Electroacústica I Capítulo 1 Principios de electricidad y magnetismo PDF

Preview

Summary

Apunte de Electroacústica I capítulo 1....

Description

Electroacústica I y II Capítulo 1 Electricidad y magnetismo I) Principios de electricidad

Terminología

Diferencia eléctrica de potencial: Tensión La tensión y la corriente varían sinusoidalmente en el tiempo, y las identificamos con las letras v e i. Vm e Im significan valores pico. Un valor es eficaz cuando:

I=

Im 2

y

V=

Vm 2

Siempre podremos escribir que:

v = v(t) = Vm sen(ω × t +ϕ )

i = i(t) = I msen(ω × t) Donde: ω = 2π f f = frecuencia (número de oscilaciones completas por segundo). ϕ = fase entre tensión y corriente Los resistores y la ley de ohm La tensión v en un resistor es proporcional a la corriente i que circula a través de ella.

v = R.i La corriente en un resistor será:

i = i(t) = Im sen(ω× t) Por lo que:

v = R.i = R.I msen(ω × t)

v = Vmsen(ω × t)

Donde:

Vm = R.Im

En un resistor, el valor pico de la tensión es R veces el valor pico de la corriente, encontrándose ambas en fase. Cuando la corriente es máxima, también lo es la tensión, por lo que ϕ = 0 Impedancia y reactancia Denominamos circuitos lineales a aquellos donde la corriente es proporcional a la tensión. La relación tensión - corriente en un resistor es la resistencia, ambas están en fase y la resistencia no depende de la frecuencia. En general, entre la tensión y la corriente existe una diferencia de fase y esta depende de la frecuencia. Denominamos impedancia Z a la relación general entre la tensión y la corriente. Si estos valores se encuentran desfasados 90°, el circuito no pierde potencia y a la relación tensión - corriente la llamamos reactancia X.

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

1

Capacitores y cargas La tensión en un capacitor depende de la cantidad de carga eléctrica que éste sea capaz de almacenar entre sus placas. La corriente que circula entre las mismas es, por definición, la velocidad con la que la carga es almacenada. Luego, la carga Q en el capacitor es la integral de la corriente respecto al tiempo. Por definición, la capacitancia será: q 1 i.dt vc = = C C

∫

Recordando que la integral es el área bajo la curva, la corriente será:

i = i(t) = Im sen(ω × t) Reemplazando:

vc =

1 1 1 i.dt = I sen(ω × t)dt = − I cos(ω× t)dt C C m ωC m

∫

∫

vc =

1 π Im sen(ω× t − )dt ωC 2

Dado que La reactancia capacitiva XC es la relación entre las magnitudes de la tensión y la corriente en el capacitor, será: 1 Xc = ωC

v c = X cImsen(ω × t −

π )dt 2

Vm = Xc Im Se observa que existen dos importantes diferencias: ü La integral de la corriente es una función coseno negativa, por lo que la tensión se encuentra 90° atrasada respecto a la corriente (fase). ü La máxima carga en el capacitor se producirá cuando la corriente deje de circular en un sentido y comience a circular en el otro. Debemos enfatizar que denominamos reactancia a la relación tensión corriente cuando difieren 90° en fase. Si se encontraran en fase, la relación se denominaría resistencia. La reactancia capacitiva es dependiente de la frecuencia y su valor disminuye con la misma. Si mantenemos la amplitud de la corriente constante, cuando la frecuencia disminuya a la mitad, el capacitor tendrá el doble de tiempo para cargarse, por lo que generará el doble de diferencia de potencial. Inductores: ley de Faraday (fuerza electromotriz) Un inductor es, usualmente, una bobina de alambre. Si el inductor es ideal, su resistencia es despreciable. La tensión que aparece a través del mismo es debida a su propio campo magnético y a la ley de inducción electromagnética de Faraday. La corriente i(t) en la bobina creará un campo magnético cuyo flujo concatenado es proporcional a la intensidad de campo, que a su vez es proporcional a la corriente. Definimos a la intensidad de campo magnético como:

H= Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

Ni l 2

El flujo concatenado será: Φ = BS

Reemplazando:

y

Φ = μHS =

B = μH

μNiS Ni = l l μS

Definimos a la autoinductancia (L) de la bobina como:

Φ B (t) = Li(t) La ley de Faraday dice que la fuerza electromotriz sobre la bobina es:

EL = −

d ΦB dt

La caída de tensión sobre el inductor será:

vL (t) = − EL =

dΦ B d d = (Li) = L I msen(ω× t) dt dt dt

π π vL (t) = ωLImcos(ω × t) = ωLImsen(ω × t + ) = X LI msen(ω ×t + ) 2 2 Definimos la reactancia inductiva XL como la relación de magnitudes entre la tensión y la corriente, por lo que tendremos: XL = ωL La tensión es proporcional a la corriente y los valores picos serán: Vm = XL. Im La derivada de un corriente sinusoidal es un función coseno por lo que tendrá un máximo (tensión en el inductor) cuando la corriente sea cero, es decir que la tensión adelantará 90° respecto a la corriente. La reactancia dependerá de la frecuencia por lo que si la corriente permanece constante, cuando la frecuencia disminuya a la mitad variará la mitad de rápido, también su derivada y por lo tanto la fem . En un inductor, la relación tensión - corriente se incrementa con la frecuencia. Impedancia de un componente

Figura 1.1

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

3

La figura 1.1 muestra el comportamiento, el símbolo y la ecuación de tres elementos eléctricos, un resistor, un capacitor y un inductor. En corriente continua, el inductor es un cortocircuito, por lo que su impedancia será cero, por el contrario, el capacitor es un circuito abierto, por lo que su impedancia será infinita, tal como se aprecia en la figura 1.2. Figura 1.2 Impedancia La impedancia Z de una resistencia R en serie con una reactancia X es:

Z = R + jX Forma rectangular y polar de la impedancia Z:

Z = R + jX = (R2 + X2 )∠tan−1 (

X )= Z∠ φ = Z cosφ+ j Z senφ R

Suma de 2 impedancias Z1 y Z2:

Z 1 +Z 2 =(R 1 +jX 1) +(R 2 + jX 2 ) =(R 1 +R 2 ) + j(X1 +X 2 ) Resta de 2 impedancias Z1 y Z2:

Z 1 −Z 2 =(R 1 +jX 1) −(R 2 + jX 2 ) =(R1 −R 2 ) + j(X 1 −X 2 ) Multiplicación de 2 impedancias Z1 y Z2:

Z 1 ∗Z 2 = Z 1 ∠φ 1 ∗ Z 2 ∠φ 2 =( Z 1 ∗ Z 2 ) ∠(φ1 +φ 2 ) División de 2 impedancias Z1 y Z2:

Z1 Z2

=

Z 1 ∠φ 1 Z 2 ∠φ 2

=(

Z1 Z2

)∠(φ 1 − φ 2 )

Resumiendo: Es conveniente utilizar la forma rectangular para sumas y restas y la forma polar para multiplicaciones y divisiones. Admitancia Una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X puede ser convertida en una admitancia Y formada por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B: Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

4

Y = Z− 1 =

G=

1 (R + jX)

=

(R − jX) 2

2

=

(R + X )

R 2

2

(R + X )

−j

X 2

2

= G − jB

(R + X )

R R = 2 2 (R + X ) Z 2

B=

X X = 2 2 2 (R + X ) Z

Utilizando la forma polar de impedancia Z: Y=

1 −1 ∠φ = Z ∠ − φ= Y∠ − φ= Y cosφ− j Y senφ Z

Recíprocamente, una admitancia Y formada por una conductancia G en paralelo con una susceptancia B puede ser convertida en una impedancia Z formada por una resistencia R en serie con una reactancia X: Z = Y −1 =

R=

B 1 (G + jB) G = R + jX = +j = (G − jB) (G2 +B 2 ) (G2 + B2 ) (G2 + B2 )

G G = (G2 + B2 ) Y 2

X=

B B = (G2 + B2 ) Y 2

Usando la forma polar de la admitancia Y: Z=

1 −1 ∠ − φ = Y ∠ φ= Z∠ φ= Z cosφ+ j Z senφ Y

La impedancia total ZS de las impedancias Z1, Z2, Z3,... conectadas en serie es: ZS = Z1 + Z2 + Z3 +... La admitancia total YP de las admitancias Y1, Y2, Y3,... conectadas en paralelo es: YP = Y1 + Y2 + Y3 +... Resumiendo: ü Se debe usar impedancias cuando se trabaja con circuitos series y admitancias con paralelos. Componentes interconectados Al interconectar componentes, debemos aplicar las leyes de Kirchhoff. Primera ley de Kirchhoff (tensión) Esta ley es el resultado de enunciar que el campo electrostático es conservativo. Establece que la tensión total alrededor de un circuito cerrado debe ser cero. De no ser así, al circular por un lazo cerrado la tensión sería infinita. Por lo tanto, podemos decir que: ΣV = 0 A efectos de analizar un circuito, se deberá adoptar la siguiente convención: las ganancias de potencial serán positivas (circulación sobre una fem) cuando se vaya desde el potencial más bajo al más alto. Al contrario, la circulación sobre un resistor (pérdida de potencial) es negativa, tal como se observa en la figura 1.3

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

5

Figura 1.3

Figura 1.4

Segunda ley de Kirchhoff (corriente) Esta ley surge del principio de conservación de cargas y se aplica a los nodos de un circuito, es decir aquellos puntos donde las cargas tienen varios caminos posibles. En el nudo de la figura 1.4, IA es la única corriente entrante. Las salientes son: IB, IC e ID, por lo que la carga total entrante debe ser igual a la total saliente. Entonces podemos decir que: ΣI = 0 IB + IC + ID = IA

(IB + IC + ID) - IA = 0

Circuitos RC serie La tensión v(t) a través de un resistor en serie con un capacitor será: v serie(t) = v R(t)+ vC (t) Dado que ambas no están en fase, la amplitud de la suma es menor que la suma aritmética de las dos señales, tal como se aprecia en la figura 1.5

Figura 1.5

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

6

Figura 1.6 Analizando el circuito de la figura 1.6 y aplicando Pitágoras: 2 2 + V2 VmRC = VmR mC

Dado que son valores máximos, debemos dividir la ecuación por dos y recordar que el valor RMS es: V V=

m 2

Reemplazando por la resistencia R y la reactancia capacitiva 1/ωC: ⎛ I ⎞2 2 2 2 VRC ⎟ = VR +V C = (IR )2 + ⎜ ⎝ ωC ⎠ I 2 1 2 V = (IR)2 + ( ) = I (R) 2 + ( ) RC ωC ωC

Esta expresión es la ley de ohm: V es proporcional a I y su relación constituye la impedancia serie. Z RC =

R2 + (

1 2 ) ωC

En baja frecuencia, la impedancia es alta (figura 1.7), dado que 1/ω C es alto (el capacitor es un circuito abierto para corriente continua). Por el contrario, en frecuencias altas este valor es muy bajo (el capacitor no tiene tiempo de cargarse) por lo que la impedancia serie tiende a R. En la frecuencia donde (1/ωC)=R, será: ω = ωo =

1 RC

Figura 1.7 La corriente en el circuito será: V I = fuente = ZRC

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

Vfuente 1 2 ) R2 + ( ωC

7

En continua la corriente es cero. En alta frecuencia la corriente tiende a V/R, dado que no existe tiempo para que se cargue el capacitor (figura 1.8). Para encontrar la fase relativa, debemos calcular el valor de φ. Figura 1.8

Φ = tang −1(

1 1 IX VC ) = tang−1 ( ) = tang−1 ( C ) = tang−1( ) IR VR ωRC 2π × f ×RC

La tensión atrasa respecto a la corriente debido a que el capacitor tiene que tener el tiempo necesario para cargarse, por lo que φ será negativo.

Figura 1.9 En la frecuencia donde ω = ωo = 1/RC, (figura 1.9), la fase será: Ф = 45° Y la fracción de tensión: VR V = C = V RC VRC

0.5V = 0.71V

La figura 1.10 muestra la variación de la tensión VR y VC en función de la frecuencia.

Figura 1.10 Circuitos RL serie En un circuito RL serie, la tensión a través del inductor adelanta a la corriente en 90°. La reactancia inductiva será: XL = ωL La figura 1.11 muestra la composición vectorial de las tensiones.

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

8

Figura 1.11 Circuitos RLC serie La tensión a través de los tres componentes será: vserie (t) = vR(t) + vC(t) + vL (t)

La corriente es sinusoidal. En el resistor, la tensión está en fase con la corriente, 90° adelantada en el inductor y 90° atrasada en el capacitor (figura 1.12).

Figura 1.12

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

9

2 = VR2 + (VL − VC )2 Vserie

VR = IR

VC = IX C =

VL = IXL = ωL

1 ωC

Reemplazando:

V = I R 2 + (ωω−

1 2 ) = IZserie ωL

Donde: 2 Zserie = R2 + X2total = R2 + (XL − X C )2

Debemos recordar que la reactancia inductiva y la capacitiva están desfasadas 180°. La fase relativa será:

⎡ (V − V C ) ⎤ Φ = tang −1⎢ L ⎥ VR ⎣ ⎦ Reemplazando por los valores de las tensiones:

⎡ 1 ⎤ (ω× L − ) ⎢ ω× C ⎥ Φ = tang −1 ⎢ ⎥ R ⎥ ⎢ ⎦⎥ ⎣⎢ La figura 1.13 muestra la dependencia de la Zserie y el ángulo φ con ω. El valor ωo es la frecuencia de resonancia del circuito: 1 ω 2o = LC

Figura 1.13

2 Zserie

=R

2

+ X2total

2

= R + (XL − X C )

2

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

⎡ × − 1 ⎤ ⎢ (ω L ω × C )⎥ Φ = tang ⎢ ⎥ R ⎢ ⎥ ⎣⎢ ⎦⎥ −1

10

La figura 1.14 muestra el caso donde el valor de la frecuencia es tal que VL = VC

Figura 1.14 Dado que VL(t) y VC(t) se encuentran 180° fuera de fase, será: VL(t) = -VC(t), por lo que la dos tensiones se cancelaran quedando como tensión total de la serie la tensión sobre la resistencia. Esto se denomina resonancia serie. Resonancia serie En alta frecuencia, la impedancia serie tiende a infinito debido a que la rápida variación de la corriente produce una fem grande. En baja frecuencia también es alta debido al capacitor que dispone de mas tiempo para cargarse cada medio ciclo. En el diagrama existe una valor mínimo de impedancia cuando: VL(t) = -VC(t)

ωL =

1 ωC

La frecuencia de ocurrencia será:

ωo =

1 LC

fo =

1 1 2π LC

En resonancia la impedancia serie es mínima, por lo que la tensión para una dada corriente es mínima o bien la corriente para una tensión dada es máxima. En un RLC serie donde el inductor tiene baja resistencia interna, se puede obtener una tensión alta sobre el mismo y sobre el capacitor, pero dado que ambas están 180° fuera de fase, se cancelaran, dando una tensión total mucho menor. Este efecto forma un mecanismo que permite obtener una tensión oscilante alta con una pequeña fuente de alimentación. La bobina incluye la inductancia y la resistencia en serie, dado que la corriente las atraviesa simultáneamente (figura 1.15). La energía acumulada en la oscilación la suministra gradualmente la fuente al activarla y se intercambia entre el inductor y el capacitor ciclo a ciclo. Figura 1.15

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

11

Ancho de banda y factor Q En resonancia, la impedancia toma su mínimo valor a Zo = R, es decir que si se mantiene constante la tensión, la corriente será máxima. La corriente cae a cero en frecuencias bajas dado que XC tiende a infinito. De la misma forma, a frecuencias altas tiende a cero debido a que XL aumenta con la frecuencia (El inductor se opone a los cambios rápidos de corriente).

La figura 1.16 muestra la corriente en función de la frecuencia para dos casos: (A) resistor de alto valor y (B) de bajo valor. En B la resonancia es mas aguda y el ancho de banda menor. Definimos ancho de banda ∆ω a la diferencia entre dos frecuencias ω+ y ω- en donde el circuito convierte potencia a la mitad del valor máximo.

Figura 1.16 2

En el circuito, la potencia eléctrica convertida en calor en resonancia, será RI y esta se irá a la mitad de su valor cuando la corriente valga:

Io 2 Definimos Q como:

ω o ωL = Δω R

Q= Por lo que:

Δω =

R L

Generalidades sobre circuitos resonantes Definimos frecuencia de resonancia a aquella donde la impedancia de un circuito RLC serie o la admitancia de uno paralelo es solamente real, por lo que el término imaginario es cero. En ambos casos la frecuencia de resonancia será:

ωo =

1 LC

En resonancia tensión y corriente se encuentran en fase y el factor de potencia es unitario. Factor de calidad Q La definición del factor Q nos la dará el análisis de energía del circuito RLC. Q es la medida de la amplitud del pico de resonancia y representa la relación entre la máxima energía almacenada a fo (Wa) y la energía disipada por ciclo (Wd):

Q = 2π

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

Wa Wd 12

El Q puede ser de suma utilidad, ya que dependiendo de los valores que adopten L y C cerca o en el estado de resonancia, puede reflejar la existencia de potenciales mucho mayores que la tensión de alimentación sobre los elementos reactivos, lo que se conoce como fenómeno de sobretensión. Es por esto que también se conoce a este valor como factor de sobretensión. Resonancia paralelo Sea un circuito como el de la figura 1.17, dual del serie. Excitándolo con una fuente ideal de corriente i, la admitancia compleja será:

Y=

1 1 − j( − ωC) ωL R

Y = G + jB Y = G − j(B L − B C ) Figura 1.17 En resonancia, las componentes reactivas se cancelan, por lo que:

1 1 = ωC ωo = ωL LC La dualidad de los circuitos hace que la pulsación en resonancia ωo del circuito paralelo sea igual a la del serie. Esta expresión no es universal, sino que depende de la topología del circuito RLC bajo análisis. Magnitudes características En resonancia, la tensión en el circuito RLC será: U=Ri , dado que: Y=1/R

y

Z=R

De lo anterior se deduce que, en resonancia, toda la corriente inyectada por el generador pasará por la resistencia, mientras que L y C no demandaran corriente de la fuente. Esto no significa que no exista circulación de corriente por los elementos reactivos, dado que: R 1 .i .U = − j iL = − j iC = jω × C.U = jω× RC.i ωL ωL 1 = ωC Como en resonancia: deducimos que: i L = −i C ωL Esto indica que existe una corriente de circulación en la malla LC que representa la transferencia de energía reactiva que alternativamente pasa de L a C y viceversa. Factor de mérito del circuito RLC paralelo Para el caso del circuito paralelo el cociente será entre las partes reactivas y resistivas de la admitancia: Q=

BL BC = G G

Capítulo 1 de Electroacústica I y II Ing. Francisco Ruffa

Q=

R = ωRC ωL

13

Esta relación, dependiendo de los valores de L y C, refleja la posibilidad de generación de sobre corrientes en dichos elementos. Análisis del circuito resonante paralelo Partiendo de la expresión de la admitancia del circuito paralelo: 1

Y=

R

1 − j( − ωC) ωL

La impedancia será: 1 1 1 ( − j( − ωC)) R ωL

Z=

Multiplicando numerador y denominador por R: Z=

R R (1− j( − ωRC)) ωL

Tomando el valor de Q a resonancia:

Qo =

ωo del denominador por: ω o

Z=

R ωoL

= ωoRC y multiplicando cada miembro

R Qoωo Qo ω )) (1 − j( − ω ωo

Z =

R ω ω (1− jQo ( o − )) ω ωo

El módulo de la impedancia será: R

Z = 2

1 − Qo (

ωo ω 2 − ) ω ωo
<...