Ejercicios para profundizar Bode y repasar antes de los examenes PDF

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Examen extraordinario (julio). Curso 13-Cuestión 1 (1 puntos. Apartado a) 0, apartado b) 0, apartado c) 0 ) Se dispone de un sistema como se muestra en la figura.Para R(s)=1 se ha obtenido el diagrama de Bode de la FT en Lazo Abierto que se muestraSe pide: a) A cuál de las siguientes FT corresponde ...

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Examen extraordinario (julio). Curso 13-14 Cuestión 1 (1.2 puntos. Apartado a) 0.4p, apartado b) 0.2p, apartado c) 0.6p ) Se dispone de un sistema como se muestra en la figura. Para R(s)=1 se ha obtenido el diagrama de Bode de la FT en Lazo Abierto que se muestra

Bode Diagram

20

Magnitude (dB)

10 0 -10 -20 -30 -40

Phase (deg)

-50 0

-45

-90 -2 10

-1

10

0

10

10

1

2

10

10

3

Frequency (rad/s)

Se pide: a) A cuál de las siguientes FT corresponde el diagrama (justificar la respuesta)

s  5 s 2  11s  10

G( s) 

G( s) 

10s s 2  11s  10

G( s) 

6s  5 s 2  11s  10

G( s) 

6s  1 s2  11s  10

(a) (b) (c) (d) b) Para la FT elegida en el apartado anterior, y usando el diagrama de Bode, decir cuáles son los Márgenes de Fase y de Ganancia. c) Para la FT elegida en el apartado 1 y si R(s)=K, elegir un valor de K que garantice un margen de fase de al menos 140º (emplear el bode de la figura como ayuda).

 



Solución: (Lo que se indica con Matlab es de cara a comprobaciones numéricas “nuestras”) 1. La (b) no puede ser, pues la fase empieza en 0º (empezaría en 90º) Para las otras, factorizamos las FT para ver los polos/ceros

G( s) 

s  5

G (s ) 

2

s  11s  10

6 s  5 s  11s  10

G( s) 

2

(a)

(c)

s  5 G( s )  s 10s 1

6 s  5  G (s )   s  10 s  1

6s  1 s  11s  10 2

(d)

G( s) 

6s 1 s  10 s  1 

La (d) tampoco puede ser (se cancela polo y cero) pues debería alcanzar 0º a altas frecuencias. Entre (a) y (c), al normalizarlas (a)









(c)









5 s 5 1 0.5 s 5  1 6  5 s 5 1 3 s 5 1   G(s)  G (s )  10 s10  1 s  1 s 10 1 s 1  10 s10  1 s  1 s10  1 s 1

















La FT (a) tiene a bajas frecuencias una ganancia menor que 1 (menor de 0 dB), mientras que el Bode presenta una ganancia mayor de 0 dB (aprox 10 dB). Luego la FT es la (c) (20log(3)=9.5) Otra forma. A bajas frecuencias, como no hay términos 5 𝐺󰇛0󰇜  10 (a)

6󰇛5󰇜 𝐺󰇛0󰇜  10 (c)

 

ni s se puede ver como 𝐺󰇛0󰇜 

6 10

(d)

Tanto (a) como (d) tienen ganancia menor que 1 a bajas frecuencias, menor que 0 al trabajar con dB. En ω que 0, luego es el (c) 2. Sobre el Bode, los márgenes de fase y de ganancia son: MG=∞ pues no hay corte con -180º. MF≈120º, magnitud corta 0dB aprox en =3, donde la fase aprox. es -60º (Matlab da 122º)

 1 la ganancia es mayor

3. Se pide que el MF sea de aprox 140º. Usando la gráfica eso significa que el corte con 0dB se produzca, aproximadamente, en

=1, donde la fase es aprox -40º. Se quiere que

|𝑅𝐺 󰇛𝑗𝜔󰇜|  1  0𝑑𝐵 Como 𝑅𝐺󰇛𝑗𝜔󰇜



󰇛󰇜 󰇛󰇜󰇛󰇜

|𝑅𝐺󰇛𝑗𝜔󰇜|  1 

es decir

6𝐾√1  25 √1  100√1  1



|𝑅𝐺󰇛𝑗𝜔󰇜| 

√  √ √ 

6𝐾 √26 √101√2

Se obtiene K=0.4646, la curva de magnitud “desciende” y corta 0dB aprox. en =1. (con ese valor de K Matlab proporciona un MF de 140º en =1.03).

Examen extraordinario (julio). Curso 13-14 Cuestión 1 (1 punto)

 󰇛󰇜󰇛 󰇜 1.- ¿Es posible reducir su orden? ¿Por qué? En caso de que pueda hacerse obtenga la función de transferencia del sistema reducido (0.5Ptos). 2.- Indique cuál de los siguientes diagramas de Bode corresponde con él y justifíquelo (0.5Pts).

Dado el sistema cuya función de transferencia es 𝐺



a)

b) Diagrama de Bode

Diagrama de Bode 50 Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

0

-50

-180 -225 -270 -2 10

-50 -100 -45

Phase (deg)

Phase (deg)

-100 -135

0

10

-1

0

1

10

-180 -225 -1 10

2

10

-90 -135

10

c)

10

0

1

10

10

2

d) Diagrama de Bode

Diagrama de Bode 20 Magnitude (dB)

Magnitude (dB)

0 -20 -40 -60

-45 -90 -135 -180 -1 10

-20 -40 45

Phase (deg)

Phase (deg)

-80 0

0

10

0

1

10

10

2



0 -45 -90 -135 -1 10

10

0

1

10

10

2

 1) Siesposiblereducirloyaqueelpoloreales‐3ylospoloscomplejosconjugadosson ‐0.5±1.6583jconloque elpolorealesmayorque5veceslaparterealdeloscomplejosconjugados.Alsimplificarquitamosentoncesel polorealymodificamoslaFTparamantenerlaganancia:

𝐺󰇛𝑠󰇜 

2𝑠  3  3󰇛𝑠   𝑠  3 󰇜

2) Elsistemanotieneningúnpoloniceroenelorigenporloquelafaseafrecuenciasbajasescero,ylapendiente delamagnitudafrecuenciasbajasdebesercerotambién.Porestemotivopodemosdescartarlasrespuestasa) y b). Por otro lado, la ganancia del sistema es 0.333, que en dB es ‐9.5dB. Podemos descartar por tanto el diagramad)yaqueafrecuenciasbajasnosdaelvalordelaganancia0dB,queequivalea 1enmagnitud.El correctoeselc). Tambiénsevequeabajasfrecuenciaselb)tienependientede‐20dB/dec(poloenelorigen),lafasedeld)tiende a‐90ºenvezdea‐180º. ...