelva el sistema

   1 1   AX + 3Y =   0 1 

    1 −1    2X − BY = 1 1

[PC4 2016-0]

23. Sea A una matriz cuadrada n × n, si A2 = Θ demuestre que (I − A)−1 = I + A. [E2 2015-1] 24.

a) Si A =



1 1 0 1

X sabiendo que

  ,B=

    1 1 0 1 2 3 2 3  yD= 0 1 1 ,C= 0 1 −3 0 0 −1 −1 1

4 −1

 , halle

AXB + C = D. 

1  1 b) Calcule det   1 1

[E2 2016-0]



a d a+b+c b c a+b+d   c b a+c+d  d a b+c+d 

1 −2 2 1 (A + X)(A − X) = A2 − 2B − X 2 . [PC4 2016-0]

25. Dadas las matrices A =



y B =



0 1 1 0

 , encuentre una matriz X 6= Θ tal que

5 26. Si A es una matriz cuadrada de orden n, demuestre que (A−1 )T = (AT )−1 . [PC4 2016-0] 27. Dada A, se dice que A es ortogonal si A−1 = At . Demuestre que A =  la matriz cuadrada  2 1 2 1  −2 2 1  es ortogonal. 3 1 2 −2 [E2 2015-2] 28. Considerar las siguientes matrices:      3 1 0 −1 A =  5  , B =  −2 4  , C =  2 1 1 1 0

 2 3  1 1 ,D = 2 −2 5

0

1



.

De la siguiente lista de operaciones, resuelva aquellas que estén definidas y para aquellas que no lo estén, brinde una justificación. a) B t C t b) C t B t c) AD − C d) det(D) [PC4 2015-2] 29. Si α es un número real, calcule det(A) si  α+1 α+2  α+2 α+1  A=  α+3 α+2  α+4 α+3 α+5 α+4

α+3 α+2 α+1 α+2 α+3

α+4 α+3 α+2 α+1 α+2

α+5 α+4 α+3 α+2 α+1



  .  

[E2 2014-2] 30.

a) Si 

1 a+b A= 2 5 b c

 0 a  3

es una matriz simétrica, halle A2 . b) Resuelva la ecuación matricial X t B = X t , donde   −3 4 2 B= 0 1 0  −4 4 3 [PC4 2014-2]  1 31. Sean A =  2 3 det(A) = −1. [PC4 2015-2]

2 x x+1

   3 4 0 donde x ∈ R. Calcule det(xI − B) si se sabe que x+1  y B = x2 3 2x

6 32. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n × n. a) Si A satisface la siguiente igualdad (I −A)(I +A) = 0, donde I representa a la matriz identidad y 0 la matriz nula, demuestre que A−1 = A. b) Si B = −B t y n es impar, demuestre que det(B) = 0. [E2 2016-1] 33. Se denomina matriz ortogonal a aquella matriz cuadrada A tal que A.At = I, donde I es la matriz identidad.   sen x − cos x a) Determine si la matriz A = es una matriz ortogonal. cos x sen x b) Si A es una matriz simétrica de orden 2 × 2, cuyos elementos en la diagonal principal son números opuestos, halle una relación entre los elementos de la matriz A para que sea una matriz ortogonal. [PC3 2016-1]  −1 0 . 1



2 0 34. Halle la matriz X si XA = At + 2X donde A =  0 1 −1 0 [PC4 2016-0] 35. Dadas las matrices 

2 A= 7 1

5 2 1

 −4 −1  2



 −7 −1 −1 −1  1 −1

−1 B =  −5 4



2 C = 0 3

Si AX = C − B t X, halle X y X −1 . [E2 2015-2] 36. Halle el determinante de la matriz 

  A=  

0 −1 2 3 −1 −1 2 1 1 1 3 2 1 0 3 −1 2 1 0 2

−1 1 1 4 −2



  .  

[E2 2015-2] 37. Calcule det(A) si 

  A=  

[EE 2015-1] 38. Halle la matriz inversa de

2 1 2 3 4



0  1  A = 2 3

[E2 2015-1] 39. Dadas las matrices

1 2 3 4 5

 1 −2 0 A =  −2 −2 −1  3 0 2 

tales que X − (AB)t = −2B + At .

3 2 1 2 3

1 1 2 3

4 3 2 1 2

2 2 2 3

5 4 3 2 1

     

 3 3  . 3  3



1 y B=1 1

0 4 0

 1 −3  1

4 1 5

 3 −1  . 7

7 a) Halle X . b) Halle det(X). [PC4 2015-1] 40. Dadas las matrices

 −11 3 0 2 x x  A= 0 x 1 



y B=

x−4 y 0 0



donde x, y ∈ R. Si I2 representa a la matriz identidad de orden 2 y det(A) = det(B + I2 ), halle x. [PC4 2015-1] 41. Dada la matriz 

1 A = 0 1

0 −1 0

 1 0 , −1

a) halle la matriz B tal que AB = 2At + B, y b) halle At B t . [E2 2015-0] 42. Resuelva el sistema      0 1 1 2   X + Y   1 0 0 1      2 4   Y 3X −  0 2

[PC4 2015-0]

=



0 12 1 4

=



3 −22 0 −5

43. Sea A = (aij ) una matriz de orden 4 × 4 tal que aij = 3i − j y B = [PC4 2015-0] 44.

 

A + At . Halle det(A). 2

a) Dada la matriz 

1  1 A=  0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

 0 0  , 0  1

muestre que A es una matriz no singular. b) Usando la adjunta, calcule la matriz inversa de A. [PC4 2015-0] 45. Dada la matriz



−3 0 A= 4 1 2 0

 −4 4  3

a) Halle el valor de λ > 0 tal que det(A − λI) = 0. b) Para el valor hallado en la parte a), resuelva la ecuación matricial (A − λI )X = Θ. [PC4 2015-0] 46. Dada la matriz A = [PC3 2015-0]



1 2 3 1

 , encuentre todas las matrices B tales que (A+B)(A−B) = A2 −B 2 .

8 47.

a) Calcule det(A) si m ≥ 5 y 

m

  m+1   0    m+2  A=  0   m+3    0  m+4  0

b) Dada la matriz A =



3 4 5 2



m

m

m

1

2

3

m   4

3

2

1

0

 m+1 m+1 m+1 m+1    4 3 2 1   m+2 m+2 m+2 m+2   .  4 3 2 1  m+3 m+3 m+3 m+3     4 3 2 1  m+4 m+4 m+4 m+4  4

,

i. Halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0, y ii. Para cada valor de λ encontrado halle un vector columna V ∈ R2×1 no nulo tal que AV = λV . [EE 2014-2] 48. Resuelva el sistema

[PC4 2014-2] 49.

     −1 3 1 2   X+ Y   3 4 −2 1        1 0 3 −4   X− Y  0 1 2 9

=



3 5 5 9

=



0 −2 6 4

 

a) Dada la matriz 

1  0 A=  0 0

demuestre que A es una matriz no singular.

 3 −5 7 1 2 −3  , 0 1 2  0 0 1

b) Usando la adjunta, calcule la matriz inversa de A. [PC4 2014-2] 50. Halle la matriz X de la ecuación adj(A)XA = adj(adj(A)), si se sabe que adj(adj(A)) = |A|n−2 A cuando A es  1 1  1 2  A=  1 1  1 1 1 1

una matriz cuadrada de orden n y  1 1 1 1 1 1   3 1 1   1 4 1  1 1 5

[PC4 2014-2] 51.

a) Calcule det(A) si 

  A=  

−1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 1 1 −1 2 3 4 5

2 3 4 5 0



  .  

9 b) Resolver la ecuación matricial XA = At + X donde   1 0 1 0 . A =  0 −1 1 0 −1 [EE 2014-1] 52.

a) Calcule det(A) si 

−1  1  A= 1 2

 1 2 1 3  . −1 4  4 0

1 −1 1 3

b) Si A, B ∈ Rn×n son tales que In − AB es no singular, demuestre que (In − BA)−1 = In + B(In − AB )−1 A. [E2 2014-1] 53. Dada la matriz



3 A= 2 1

 1 2 , 3

1 4 1

a) halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0, y b) para cada valor de λ halle en la parte a), halle el vector columna X ∈ R3×1 no nulo tal que AX = λX. [PC4 2014-1] 54. Calcule el determinante de la matriz 

   A=   

0 1 2 3 4 5

1 0 1 2 3 4

2 1 0 1 2 3

3 2 1 0 1 2



4 3 2 1 0 1

5 4 3 2 1 0

n−1 X

Aj

   .   

[PC3 2014-1] 55.

a) Si A ∈ Rn×n es tal que An = Θ, demuestre que (In − A)−1 =

j=0



b) Calcule det 

[PC3 2014-1]

n−1 X j=0



Aj  si det(In − A) = 4.

56. Dada la matriz



1  0 A=  0 0

a) demuestre que A es una matriz no singular. b) Calcule la matriz inversa de A.

1 1 0 0

0 1 1 0

 0 0  , 1  1

10 [PC3 2014-1] 57.

a) Calcule el determinante de la matriz 

1 2 3 4 5 6

   A=    

2 2 b) Sean A =  1 −1 −1 2 matrices X, Y ∈ R3×3

2 1 2 3 4 5

3 2 1 2 3 4

4 3 2 1 2 3

5 4 3 2 1 2

6 5 4 3 2 1

       

   3 1 −1 3 0 , B =  4 3 2  e I ∈ R3×3 la matriz identidad. Calcule las 1 1 −2 5 tales que |A|I(adj(A))−1 X = B y |A|−1 3 adj(A)Y = 3X.

[E2 2014-0] 58. Dada la matriz

 3 1 0  −4 −1 0  4 −8 −2 

Halle los valores λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0, y para cada valor de λ encontrado, halle el vector columna V ∈ R3×1 no nulo tal que AV = λV . [E2 2014-0]     1 3 1 −3 y I ∈ R2×2 la matriz identidad. Calcule las matrices , B = 59. Sean A = 2 6 −3 3 X, Y ∈ R2×2 tales que a) |A|I(adj(A))−1 X = B. b) |A|−1 (adj(A))Y = 2X. [PC4 2014-0] 60. Dada la matriz

 5 0 2 0 , A= 0 3 −4 0 −1 

a) Halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0. b) Para cada valor de λ hallado en la parte a), halle el vector columna X ∈ R3×1 no nulo tal que AX = λX. [PC4 2014-0] 61.

a) Dada la matriz 

1 A=1 4

 −1 1 . 5

2 0 −4

Halle los valores λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0. b) Calcule el determinante de la matriz     A=   

[PC3 2014-0]

1 1 1 1 1 1

1 3 3 3 3 3

1 3 5 5 5 5

1 3 5 7 7 7

1 3 5 7 9 9

1 3 5 7 9 11



   .   

11 62. Sea A ∈ Rn×n tal que An = Θ. a) Calcule (In − A)

n−1 X

Aj .

j=0

b) Si det(In − A) = 2, calcule el determinante de

n−1 X

Aj .

j=0

[PC3 2014-0] 63. Calcule el determinante de la matriz 

   A=    

1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2

1 2 4 4 4 4

1 2 4 6 6 6

1 2 4 6 8 8



1 2 4 6 8 10

   .   

[EE 2013-2] 64. Dada la matriz



1 −1 2 A =  −1 0 −1

 0 −1  . 1

a) Halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0. b) Para cada valor λ hallado en la parte a), halle el vector columna X ∈ R3×1 no nulo tal que AX = λX. [EE 2013-2] 65.

a) Si A ∈ Rn×n es tal que An = Θ demuestre que I − A es no singular y (I − A)−1 = I +

n−1 X

Ak

k=1

b) Dada la matriz 

0  0 A=  0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

 0 0  , 1  0

compruebe que A4 = Θ y calcule la matriz inversa de I − A. [E2 2013-2] 66. Calcule el determinante de la matriz 

  A=  

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2 2 4 2

2 2 2 2 5

     

[E2 2013-2] 67. Dada la matriz

 5 6 −3 1 . A =  −1 0 −1 2 −1 

12 a) Halle los números λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0. b) Para cada valor de λ hallado en la parte a), halle el vector columna X ∈ R3×1 no nulos tal que AX = λX . [E2 2013-2] 68. Sea



−1 −2 2 A= 1 0 −1

 −2 1 . 1

a) Compruebe que A3 = I, donde I es la matriz identidad. b) Resuelva la ecuación AX + I = A2 . [PC4 2013-2] 69. Calcule el siguiente determinante 

  det   

−1 1 −2 1 −1 −1 2 1 0 5 −3 0 3 2 0

 −5 −3 3 −2   0 0   0 0  0 0

[PC4 2013-2] 70.

a) Calcule el determinante de la matriz     A=   

1 1 1 1 1 1

1 3 3 3 3 3

1 3 5 5 5 5

1 3 5 7 7 7

1 3 5 7 9 9

1 3 5 7 9 11



   .   

b) Dada la matriz A=



2 2 1 3



Halle los valores λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0, y para cada valor de λ encontrado, halle el vector columna V ∈ R2×1 no nulo tal que AV = λV . [EE 2013-1] 

   1 −3 2 1 3 6 3 −1 , B =  2 6 11  e I3 ∈ R3×3 la matriz identidad. En cada uno 71. Sea A =  −3 2 −1 0 3 8 14 de los siguientes casos calcule la matriz X ∈ R3×3 . a) AX + B = I3 b) |A|I3 (adj(A))−1 X = B [E2 2013-1] 72. Calcule el determinante de la matriz  −1 −9 −2 3  −5 1 3 −2   A=   −12 −6 1 1  9 0 −2 1 

[E2 2013-1]

13 73. Calcule el siguiente determinante 

  det   

−1 3 2 5 3

2 3 4 6 1 0 −1 7 0 −3 1 2 −2 0 0

5 −3 3 4 1

     

[PC4 2013-1] 74. Dada la matriz



1 A= 1 0

2 0 1

 3 1 . 3

a) Demuestre que A es una matriz no singular. b) Calcule la matriz inversa de A. [PC4 2013-1] 75. Dada la matriz



1 A 1 4

 −1 1 . 5

2 0 −4

a) Halle los valores λ ∈ R tales que det(A − λI) = 0. b) Para cada valor de λ hallado en la parte a), halle el vector columna V ∈ R3×1 no nulo tal que AV = λV . [PC4 2013-1] 

   1 1 1 −1 1 1 76. Sean A =  2 2 3 , B =  1 1 −2  y I3 ∈ R3×3 la matriz identidad. En cada uno −2 4 5 −3 3 4 de los siguientes casos calcule la matriz X ∈ R3×3 tal que: a) AX + B = I3 . b) XB −1 + (BA−1 )−1 det(A(AB )−1 B) = I3 . [E2 2013-0] 77. Calcule el determinante de

3 −2 2 4

 −2 4 1 2   3 4  0 5

−2 −1 1 −4 −2

3 1 2 −3 2

−2 3 1 −2 2



3 4 3



2  3 A=   3 −2

[E2 2013-0] 78. Calcule el siguiente determinante 

  det   

1 2 1 1 3

−2 2 1 −5 −2

[PC4 2013-0] 79. Da...