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SEMANA 5.Uno de los empaques diseñados por la familia de Francisco para enviar uno de sus productos es el que se muestra en la imagen de la derecha junto con la plantilla que permite elaborarla. Teniendo en cuenta la información presentada en la plantilla, resolver las siguientes cuestiones:Activida...

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SEMANA 5. Uno de los empaques diseñados por la familia de Francisco para enviar uno de sus productos es el que se muestra en la imagen de la derecha junto con la plantilla que permite elaborarla. Teniendo en cuenta la información presentada en la plantilla, resolver las siguientes cuestiones: Actividad 1.

Determinar el valor de � para que la caja tenga el mayor volumen posible. ¿Cuál es el volumen? Viendo la figura observamos un trapecio, entonces para calcular el volumen usamos el área del trapecio y el ancho de la bolsa.

1 A t = ( b1 +b 2 )∗h , dondeh = x 2 b1=

√

( )

2x 2∗2 4 13 13 2 = √ x b2 =2 √ x x= x , c= x + 3 3 3 3 3

Definimos el volumen:

2

V = At∗Ancho , donde ancho=30−2 x

[(

V=

)

]

8+4 √ 13 3 1 4 x+ 2 √ 13 x ∗x ∗x ∗[ 30−2 x ] =( 20 + 10 √ 13) x 2− 3 3 6 2

13 V (x)=( 20 + 10 √ 13 ) x 2− 4 +2 √ ∗x3 3 Ahora derivamos para determinar los puntos máximos:

V ' ( x )= ( 40 + 20 √ 13 ) x −4 +2 √13∗x 2 , igualamos a cero: v ' ( x) =0 →( 40 + 20 √ 13 ) x−4+2 √13∗x2 =0 → x [( 40 + 20 √ 13) −4+ 2 √ 13 x ] =0 Definimos los puntos críticos:

x=0, o ´ ( 40 + 20 √ 13) x−4+2√ 13=0 → x=

( 40 + 20 √ 13 ) 4+ 2√ 13

=

56,05 =10,01 5,6

x=0 , x=10,01

Así el punto que maximiza el volumen es x=10, así el volumen máximo se obtiene al evaluar el punto crítico:

V (10)=( 20 + 10 √ 13) (10)2−

4 +2 √13 ∗(10 )3 3

3 V ( 10 )=1868,52u → volumen máximo

Actividad 2. Determinar el valor de � para que se emplee la mayor cantidad de material. ¿Cuál es la máxima cantidad de material empleado? Ahora se calculan varias áreas y luego se suman  

4 2 4 x∗x x 2 3 3 = x2 = Atriang= 6 2 3 A=(30−2 x )∗x

( ( )) x 3

2

2

πx 9



Acirc= π∗



4 2 π x2 2 π x2 =20 x− x2 + x + Acorrea=Arect + Ac= 30− x 9 9 3 3 9

=

(

)( )

( ) 4 −22−π ∗x +110 x A =x ( 4 −6 − −π ) +110 x= 9 9 2 2 4 x2 π x2 2 ( ) +20 x− + x 20 x −2 x A T =6 +3 9 9 3 2

2

T

A T (x)=

−22−π 2 ∗x +110 x 9

Derivamos la función área para hallar la mayor cantidad de material usado:

A T ' (x)=

−44−2 π −44 −2 π −44−2 π ∗x +110=0 → x= ∗x +110 → ¿= =19,7 9 9 9 110

x=19,7 puntocritico . Calculamos la mayor cantidad de material:

A T ( 19,7 )=

− 22− π 2 ∗( 19,7 )2 +110 ( 19,7) =1082,87 u 9

Actividad 3. Si en las actividades 1 y 2, se obtienen valores diferentes ¿qué valor de � se debería elegir de manera que tenga más beneficios económicos para la familia? Justificar la respuesta. R/Dada la respuesta se debería elegir el valor que favorece el máximo volumen en este caso x=10 es un punto critico que determina el máximo volumen usado para hacer el empaque por lo tanto al elegirlo se garantiza que se aprovechara a lo máximo el material. Los beneficios económicos se verán reflejados en las dimensiones y por tanto en la funcionalidad del empaque, así como también en el ahorro de material en el diseño de futuros empaques, puesto que convendría estandarizar las dimensiones....