ELECTROMAGNETISMO Teoría y 310 problemas resueltos PDF

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Accelerat ing t he world's research.

ELECTROMAGNETISMO Teoría y 310 problemas resueltos JULISSA CRISTINA GUILLEN SANCHEZ

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SERIE SCHAUM

ELECTROMAGNETISMO ELECTROMAGNETISMO Teoría y 310 problemas resueltos

Joseph A. Edminister

AEPAEP AEP

AEP

.T. N' 11

8'BLlOT[C.

e.c. [;~ (~AVLORA"

"B. GfJL

LACA'- tiA 535 SERIE DE COMPENDIOS

F~oeRAl

SCHAUM

'TEORIA y PROBLEMAS DE

I

ELECTROMAGNETISMOI

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Por

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,

JOSEPH A. EDMINISTER,

M.S.E~ROHI810A

de de

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VENTA

L

de

TRADUCCION

PEDRO ALBARRACIN de

s

REVISION

SANTIAGO PINTO

EDITORIAL McGRAW-HILL LATINOAMER1CANA .

. ,

, ,

S.A.

.

, ,

,

Delhi,

,

,

AEPAEP AEP

AEP

RESERVADOS Copyright

©

TODOS

LOS DERECHOS

1981, por EDITORIAL McGRAW-HILL Bogotá, Colombia

(D.R.)

LATINOAMERICANA

S.A.

Ni este libro ni parte de él puede ser reproducido o transmitido de alguna forma o por algún medio electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia grabación, o por cualquier otro sistema de memoria o archivo, sin el permiso escrito del editor.

o

Traducido de la primera edición de OUTLINE SERIES THEORY ANO PROBLEMS OF ELECTROMAGNETICS Copyright © 1979 por McGRA W-HILL, INe., U.S.A.

SCHAUM'S

IS BN 968-451-004-7 0987654321 Impreso

8765432901

en Colombia

Impresión:

Printed

in Colombia

Italgraf S.A., Bogotá, Colombia

AEP AEP AEPAEP

B'8L10ITCA E}l.EJ. N' 17 unU._lw,~.L.\"'. r¡)r I n r '_ ("' L,./-\AV; L ORAfJ \ LACA;'iR:\ 535 e t». ~EOERAI.

I

Prefacio El propósito de este libro es servir de complemento a cualquier texto introductorio de electromagnetismo para ingenieros. Se puede utilizar también como texto independiente en un curso breve de iniciación. Como en los demás compendios de Schaum, se pone el mayor énfasis en la solución de los problemas. Cada capítulo contiene un buen número de problemas con sus soluciones detalladas y ofrece también una serie de problemas suplementarios con las respuestas, precedidas de una descripción simplificada de los principios y razones que se requieren para entenderlos y solucionarlos. Aunque los problemas electromagnéticos del mundo físico suelen ser complejos, preferimos presentar en esta obra problemas más bien cortos y sencillos. Esto parece ventajoso para el estudiante que necesita aclarar un punto específico como para el que tiene que utilizar el libro con el fin de repasar la materia. Las matemáticas han sido manejadas con la mayor sencillez y se ha procurado no recurrir a la abstracción. Damos abundantes ejemplos concretos y numerosos gráficos y esquemas. He descubierto, en mis largos años de enseñanza, que la solución de la mayoría de los problemas comienza con un dibujo cuidadoso. Dedico este libro a mis alumnos, pues ellos me han advertido dónde se hallaban las dificultades de los diversos temas. Deseo expresar mi gratitud al personal de McGraw-Hill por su asistencia editorial. Gracias sinceras a Thomas R. Connell por su cuidadosa revisión de los problemas y sus amables sugerencias. Asimismo agradezco a Eileen Kerns su idóneo trabajo mecanográfico. Por último, debo dar las gracias a mi familia, en particular a mi esposa Nina, por su constante apoyo y estímulo, sin los cuales el libro no se hubiera escrito. ]OSEPH

A. EDMINISTER

AEP

AEP AEP

AEP

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EOERAl

Contenido Capitulo 1

ANALISIS VECTORIAL

1

1.1 Notación vectorial 1.2 Algebra vectorial 1.3 Sistemas de coordenadas menes, superficies y elementos diferenciales de línea 1.5 Campos vectoriales formaciones

Capitulo 2

FUERZAS DE COULOMB E INTENSIDAD

DEL CAMPO ELECTRICO

2.1 Ley de Coulomb 2.2 Intensidad del campo eléctrico 2.4 Configuraciones estándar de carga

Capitulo 3

1.4 Volú1.6 Trans-

...

13

2.3 Distribuciones de carga

FLUJO ELECTRICO y LEY DE GAUSS

.

27

3.3 Ley de Gauss 3.1 Carga neta en una región 3.2 Flujo eléctrico y densidad de flujo 3.4 Relación entre la densidad de flujo y la densidad de campo eléctrico 3.5 Superficies gausianas especiales

Capitulo 4

DIVERGENCIA Y TEOREMA DE DIVERGENCIA 4.1 Divergencia 4.2 Divergencia en coordenadas cartesianas 4.4 El operador nabla 4.5 El teorema de la divergencia

Capitulo 5

.

39

4.3 Divergencia de D

ENERGICA Y POTENCIAL ELECTRICO DE LOS SISTEMAS DE CARGA.

50

5.1 Trabajo realizado en cargas puntuales en movimiento 5.2 Potencial eléctrico entre dos puntos 5.3 Potencial de una carga puntual 5.4 Potencial de una distribución de carga 5.5 Gradiente 5.6 Relación entre E y 5.7 Energía en campos eléctricos estáticos

Capitulo 6

CORR1ENTE, DENSIDAD DE CORRIENTE Y CONDUCTORES

.

65

6.1 Introducción 6.2 Cargas en movimiento 6.3 Densidad de la corriente de convec6.4 Densidad de la corriente de conducción J 6.5 Conductividad (J . 6.6 Coción J rriente 1 6.7 Resistencia 6.8 Densidad de la corriente laminar K 6.9 Continuidad de la corriente 6.10 Condiciones límites en conductor-dieléctrico

Capitulo 7

CAPACITANCIA

Y MATERIALES DIELECTRICOS

81

AEP AEP

7.1 Polarización P y permitividad relativa e, 7.2 D Y E de voltaje constante 7.3 D Y E de carga constante 7.4 Condiciones límites en la entrecara de dos capacitancias dieléctri-

AEP AEP

CONTENIDO

cas 7.5 Capacitancia 7.6 Condensadores de varios dieléctricos nada en un condensador.

Capitulo

8

7.7 Energía almace-

ECUACION DE LAPLACE

.

96

8.1 Introducción 8.2 Ecuaciones de Poisson y de Laplace 8.3 Formas explicitas de la ecuación de Laplace 8.4 Teorema de la unicidad 8.5 Teoremas del valor medio y del valor máximo 8.6 Soluciones cartesianas en una variable 8.7 Solución del producto cartesiano 8.8 Solución del producto cilíndrico 8.9 Solución del producto esférico

Capítulo

9

LEY DE AMPERE Y EL CAMPO MAGNETICO

113

9.1 Introducción 9.2 Ley de Biot-Savart 9.3 Ley de Ampere 9.4 Rotacional 9.5 Densidad de corriente J y V x H 9.6 Densidad de flujo magnético B 9.7 Potencial vectorial magnético A 9.8 Teorema de Stokes

Capítulo 10

FUERZAS Y TORQUES EN LOS CAMPOS MAGNETICOS

.

128

10.1 Fuerza magnética sobre las partículas 10.2 Campos eléctricos y magnéticos combinados 10.3 Fuerza magnética sobre un elemento de corriente 10.4 Trabajo y potencia 10.5 Torque 10.6 Momento magnético de una bobina planar

Capítulo 11

INDUCTANCIA

Y CIRCUITOS MAGNETICOS

.

140

11.1 Voltaje de autoinducción 11.2 Inductores e inductancia 11.3 Formas estándar 11.4 Inductancia interna 11.5 Circuitos magnéticos 11.6 Alinealidad de la curva B-H 11.7 Ley de Ampere para circuitos magnéticos 11.8 Núcleos con espacios de aire 11.9 Bobinas múltiples 11.10 Circuitos magnéticos paralelos

Capitulo 12

CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO

Y FEM INDUCIDA

.

160

12.1 Corriente de desplazamiento 12.2 Razón entre le y ID 12.3 Ley de Faraday 12.4 Conductores en movimiento a través de campos independientes del tiempo 12.5 Conductores en movimiento a través de campos dependientes del tiempo

Capitulo 13

ECUACION DE MAXWELL Y CONDICIONES LIMITES 13.1 Introducción laminar en el límite

Capitulo 14

.

172

13.2 Relaciones límites para campos magnéticos 13.3 Corriente 13.4 Resumen de las condiciones límites 13.? Ecuacionesde Maxwell

ONDAS ELECTROMAGNETICAS

.

181

14.1 Introducción 14.2 Ecuaciones de onda 14.3 Soluciones en coordenadas cartesianas 14.4 Soluciones para medios parcialmente conductores 14.5 Soluciones para dieléctrico perfectos 14.6 Soluciones para buenos conductores 14.7 Profundidad de penetración 14.8 Ondas reflejadas 14.9 Ondas estacionarias 14.10 Potencia y vector de Poynting

APENDICE INDICE

197

AEP

199 AEP

1

Capítulo

Análisis vectorial 1.1

NOT ACION VECTORIAL

Para distinguir (cantidades que tienen magnitud y dirección) de (cantidades que tienen solo magnitud) los vectores se denotan con símbolos en negrilla. Un de valor absoluto (o magnitud o dimensión) 1, se indica siempre en este libro, por una letra minúscula en negrilla a. El vector unidad que tiene la dirección del vector A se determina dividiendo A por su valor absoluto:

A

aA

=

,A o

IAI

IAI

=A=~ (ver sección 1.2). donde Mediante los vectores unidad a ,; ay y a , a lo largo de los ejes cartesianas, un vector cualquiera puede ser escrito en de A 1.2

ALGEBRA l.

= A"a" +

de un sistema de coordenadas

+

VECTORIAL

Los vectores pueden sumarse y restarse:

A

a" +

B=

+

+

+ 2.

y

Las leyes asociativa,

distributiva

+

)

+

y conmutativa

se aplican

A + (B + C) = (A + B) +

e

A+B=B+A 3.

El

de dos vectores es, por definición, A- B

=

cos 8

(léase "A punto B")

donde 8 es el ángulo menor entre A y B. Con la representación

A -B En particular, 4.

A-A=

El nición, A x B

=

+

de componentes

se puede demostrar

que

+ "

y

z

de dos vectores es, por defi-

=

sen 8}a"

(léase" A cruz B")

donde 8 es el ángulo menor entre A y B Ya n es un vector unidad normal al plano determinado por A y B cuando estos parten de ' un punto común. Existen dos vectores normales a este plano, así que se necesita determinar uno para mayor claridad. El vector normal que se selecciona es aquél que avanza en la misma dirección de un tornillo de rosca derecha cuando A es

Fig. 1-1

AEP AEP AEP AEP

ANALISlS VECTORIAL

2

rotado hacia B(figura 1-1). Debido a este requisito de dirección.la ducto vectorial. En cambio, se cumple que

[CAP. 1

ley conmutativa

no se cumple para el pro-

AxB=-BxA Desarrollando

el producto

vectorial en forma de componentes,

A x B = (Axax

+

B, -

=

lo que se expresa convenientemente

+ Aza.) +(

x (Bxax

- A~ .

Bx}az

aya.

ax

SISTEMAS

+ B.a.) +( -

como un determinante:

A x B

1.3

+

tenemos

=

s,

s,

DE COORDENADAS

U n problema que tenga simetría esférica o cilíndrica puede ex presarse y resolverse en el sistema familiar de coordenadas cartesianas. Sin embargo, la solución no mostrará la simetría y, en muchos casos, será innecesariamente compleja. Por consiguiente, a lo largo de este libro, además de los sistemas de coordenadas cartesianas, se usarán los sistemas de coordenadas esféricas y circular cilíndricas. Todas las tres serán analizadas conjuntamente para ilustrar las similitudes y las diferencias. z

z

r P(r, q¡, z)

~ P(x,y,z) I

Iz

iz I I / I . /

_._-_._--

(a)

1//

8 J, P(r, 8, 4»

I

k---+-----y

•

//

I I

.x-'--;,---•... y /

I

I

X

4>

(b)

Cartesianas

Cilíndricas

'J

(e) Esféricas

Fig.I-2

Un punto queda determinado por tres coordenadas en cartesiano (x, )', z), en circular cilíndrico (r, cp, z) y en esférico (r, O, ), tal como se muestra en la figura 1- 2. El orden de especificación de las coordenadas es importante y debe seguirse cuidadosamente. El ángulo ifJ es el mismo en los sistemas esférico y cilíndrico. Pero, en el orden de las coordenadas, ifJ aparece en segundo lugar en el cilíndrico tr, cP, z) y en tercer lugar en esférico, (r, O, cP). El mismo símbolo, r, se usa en los sistemas cilíndrico y esférico para significar dos z

z

z , = const.

8 =

const.

z = const.

I----+-

I----y

/----+-

= const,

4> = consto

AEP AEP

4> = const. (a) Cartesiano

(b)

Cilíndrico

Fig. 1-3

(e) Esférico

AEP AEP

CAP. 1]

ANALISIS

VECTORIAL

3

cosas completamente diferentes. En coordenadas cilíndricas mide la distancia desde el eje hasta el punto en un plano normal al eje mientras que en el sistema esférico, mide la distancia del origen al punto. El contexto del problema debe aclarar a cuál se hace referencia. La intersección de 3 superficies ortogonales determina también un punto, tal como se muestra en la figura 1-3. En coordenadas cartesianas las superficies son los planos = constante, = constante y = constante. En coordenadas cilíndricas, z = constante, es el mismo plano infinito que en las coordenadas cartesianas, = constante es medio plano con su borde a lo largo del eje y = constante es un cilindro recto circular. Estas tres superficies son ortogonales y su intersección se localiza en el punto . En coordenadas esféricas.ó = constante es el mismo medio plano que aparece en las coordenadas cilíndricas, =constante es una esfera con centro en el origen y O es un cilindro circular recto cuyo eje es el eje z y cuyo vértice está en el n. origen. Obsérvese que O está limitado al rango O::; O z

z

z

3

}-----+-y

-

}-----+-y

(b)

(a) Cartesiano

(e)

Cilíndrico

Esférico

Fig. 1-4

La figura 1-4 muestra los tres vectores unidad en el punto P. En el sistema cartesiano los vectores unidad. tienen direcciones fijas, independiente de la localización de P. Esto no sucede en los otros dos sistemas (excepto en el caso de a.). Cada vector unidad es normal a las superficies de coordenadas y tiene la dirección de incremento de esas coordenadas. Obsérvese que todos los sistemas son de mano derecha:

Las formas de componentes

de un vector en los tres sistemas son:

A = A = Arar A

+ + Azaz + A",a", + Azaz

(cartesiano) (cilíndrico)

= Arar + o o + A",a",

(esférico)

Debe notarse que los componentes etc., no son generalmente funciones de las coordenadas en el sistema particular.

1.4

VOLUMEN,

SUPERFICIE

Y ELEMENTOS

DIFERENCIALES

constantes

sino a menudo

DE LINEA

) ó , , ó Cuando las coordenadas del punto se desarrollan en (x + + se forma un volumen diferencial . En cantidades infinitesimales de primer orden el volumen diferencial es, en los tres sistemas coordenadas, una caja rectangular. El valor de d en cada sistema aparece en la figura 1-5. En la figura 1-5 pueden también verse las áreas de los elementos de superficie que limitan el volumen diferencial. Por ejemplo, en coordenadas esféricas, el elemento diferencial de superficie perpendicular a a, es (r

+ dr, O + de,

AEP AEP

=

dO senO

=

2

senO dO

AEP AEP

ANALISIS VECTORIAL

4

[CAP. 1

.

z

~------------~

y

=

=,2 sen O

do

(b) Cilíndrico

(a) Cartesiano

dñ

( e) Esférico

Fig. 1-5 El elemento

diferencial

dt2 dt2 dt2

1.5

CAMPOS

de línea, di. es la diagonal

= 2 + = 2 + r2 = 2 + r2

+ 2 + 2 + r2sen

a través de P, por lo que (cartesiano) (cilíndrico)

2 ()

(esférico)

VECTORIALES

Las expresiones vectoriales en electro magnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficientes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de punto a punto, a través de la región de interés. Considere por ejemplo, el vector

E = -xax

+ yay

Dando diferentes valores a y a se obtiene E en varios puntos. Después que varios puntos han sido examinados, el patrón resulta evidente. La figura 1-6 muestra este campo. Además, un campo vectorial puede variar con el tiempo. De esta manera al campo bidimensional examinado puede agregársele una variación temporal mediante la expresión E

=

(-xax

----------~==~------+_------~~-----------

+ yay)senwt

ó

Los campos magnéticos y eléctricos de los capítulos posteriores variarán todos con el tiempo. Como es de esperarse, serán diferenciados o integrados respecto del tiempo. Sin embargo, ambas operaciones tendrán un curso natural y muy raramente causarán gran dificultad.

AEPAEP Fig.l-6

AEP

\

AEP

1.6

5

ANALISIS VECTORIAL

CAP. 1]

TRANSFORMACIONES

El vector o el campo vectorial de un problema particular existe en el mundo real y, por tanto, el sistema de coordenadas que se emplea para expresarlo es únicamente un marco de referencia. Una buena elección del sistema de coordenadas puede llevar a menudo a una solución más directa del problema y a una expresión final más concisa. que muestre la simetría que esté presente. Sin embargo, es necesario a veces transformar un campo vectorial, de un sistema a otro.

EJEMPLO 1:

Considérese

= 51"11p + 2senq,a, + 2oos8a. , 8. q, pueden expresarse en un sistema A

en ...