Ejercicios resueltos Ctos RLC segundo or PDF

Preview

Summary

sin...

Description

Circuitos Eléctricos I

VII

Circuitos de Segundo Orden

Circuitos de Segundo Orden

Objetivos: o Definir y analizar la respuesta natural de un circuito RLC o Identificar y reconocer el tipo de respuesta del circuito RLC a través de las raíces de la ecuación característica de la red o Definir y analizar la respuesta completa de un circuito de segundo orden o Discutir la respuesta de un circuito de segundo orden a una función exponencial y senoidal Introducción En este capítulo estudiaremos los circuitos que contiene dos elemento almacenadores de energía diferentes, como son una bobina y un capacitor y veremos que estos circuitos son descritos por una ecuación diferencial de segundo orden, también encontraremos la respuesta natural, forzada y completa de éstos circuitos. Comenzaremos nuestro estudio con dos ejemplos clásicos, para llegar obtener la ecuación básica del circuito. 7.1

Ecuación del circuito básico de los circuitos de segundo orden

Para comenzar nuestro desarrollo, los dos circuitos básicos que se muestran en la Figura 7.1.1 v(t) + vC(t0) i(t) iL(t0) is(t)

R

L

L

C

C R

vs(t)

(b)

(a) Figura 7.1.1

Para comenzar nuestro análisis vamos a suponer que la energía puede ser almacenada inicialmente en la bobina y en el capacitor. La ecuación para el circuito RLC paralelo se obtiene de aplicar LKC al nodo de arriba: iR + iL+iC = is(t), es decir:

dv (t ) v (t ) 1 t + ∫ v( x) dx + iL ( t 0 ) + C = i s ( t) dt R L t0

De manera similar, la ecuación para el circuito RLC serie se puede obtener aplicando LKV a la malla existente: vR + vC+vL = vs(t), es decir: R i +

di (t ) 1 t = v s ( t) i ( x) dx + vC (t 0 ) + L C ∫t0 dt

Note que la ecuación para el voltaje nodal del circuito RLC paralelo es de la forma que la de la corriente de malla del circuito RLC serie. Por tanto la solución de esos circuitos 202

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

depende de que se resuelva una ecuación. Si ambas ecuaciones anteriores se derivan con respecto al tiempo, obtenemos: C

d 2 v(t ) 1 dv(t ) v(t ) dis (t ) + + = , que podemos expresarla como: R dt L dt dt 2

1 dv (t ) v(t ) 1 dis ( t) d 2v (t ) + + = y 2 dt RC dt LC C dt L

d 2i (t ) di (t ) i (t ) dv s (t ) +R + = , que podemos expresarla como: 2 dt dt C dt

d 2i (t ) R di (t ) i (t ) 1 dv s (t ) + + = dt 2 L dt LC L dt Como ambos circuitos conducen a una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, vamos a concentrar nuestro análisis en este tipo de ecuación. 7.2

Solución a la ecuación diferencial de segundo orden

Vamos a emplear el mismo método que hicimos con los circuitos de primer orden para obtener la solución de la ecuación diferencial de segundo orden que resulta del análisis de los circuitos RLC. De manera general, en este caso tenemos una ecuación de la forma: d 2x (t ) dx(t ) + a1 + a 2 x (t ) = f (t ) 2 dt dt Para f(t) ≠ 0 vamos a tener dos respuestas: la respuesta forzada xf(t) y la respuesta natural xn(t), entonces la solución completa de la ecuación original es: x(t) = xf(t) + xn(t) Si, por el momento nos limitamos a una función de forzamiento constante (es decir, f(t) = A), entonces la respuesta forzada se puede calcular sustituyendo xf(t) = K (donde K es una constante) en la ecuación diferencial de segundo orden, obtenemos el valor de la respuesta forzada como sigue: d 2K dK + a1 + a2 K = A , se obtiene K = A/a2 = xf(t), por tanto la solución total será: 2 dt dt x(t) = A/a2 + xn(t) Ahora para encontrar la respuesta natural, hacemos la ecuación diferencial de segundo orden igual cero:

203

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

d 2x (t ) dx(t ) + a1 + a 2x (t ) = 0, donde a1 y a2 son constantes. Por conveniencia y 2 dt dt simplicidad rescribimos la ecuación diferencial de la siguiente forma: d 2x (t ) dx (t ) + 2ζω n + ω n2 x (t ) = 0 , donde hemos hechos las siguientes sustituciones 2 dt dt simples para las constantes a1 = 2ζω y a2 = ωn2. Haciendo las mismas consideraciones hechas en el caso de la ecuación de primer orden, la solución de la ecuación homogénea debe ser una función cuyas derivadas de primero y segundo orden tienen la misma forma, de modo que el lado izquierdo de la ecuación homogénea se hará idénticamente cero para todo t. Suponemos una solución exponencial para la respuesta natural, xn(t) = K℮st y sustituimos está expresión en la ecuación homogénea, para obtener: s2K℮st + 2ζωnsK℮st + ωn2K℮st = 0, Dividiendo ambos lados de la ecuación entre K℮st se obtiene: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0 Esta ecuación comúnmente se llama ecuación característica; ζ se llama razón o coeficiente de amortiguamiento y a ωn se le llama frecuencia resonante no amortiguada. La importancia de ésta terminología se hará clara conforme avancemos con el desarrollo de este análisis. Si ésta ecuación se satisface, nuestra solución supuesta xn(t) = K℮st es correcta. Empleando la fórmula cuadrática, encontraremos que la ecuación característica se satisface si: s=

− 2ζω n ± 4ζ 2ω n2 − 4ω n2 2

= −ζω n ± ω n ζ 2 − 1

Por lo tanto hay dos valores de s, s1 y s2 que satisfacen la ecuación característica s1 = − ζωn + ωn ζ 2 − 1

y

s2 = − ζω n − ω n ζ 2 − 1

Esto significa que x c1 (t ) = K1e s1 t es una solución de la ecuación homogénea y que x c 2 (t ) = K 2e s2 t también es una solución a la ecuación homogénea; es decir,

d2 d st st st 2 ( K1 e 1 ) + 2ζωn ( K1 e 1 ) + ωn K1e 1 = 0 y dt dt d2 d st s t st 2 ( K2 e 2 ) + 2ζωn ( K2 e 2 ) + ωn K 2 e 2 = 0 dt dt La suma de estas dos ecuaciones produce la igualdad

204

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

d2 d st st st st st st 2 ( K1 e 1 + K2 e 2 ) + 2ζω n ( K1 e 1 + K2 e 2 ) + ω n ( K1e 1 + K 2 e 2 ) = 0 dt dt Es importante advertir que la suma de las dos soluciones también es una solución. Por lo tanto, en general, la solución complementaria de la ecuación homogénea es de la forma: x n (t ) = K 1e 1 + K 2e st

s2 t

Donde K1 y K2 son constantes que pueden ser evaluadas vía las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Por ejemplo ya que:

dx(t ) dx (0) = = s1 K1 + s2 K2 dt t=0 dt De aquí, x(0) y dx(0)/dt producen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven dan las constantes K1 y K2. x (t ) = K 1e s1t + K 2e s2 t , entonces,

7.3

x(0) = K1 + K2 y

Respuesta natural de los circuitos de segundo orden

Un examen minucioso de las ecuaciones s1 y s2 indica que la forma de la solución de la ecuación homogénea depende del valor de ζ. Por ejemplo, si ζ > 1, las raíces de la ecuación característica s1 y s2, también llamadas frecuencias naturales debido a que determinan la respuesta natural de la red, son reales y diferentes; si ζ < 1, las raíces son números complejos; y finalmente, si ζ = 1,, las raíces son reales e iguales. Cada uno de esos casos es muy importante; por lo tanto, examinaremos ahora cada uno con algún detalle. 7.3.1 Respuesta sobre amortiguada Veamos el caso, donde ζ > 1, en este caso a la solución se le llama respuesta sobre amortiguada. Las frecuencias naturales s1 y s2 son reales y diferentes, por tanto, la respuesta natural de la red descrita por la ecuación diferencial de segundo orden es de la forma: x n (t ) = K 1e 1 + K 2e 2 , donde s1 y s2 toman los valores: st

st

s1 = − ζωn + ωn ζ 2 − 1 y s2 = − ζω n − ω n ζ 2 − 1 Donde K1 y K2 se encuentran de las condiciones iniciales. Esto indica que la respuesta natural es la suma de dos exponenciales decrecientes.

7.3.2 Respuesta Subamortiguada Ahora consideremos el caso en que ζ < 1, en este caso a la solución se le llama respuesta subamortiguada. Como ζ < 1, las raíces de la ecuación característica dada pueden escribirse como:

205

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

2 s1 = − ζωn + j ωn 1 − ζ = − σ + j ωd

s1 = − ζωn − j ωn 1 − ζ 2 = − σ − j ωd Donde j = − 1 , σ = ζωn y ωd = ωn 1 − ζ 2 . Así las frecuencias naturales son números complejos. La respuesta natural es entonces: j t ( j )t ( x n (t ) = K 1e − σ − ω d + K 2e − σ + ω d ) , que se puede escribir como:

σt

x n (t ) = e − (K 1e

jωd t

+ K 2e −

jωd t

)

Utilizando las identidades de Euler e ± jθ = cos θ ± jsenθ , obtenemos: σt x n (t ) = e − [K1 (cos ωdt + jsen ωdt ) + K 2 (cos ωdt − jsen ωdt )] , reduciendo esto tenemos:

x n (t ) = e −σ t [(K1 + K 2 ) cos ωdt + ( jK1 − jK 2 )sen ωdt ] , que lo podemos escribir como: σt

x n (t ) = e − (A1 cosω dt + A2sen ωd t )

Donde A1 y A2 como K1 y K2 son constantes que se evalúan usando las condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt. Si xn(t) es real, K1 y K2 serán complejos y K2 = K1*. A1 = K1 + K2 es, por tanto, dos veces la parte real de K1 y A2 = jK1 - jK2, es dos veces la parte imaginaria de K1. A1 y A2 son números reales. Esto ilustra que la respuesta natural es una respuesta oscilatoria exponencialmente amortiguada.

7.3.3 Respuesta críticamente amortiguada Por último el caso en que ζ = 1, en este caso a la solución se le llama respuesta críticamente amortiguada. Como ζ = 1, la parte del radical de las raíces s1 y s2 se hacen cero y esto genera: s1 = s2 = -ζωn. Por consiguiente xn (t ) = K3 e− ζωn t donde K3 = K1 + K2. Sin embargo esta no puede ser una solución a la ecuación diferencial de segundo orden, debido a que en general no es posible satisfacer las dos condiciones iniciales x(0) y dx(0)/dt con la única constante K3. En el caso donde la ecuación característica tiene raíces repetidas, puede obtenerse una solución de la siguiente manera. Si se sabe que x1(t) es una solución de la ecuación homogénea de segundo orden, entonces vía la sustitución x(t) = x1(t)y(t) podemos transformar la ecuación diferencial dada en una ecuación de primer orden en dy(t)/dt. Como esta ecuación resultante es sólo una función de y(t), puede resolverse para encontrar la solución general x(t) = x1(t)y(t)

206

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

Para nuestro caso, s1 = s2 = - ζωn. Por simplicidad hacemos α = ζωn, y, de aquí, la ecuación básica es: d 2x (t ) dt

2

+ 2α

dx( t) + α 2 x (t ) = 0 y una solución conocida es x1 (t ) = K 3e −αt dt

Empleando la sustitución x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αty(t), la ecuación cuadrática se convierte en d2 [ K 3e −α t y (t )] + 2α[ K 3e −α t y (t )] + α 2K 3e −α t y (t ) = 0 2 dt Evaluando las derivadas obtenemos: d d y (t ) [ K3 e− αt y(t )] = −α K3 e− αt y (t ) + K3 e− αt dt dt 2 d2 −α t −α t −α t d y( t) −α t d y( t ) 2 α α K e y t K e y t K e K e [ ( )] ( )] 2 = − + 3 3 3 3 dt 2 dt dt 2

Si sustituimos esas expresiones en la ecuación precedente se obtiene: K3 e − αt

d 2 y (t ) d 2 y (t ) = . Por lo tanto = 0 , y de aquí, 0 dt 2 dt 2

y(t) = A1 + A2t. Por ende la solución general es: x2(t) = x1(t)y(t) = K3℮-αt(A1 + A2t), la cual xn(t) puede escribirse como:

Críticamente amortiguado

xn (t ) = x 2 (t ) = B1e −ζω nt + B 2 t e −ζω n t , donde B1 + B2 son constantes derivadas de las condiciones iniciales.

La Figura 7.3.1 ilustra gráficamente los tres casos para las situaciones en las que xn(0) = 0. Advertimos que la respuesta críticamente 0 amortiguada tiene un pico y decae más xn(t) rápido que la respuesta sobre amortiguada. La respuesta subamortiguada es una senoide exponencialmente amortiguada cuya velocidad de decaimiento depende del 0 factor ζ. En realidad los términos ±e − ζωn t definen lo que se llama la envolvente de la respuesta, y las oscilaciones amortiguadas (es decir, las oscilaciones de amplitud decreciente) exhibidas por la forma de onda 207

Sobre amortiguado

t Subamortiguado

℮-αt

t

Figura 7.3.1 C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

de la figura se llaman oscilaciones amortiguadas. Analizaremos ahora una serie de ejemplos de circuitos RLC simples que contienen condiciones iniciales diferentes de cero y funciones forzantes constantes, considerando circuitos que exhiben respuestas sobre amortiguadas, subamortiguadas y críticamente amortiguada. v(t)

Ejemplo 7.3.1 Considere el circuito paralelo de la Figura 7.3.2, con R R = 2Ω, C =1/5 F, y L = 5H, con condiciones iniciales iL(0) = -1A y vC(0) = 4V. Encuentre el voltaje v(t).

L iL(0)

C

+ vC(0) -

Figura 7.3.2 Solución: Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKC. iR + iL + iC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: dv (t ) v(t ) 1 t + ∫ v ( x )dx + i L (t0 ) + C = 0 , derivando esta expresión con respecto al t0 dt R L tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene:

d 2v (t ) 1 dv (t ) v (t ) + + =0 2 LC dt RC dt Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos: d 2v (t ) dv( t) + 2.5 + v (t ) = 0 2 dt dt Entonces la ecuación característica será: s2 + 2.5s + 1 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -2 y s2 = -0.5 Como las raíces son reales y diferentes la respuesta del circuito es sobre amortiguado y v(t) será de la forma: v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: 1 dv (t ) v (t ) d 2v (t ) + + = 0 , con la expresión: 2 RC dt LC dt 208

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

d 2x (t ) dx (t ) + 2ζω n + ω n2 x (t ) = 0 , y quitando la variable v(t) que buscamos, obtenemos 2 dt dt la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = 1/RC y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de 1 1 L amortiguamiento es ζ = y la frecuencia resonante es ωn = 2R C LC y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 1.25 y ωn = 1 rad/s Como: ζ > 1 entonces la respuesta será sobre amortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -2 y s2 = -0.5,

y la solución toma la forma: v(t) = K1℮-2t + K2℮-0.5t

Las condiciones iniciales se emplean ahora para determinar las constantes K1 y K2. Como v(t) = vC(t) entonces: vC(0) = v(0) = K1℮0 + K2℮0 = K1 + K2 = 4. La segunda ecuación necesaria para determinar = K1 y K2 normalmente se obtiene de la expresión: dv (t ) = − 2K1 e− 2t − 0.5 K2 e− 0.5t dt

Sin embargo, la segunda condición inicial es dv(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación nodal inicial podemos despejar dicha derivada, así:

i ( t) 1 dv( t) dv (t ) v( t) =− + iL ( t) + C = 0 , que al despejar tenemos: v (t ) − L C R dt dt RC i (0) dv(0) 1 v(0)− L =− = −2.5(4) − 5(−1) = −5 , dt RC C entonces formamos la otra ecuación que nos hacia falta

Y evaluándola para t = 0, obtenemos:

dv (0) = − 2K1 e 0 − 0.5K2 e 0 = − 5 . El sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas dt formado es:

− 2 K1 − 0.5 K 2 = −5 K1 + K2 = 4. Multiplicando ésta ecuación por 2 y efectuando la reta de ambas se obtiene: -2K1 – 0.5K2 = -5 2K1 + 2K2 = 8 (3/2) K2 = 3 así K2 = 2 y K1 = 4 - K2 = 4, entonces K1 =2 Por lo tanto v(t) es: 209

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

v(t) = 2℮-2t + 2℮-0.5t La gráfica del voltaje con respecto al tiempo se muestra en la Figura 7.3.3 y La corriente n la bobina se relaciona con v(t) mediante la ecuación iL (t ) =

1 v( t) dt , entonces sustituyendo el valor de v(t) obtenemos: L∫ v(t) (V)

1 iL ( t) = ∫[2 e −2 t + 2e −0.5 t ]dt , por lo 5 tanto la corriente en la bobina será:

4

1 4 iL ( t) = − e−2 t − e−0.5t A 5 5 0.6

Ejemplo 7.3.2

0

1

2

3

Figura 7.3.3 El circuito RLC serie que se muestra i(t) iL(0) en la Figura 7.3.4 tiene los siguientes parámetros: C = 0.04F, L = 1H, R = 6Ω, iL(0) = 4A y vC(0) = -4V. Determinemos la L expresión para la corriente en la bobina y el voltaje en el R R C capacitor.

t (s)

vC(0)

Figura 7.3.4

Solución:

Primero tenemos que obtener la ecuación diferencial de segundo orden, en este caso aplicando LKV. vR + vL + vC = 0, sustituyendo por la ley del elemento de cada uno de ellos, obtenemos: di( t) 1 t + ∫t i (x )dx + v C (t 0 ) = 0, derivando esta expresión con respecto al dt C 0 tiempo y reacomodando la expresión, se obtiene: R i( t) + L

d 2i(t ) R di (t ) i (t ) + + =0 dt 2 L dt LC Sustituyendo los valores de R, L y C en la ecuación diferencial, obtenemos: d 2i (t ) di (t ) +6 + 25i (t ) = 0 2 dt dt Entonces la ecuación característica será: s2 + 6s + 25 = 0 y aplicando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces: s1 = -3 +j4 y s2 = -3 – j4 210

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

Como las raíces son complejas conjugadas entonces la respuesta del circuito es submortiguada e i(t) será de la forma: i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t Sin embargo otra alternativa para llegar a concluir el tipo de respuesta es: comparamos la expresión: d 2i(t ) R di (t ) i (t ) + + = 0 , con la expresión: dt 2 L dt LC d 2x (t ) dx (t ) + 2ζω n + ω n2 x (t ) = 0 , y quitando la variable i(t) que buscamos, obtenemos 2 dt dt la ecuación característica del circuito: s2 + 2ζωns + ωn2 = 0, donde 2ζωn = R/L y ωn2 = 1/LC, se obtiene que el coeficiente de 1 R C y la frecuencia resonante es ωn = amortiguamiento es ζ = 2 L LC y sustituyendo los valores de los componentes obtenemos: ζ = 0.6 y ωn = 5 rad/s Como: ζ < 1 entonces la respuesta será subamortiguada. Procedemos a encontrar las raíces usando la fórmula cuadrática, de la ecuación característica, como fue encontrado anteriormente s1 = -3 + j4 y s2 = -3 – j4,

Y la solución toma la forma:

i(t) = A1℮-3tcos4t + A2℮-3tsen4t Empleamos ahora las condiciones iniciales para encontrar los valores de A1 y A2. Como i(t) = iL(t) entonces: iL(0) = i(0) = A1℮0cos0 + A2℮0sen0 = 4, entonces obtenemos A1 = 4 La segunda ecuación necesaria para determinar = A1 y A2 normalmente se obtiene de la expresión: di (t ) = − 4A1 e−3 t sen4t − 3 A1 e−3 t cos 4t + 4 A2 e− 3 t cos 4t − 3 A2 e− 3 t sen4t dt

Y así

di (0) 0 0 0 0 = − 4A1e sen 0− 3A1e cos 0+ 4A2e cos 0− 3A2e sen 0 dt di (0) = −3 A1 + 4 A2 dt

211

C.R. Lindo Carrión

Circuitos Eléctricos I

Circuitos de Segundo Orden

Sin embargo, la segunda condición inicial es di(0)/dt. Tenemos que encontrar esta derivada y evaluarla en t(0), no obstante podemos notar que de la ecuación de malla inicial podemos despejar dicha derivada, así: R i (t ) + L

di (t ) + vC (t ) = 0 , que al despejar obtenemos: dt

v ( t) R di (t ) = − C − i (t ), que evaluado en t = 0 se obtiene: dt L L v (0) R di(0) 4 6 =− C − i (0) = − 4 = − 20 dt L L 1 1 Por lo tanto − 3 A1 + 4 A2 = −20 y como A1 = 4, entonces A2 = -2, así la expresión para i(t) es: i(t) = 4℮-3tcos4t - 2℮-3tsen4t A Ahora el voltaje en el capacitor puede determinarse vía la LKV usando la corriente encontrada:

vC (V) 8

di (t ) , entonces dt sustituimos el valor de i(t) y obtenemos: vC (t ) = −R i (t ) − L

vC(t) = -24℮...