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Elektrotechnik - Ausführliche Zusammenfassung WiSe 2018/2019...

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Elektrotechnik I Zusammenfassung Vom 21.02.2019 B.M. Alle Angaben ohne Gewähr- bei Fehlern freue ich mich über Hinweise

Inhalt Grundgrößen der ET ................................................................................................................................ 2 Der elektrische Widerstand ................................................................................................................. 2 Linearer temperaturabhängiger Widerstand .................................................................................. 2 Das ohmsche Gesetz ............................................................................................................................... 2 Richtungssinn von Spannung und Strom ................................................................................................. 3 Richtungssinn von Strom und Spannung der einzelnen Bauteile ....................................................... 3 Die Kirschhoffschen Gesetze ................................................................................................................... 3 Netzwerkberechnung .............................................................................................................................. 4 Zusammenfassen von Widerständen .................................................................................................. 4 Stern-Dreieck-Transformation ........................................................................................................ 5 Netzwerkanalyse mit Kirschhoff’schen Gleichungssystem ..................................................................... 5 Stromteiler........................................................................................................................................... 6 Beispiel mehrfacher Stromteiler ..................................................................................................... 6 Spannungsteiler ................................................................................................................................... 7 Beispiel mehrfacher Spannungsteiler ............................................................................................. 7 Anmerkung zum Strom- bzw. Spannungsteiler ............................................................................... 8 Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz) ........................................................................................ 8 Lösungsalgorithmus ......................................................................................................................... 8 Zweipolersatzschaltung ........................................................................................................................... 9 Wirkungsgrad und Leistung im Zweipol .............................................................................................. 9 Beispiel ............................................................................................................................................ 9 Maschenstromverfahren ................................................................................................................... 12 Knotenspannungsverfahren .............................................................................................................. 13

Grundgrößen der ET Elektrische Ladung Q (Die Grundgröße der ET)

Elektrische Spannung U (Potenzialdifferenz zw. zwei Punkten) −19 𝑄=𝑛∗𝑒 𝑒 = 1,602 ∗ 10 𝐶 𝑊 𝑈= 𝑄 [𝑄] = 1𝐴𝑠 = 1𝐶 1𝑊𝑠 𝑊 [𝑈] = =1 = 1𝑉 1𝐴𝑠 𝐴

Elektrische Energie (Arbeit) W

𝑊=𝑄∗𝑈 𝑊=𝑈∗𝐼∗𝑡 [𝑊] = 1𝑊𝑠 = 1𝐽 = 1𝑁𝑚 Bei bekannten 𝑃(𝑡) = 𝑈 ∗ 𝐼 𝑊(𝑡) = 𝑊(𝑡𝑜) + ∫ 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡

Elektrische Strom I

Elektrische Leistung P

𝑑𝑄

𝑑𝑊

𝐼=

𝑃=

𝑑𝑡 1𝐴𝑠 [𝐼] = = 1𝐴 1𝑠 Ampere [A] ist die Basiseinheit der ET

Hinweis die Lösungen sollten immer einer Plausibilitätskontrolle unterzogen werden. Das heißt: Stimmen die Einheiten und Größenordnungen?

𝑑𝑡 1𝑊𝑠 [𝑃] = = 1𝑊 1𝑠

𝑄 𝑷=𝑰∗𝑼=

𝑄∗𝑈 ∗𝑈=

𝑡

𝑊 =

𝑡

𝑡

Der elektrische Widerstand 𝜌∗𝑙

Elektrischer Widerstand R [𝑅] = 1Ω

𝑅= 𝐴

Elektrischer Leitwert 𝐺 𝑅

[𝐺] = 1𝑆

𝐴 𝐺 𝜌 𝑙

Linearer temperaturabhängiger Widerstand 𝑅𝑛𝑒𝑢 = 𝑅𝑎𝑙𝑡 ∗ (1 + (𝛼 ∗ (𝜗𝑛𝑒𝑢 − 𝜗𝑎𝑙𝑡)))

𝑙 = 𝜅∗𝐴 𝜅∗𝐴 𝑙

𝜌 … 𝑆𝑡𝑜𝑓𝑓𝑎𝑏ℎä𝑛𝑔𝑖𝑔𝑒 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

Das ohmsche Gesetz Per Definition:𝑈~𝐼 𝑈=𝑅∗𝐼

𝑈

𝑈

𝑅= 𝐼 𝑈 𝐼

𝐺 𝐼 𝑈=

𝐼=

𝑅

𝐼=𝐺∗𝑈

𝐺=

Richtungssinn von Spannung und Strom Allgemein (Richtungssinn): Wenn Spannung von + nach – abfällt, fließt Strom von – nach +

Strom- und Spannungsquellentransformation

Allgemein (Bezugssinn): Wenn Stromrichtung von mehreren Spannungsquellen abhängt, kann der Bezug beliebig gewählt werden Bei Maschenstrom- und Knotenspannungsanalyse mit mehreren Quellen

Strom und Spannungsrichtung nach Ohm’schen Gesetz gleich wählen

Richtungssinn von Strom und Spannung der einzelnen Bauteile Eine Spannungsquelle ist ein Erzeuger. Das heißt, dass Strom und Spannung in unterschiedliche Richtungen gehen. 𝑃 = −𝐼 ∗ 𝑈 = −𝑃 → 𝐸𝑟𝑧𝑒𝑢𝑔𝑒𝑟

Eine Stromquelle ist ein Erzeuger. Das heißt, dass Strom und Spannung in unterschiedliche Richtungen gehen.

𝑃 = 𝐼 ∗ −𝑈 = −𝑃 → 𝐸𝑟𝑧𝑒𝑢𝑔𝑒𝑟

Ein Wiederstand (allgemein für ein Verbraucher z.B. eine Glühlampe) fließt Strom und Spannung in die gleiche Richtung. 𝑃 = 𝐼 ∗ 𝑈 = +𝑃 → 𝑉𝑒𝑟𝑏𝑟𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒𝑟

Knotensatz

Maschensatz

∑ 𝑰𝒏 = 𝟎

∑ 𝑼𝒏 = 𝟎

Die Kirschhoffschen Gesetze

𝒏

𝒏

Die Summe aller auf einen Knoten bzw. einen als Knoten def. Bereich zufließenden oder von ihm abfließenden Ströme ist gleich 0

Bei einem Umlauf in einer Masche ist die Summe aller Spannungen entsprechend ihres Richtungssinnes gleich 0

Aus dem Beispiel gilt; 𝐾𝑛𝑜𝑡𝑒𝑛 𝐼 ∶ 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 0 𝐾𝑛𝑜𝑡𝑒𝑛 𝐼𝐼 ∶ 𝐼3 + 𝐼5 − 𝐼4 = 0 𝐾𝑛𝑜𝑡𝑒𝑛 𝐼𝐼𝐼 ∶ 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼5 − 𝐼4 = 0

Aus dem Beispiel gilt: 𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐼: − 𝑈1 + 𝑈2 − 𝑈6 − 𝑈3 − 𝑈4 = 0 𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐼𝐼: 𝑈3 − 𝑈5 = 0 𝑀𝑎𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐼𝐼𝐼: 𝑈6 + 𝑈7 − 𝑈𝑞 + 𝑈5 = 0

Netzwerkberechnung Zusammenfassen von Widerständen Allgemein ist es immer ratsam, Widerstände (und Quellen (nur wenn du dir sicher bist, sonst Superposition!)) die keine eine gesuchte Größe enthalten zusammen zu fassen. In Reihe geschaltete Widerstände Parallel zu einander geschaltete Widerstände

𝑹= 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 1

1 1 = + 𝐺 𝐺1 𝐺2

𝑹𝟏∗𝑹𝟐 𝑹= =𝑹𝟏 ∥𝑹𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝐺 = 𝐺1 + 𝐺2

Stern-Dreieck-Transformation Gegeben: Dreieck (häufig)

Gegeben: Stern

Gesuchte Widerstände 𝑅 12∗ 𝑅 13 𝑅1 = 𝑅12 + 𝑅23 + 𝑅13 𝑅 ∗𝑅 𝑅2 = 12 23

Gesuchte Widerstände

𝑅12 + 𝑅13

𝑅1 ∗ 𝑅2 𝑅 3

𝑅1 ∗ 𝑅3 𝑅23 +

𝑅 Jeder Sternwiderstand ergibt sich aus dem Produkt der beiden jeweils anliegenden Dreieckwiderstände, dividiert durch den Umfangswiderstand des Dreiecks

𝑅 𝑅 𝑅23 = 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅1 Jeder Dreieckwiderstand ergibt sich aus der Summe der dazwischenliegenden Widerstände addiert mit deren Produkt durch den dritten Widerstand

Netzwerkanalyse mit Kirschhoffschen Gleichungssystem Geht immer! Nur leider sehr aufwendig

1. Schritt: Zweige und Knoten definieren

2. Schritt: Anzahl der unabhängigen Gleichungen

Gegeben ist folgendes Netzwerk. Bei der Netzwerkanalyse empfiehlt es sich, Strom und Spannung über einen Widerstand Richtungsgleich zu definieren. Somit fallen die Spannungen im Beispiel in Richtung der Strompfeile ab. Knoten (k): Verbindungen von mindestens 3 Zweigen mit einem Bauelement. (Verbindung von Knoten mit einem Zweig ohne Bauelement ist hier als ein Knoten zu betrachten.) Zweige (z): Verbindungen zwischen Knoten mit einem Bauelement. Anzahl d. Knotengleichungen: r= 𝑘 − 1 Anzahl d. Maschengleichungen: 𝑠 = 𝑧 − 𝑟 𝑟=3−1=2 𝑠=5−2=3

KGI: 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 − 𝐼4 = 0 KGII: 𝐼3 − 𝐼5 − 𝐼1 = 0 (KGIII): liefert keine neuen Informationen MG1: 𝑅1 ∗ 𝐼1 + 𝑅3 ∗ 𝐼3 − 𝑈𝑞1 = 0 3.

MG2: 𝑅4 ∗ 𝐼4 − 𝑅5 ∗ 𝐼5 − 𝑅3 ∗ 𝐼3 = 0 MG3: 𝑈𝑞2 − 𝑅4 ∗ 𝐼4 − 𝑅2 ∗ 𝐼2 = 0

Schritt: unabhängige Gleichungen aufstellen Matrix aufstellen 𝑈

0) Problem Mischmatrix aus 2 Stromgleichungen und 3 Spannungsgleichungen

𝑅 𝐼 𝑈 Obere Gleichungen mit Widerstand multiplizieren (z.B. 𝑅1) 𝑅 𝑅

𝑈

0)

Stromteiler 𝐺𝑒𝑠𝑢𝑐 ℎ𝑡𝑒𝑟 𝑍𝑤𝑒𝑖𝑔𝑠𝑡𝑟𝑜𝑚 𝐼𝑧 𝐼𝑧 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒𝑛 𝑍𝑤𝑒𝑖𝑔𝑠𝑡𝑟𝑜𝑚𝑒𝑠 𝑅 𝑅𝑛𝑖𝑐 ℎ 𝑡 𝑧 = = = 𝑆𝑡𝑟𝑜𝑚 𝑣𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑚 𝐼 𝑎𝑏𝑧𝑤𝑒𝑖𝑔𝑡 𝐼 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑟 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡ä𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑢𝑟𝑐ℎ 𝑑𝑖𝑒 𝐼 𝑓𝑙𝑖𝑒 ß𝑡 𝑅

Mit Hilfe des Ohm’schen Gesetzes kann auch mit dem Stromteiler eine gesuchte Spannung U berechnet werden.

Beispiel mehrfacher Stromteiler Geg.: 𝑅1,𝑅2,𝑅3, 𝑅4,𝑅5 𝑢𝑛𝑑 𝐼𝑞 Ges.:𝐼4

𝐼

Lösung

𝐼 𝑅 𝑢𝑛𝑑

𝑅 𝐼𝑞

𝑅 𝐼

𝑅 𝐼

𝑅

Spannungsteiler 𝑇𝑒𝑖𝑙𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑣𝑜𝑛 𝑈 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 ü𝑏𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑒 𝑇𝑒𝑖𝑙𝑠𝑎𝑝𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑎𝑏𝑓 ä𝑙𝑙𝑡 𝑅𝑇 = = 𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑠𝑝𝑎𝑛𝑛𝑢𝑛𝑔 𝑈 𝑆𝑢𝑚𝑚𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟 𝑊𝑖𝑑𝑒𝑟𝑠𝑡ä𝑛𝑑𝑒 ü𝑏𝑒𝑟 𝑑𝑖𝑒 𝑈 𝑎𝑏𝑓ä𝑙𝑙𝑡 𝑅𝑔

Mit Hilfe der Ohm’schen Gesetze kann auch mit dem Spannungsteiler ein gesuchter Strom I berechnet werden.

𝐼𝑞

Beispiel mehrfacher Spannungsteiler Geg.: 𝑅1, 𝑅2,𝑅3,𝑅4, 𝑅5 𝑢𝑛𝑑 𝑈𝑞 Ges.: 𝑈4

Lösung:

𝑈 𝑈

𝑈 (𝑅3 + 𝑅4 ∥ 𝑅5 ) ∥ 𝑅2 𝑈2 𝑢𝑛𝑑 = 𝑅 𝑈𝑞 𝑅1 + ((𝑅 3 + 𝑅4 ∥ 𝑅 5) ∥ 𝑅2 ) ∥ 𝑅 (𝑅 4 5 3 + 𝑅4 ∥ 𝑅5 ) ∥ 𝑅2 𝑈4 = ∗ ∗ 𝑈𝑞 𝑅3 + 𝑅4 ∥ 𝑅5 𝑅1 + (( 𝑅3 + 𝑅4 ∥ 𝑅5 ) ∥ 𝑅2 ) 𝑅 𝑅

𝑅

Anmerkung zum Strom- bzw. Spannungsteiler Mehrfache Strom- bzw. Spannungsteiler können immer wieder auf das Basismodel des Strom- bzw. Spannungsteilers (siehe Schaltungen oben) zurückgeführt werden.

Sonderfall: Die Weedstone’sche Spannungsbrücke (haha ha..) Gegeben ist folgendes Netzwerk. Die Spannung zwischen den Klemmen A und B ist gleich null. Manchmal steht da auch, dass das Voltmeter (grau) 0V anzeigt. Daraus folgt, dass zwischen den Klemmen A und B auch kein Strom fließt. Wenn 𝑈𝐴𝐵 = 0, dann gilt: 𝑅11 𝑅21 𝑅 12 = 22 𝑅 d.h. wenn die drei Widerstände gegeben sind und einer gesucht ist, kann dieser (Vorausgesetzt 𝑈𝐴𝐵 = 0 → 𝐼𝐴𝐵 = 0) durch umstellen der Gleichung berechnet werden

Allgemein gilt: (oberen Maschensatz aufstellen und Spannungsteiler für 𝑈11

𝑈21

𝑢𝑛𝑑 𝑈𝐶𝐷

aufstellen.) 𝑈𝐶𝐷

Hinweis: In der Klausur sind Widerstände vor das ganze System geschaltet (Spannung 𝑈𝐶𝐷 muss dann noch mit einem Spannungsteiler berechnet werden oder die einzelnen Widerstände sind temperaturabhängig) 𝑅21 𝑅11 𝑈𝐴𝐵 = (

− ) ∗ 𝑈𝐶𝐷

Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz) Gibt es mehrere Spannungs- und Stromquellen in einem Netzwerk, so wird deren Wirkung separat betrachtet und am Ende werden die einzelnen Wirkungen vorzeichenrichtig zu einer Gesamtwirkung addiert. Dabei gilt es zu beachten, dass Spannungsquellen durch einen Kurzschluss und Stromquellen durch einen Leerlauf ersetzt werden. Gilt nicht immer bei gesteuerten Quellen! Stromquelle durch Leerlauf ersetzen Spannungsquelle durch Kurzschluss ersetzen

Lösungsalgorithmus 1.

Quelle Q auswählen

2.

Andere Quellen deaktivieren (siehe Oben)

3.

Teilwirkung, die durch die Quelle verursacht werden, berechnen

4.

Wiederholen bis alle Quellen erfasst sind

5.

Teilwirkungen vorzeichenrichtig addieren

Zweipolersatzschaltung Wirkungsgrad und Leistung im Zweipol Ziel: Der Wirkungsgrad 𝜂 am Widerstand 𝑅1 soll möglichst hoch sein.

𝑅

𝜂=

1

 𝑅𝑖 ≪ 𝑅1

𝑅𝑖+𝑅1 Dann muss 𝑅𝑖 sehr klein im Vergleich zu 𝑅1 sein Ziel: Leistung in 𝑅1 (Verbraucher (PZP)) soll möglichst hoch sein. 𝑅

𝑅 1 = 𝑅𝑖  𝜂 = 𝑅 0,5 Voraussetzung: Ziel:

Methode:

𝑖+1𝑅1

=

Zweipoltheorie Ermittlung von Strom und Spannung ausgewählter Elemente in einem Netzwerk Zerteilen eines komplexen linearen Netzwerkes in einen Grundstromkreis mit einer realen Quelle (Aktiver-Zweipol) und einem Lastwiderstand (PassiverZweipol) an zwei ausgewählten Punkten

Beispiel Geg.: 𝑅1 = 114 Ω; 𝑅2 = 82 Ω; 𝑅3 = 235 Ω; 𝑈𝑞1 = 69,2 𝑉; 𝐼𝑞2 = 4,0 𝐴; 𝑈𝑞3 = 24,0 𝑉 Ges.: 𝐼1; 𝑈1

Lösung mit Hilfe der Zweipolersatzschaltung 1.Schritt Bauteil mit gesuchten Größen freischneiden

Das Bauelement auswählen, über das die gesuchte Spannung und durch das der gesuchte Strom fließt. (Hinweis: daher eignet sich diese Methode nur, wenn Spannung und Strom von einem Bauelement gesucht sind, sonst ist das Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz) die bessere (schnellere) Wahl.

2. Schritt Grundstromkreis aufstellen

3. Schritt 𝑅𝑖 𝑢𝑛𝑑 𝐼𝑞 𝑏𝑧𝑤. 𝑈𝑞 aufstellen

3.a. Widerstand 𝑅𝑖 berechnen Allgemein: Alle Strom- und Spannungsquellen gleich null setzten (Stromquellen durch Kurzschluss und Spannungsquellen durch Leerlauf ersetzt) und Widerstand berechnen. 3.b. Spannungsquelle 𝑼𝑳 Entspricht der über die Klemmen A und B abfallenden Leerlaufsspannung. 3.c. Stromquelle 𝑰𝑲 Entspricht dem Kurzschlussstrom zwischen den Klemmen A und B. Es ist jedoch auch möglich, dass man die Schaltung soweit vereinfacht, bis nur noch eine Stromoder Spannungsquelle und ein Widerstand vorhanden sind. Reihenschaltung Parallelschaltung

𝑈𝐿 = 𝑈𝐴𝐵 = ∑𝑈𝑞 = 𝑈𝑞1 + 𝑈𝑞2 + ⋯ + 𝑈𝑞𝑛 𝑅𝑒𝑟𝑠 = 𝑅𝐴𝐵 = ∑ 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝑈𝐴𝐵 𝐼𝐾 =

𝐼𝐾 = ∑ 𝐼𝑞 = 𝐼𝑞1 + 𝐼𝑞2 + ⋯ + 𝐼𝑞𝑛 𝐺𝑒𝑟𝑠 1

𝑈𝑞𝑛 𝑏𝑧𝑤.

𝑅𝐴𝐵 𝑅𝑛 𝑃𝑎 → 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎𝑙

2

𝐼𝐾 𝑈𝐿 = 𝐼𝐾 ∗ 𝑅𝐴𝐵 = 𝐺𝑒𝑟𝑠 𝑹𝟏 = 𝑹𝒊

Anmerkung: Sollten eine Spannungsquelle und eine Stromquelle in Reihe zu einander liegen, bietet es sich an in den Spannungsquellen-Modus zu wechseln d.h. dass die Stromquelle mit 𝑈 = 𝐼𝑄𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 ∗ 𝑅𝑄𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 zu einer Spannungsquelle gemacht wird, um dann die oben genannten Gesetzmäßigkeiten auszunutzen. Analog bietet es sich bei Parallelschaltung an in den StromquellenModus zu wechseln d.h. dass die Spannungsquelle zu einer Stromquelle wird. Beispiel: Es bietet sich an, parallel liegende Quellen als eine Stromquelle zusammen zu fassen und in Reihe geschaltete Quellen zu einer Spannungsquelle zusammenzufassen. Hier würde eine Zusammenfassung der Quellen 𝑈𝑞3 und 𝐼𝑞2 zu einer Stromquelle Sinn ergeben. Dafür muss die Spannungsquelle in eine Stromquelle transformiert werden

Hier ist besonders auf die Richtung des Stromes zu achten die durch die Spannung vorgegeben ist.

Parallel liegende Stromquellen werden durch Addition zu einer Stromquelle 𝐼𝑁 zusammengefasst. Der parallel zu 𝐼𝑁 liegende Widerstand 𝑅𝑁 wird durch die Zusammenfassung paralleler Widerstände gebildet.

Hier bietet es sich an die sich in Reihe befindlichen Quellen zu einer Spannungsquelle zusammen zu fassen.

Die Spannungsquellen durch Addition zusammenfassen und der Grundstromkreis ist erschaffen.

𝑈𝑞3 𝑈𝑔𝑒𝑠 = − ( 𝑅3 𝑈𝑔𝑒𝑠

𝑅3 ∗ 𝑅2 + 𝐼𝑞2) ∗

+ 𝑈𝑞1

𝑈𝑔𝑒𝑠 = −180,16𝑉 𝑅𝑁 = 60,8 Ω

𝑅3 + 𝑅2 𝑈𝑔𝑒𝑠

𝐼1 = 𝑢𝑛𝑑 𝑈1 = 𝑅1 ∗ 𝐼1 = 𝑅1 ∗ 𝑅1 + 𝑅𝑛 𝑅1 + 𝑅𝑛

𝐼1 = −1,031 𝐴 𝑈1 = −117,496 𝑉

Maschenstromverfahren

Gleichwertiges Netzwerk mit 𝑅𝑁 = 𝑅3 + 𝑅1 + 𝑅5 und 𝑈𝑞 = 𝐼𝑞1 ∗ 𝑅𝑁

Maschenströme: • Unverzweigt geschlossene Strompfade • Jedes Bauelement muss mindestens von einem Maschenstrom durchflossen sein • Aufgestellte Gleichungen sind Spannungsgleichungen • (𝑅 ∗ 𝐼 = 𝑈) Regeln: 1. Stromquellen sind Maschenströme (oder müssen zu Spannungsquellen transformiert werden) 2. Maschenströme können nicht durch Stromquellen fließen 3. Maschenströme können in beliebige Richtungen definiert werden. Ein Richtungssinn aller bietet sich allerdings an.

MS1:−𝑈𝑞1 + 𝑅𝑁 ∗ 𝐼𝐼𝐼 + 𝑅4 ∗ (𝐼𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼𝐼) + 𝑈𝑞2 = 0 MS2:𝑅2 ∗ 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝑈𝑞3 − 𝑈𝑞2+𝑅4 ∗ (𝐼𝐼𝐼𝐼 − 𝐼𝐼𝐼) = 0 +𝑅𝑁 + 𝑅4 −𝑅4 𝐼𝐼𝐼 +𝑈𝑞1−𝑈𝑞2 In Matrix einsetzen: ( )Ω∗( )= −𝑅4 +𝑅2 + 𝑅4 𝐼𝐼𝐼𝐼 +𝑈𝑞2 − 𝑈𝑞3 Lösung: 𝐼𝑁 = 𝐼𝐼𝐼; 𝐼2 = −𝐼𝐼𝐼𝐼; 𝐼𝑁 + 𝐼2 = 𝐼4

Knotenspannungsverfahren Knotenspannung: • Knotenspannung zwischen Knoten und Bezugspotenzial • Jedes Bauelement muss zwischen zwei Knoten liegen Über jedes Bauelement muss eine Knotenspannung abfallen • Aufgestellte Gleichungen sind Stromgleichungen • (𝐺 ∗ 𝑈 = 𝐼)

Knoten definieren

𝐺 1 +𝐺 2 + 𝐺 4 −𝐺

Matrix bilden: (

4

0 Lösung:

P owered by TCP DF (w ww.tcpdf. org)

−𝐺4

Regeln: • Als Bezugsknoten möglichst den Knoten wählen, der mit den meisten Bauelementen verbunden ist • Spannungsquellen werden zu Stromquellen transformiert. Ist das nicht möglich, so Bilden Spannungsquellen eine eigene Knotenspannung • Ströme die auf den Knoten fließen sind negativ (beim Umstellen auf der anderen Seite positiv 0 −𝐺2 𝑈𝐴0 𝐼𝑞1 + 𝐼𝑞2

𝐺4 + 𝐺5 + 𝐺6

−𝐺6

−𝐺6

𝐺3 + 𝐺6+𝐺7

0 −𝐺7

) ∗ (𝑈𝐵𝑜) = (

𝐼𝑞03

𝑈𝐶0

−𝐺2 0 −𝐺7 𝐺7 + 𝐺8+𝐺2 𝑈𝐷0 Spannung über die Widerstände entsprechen der Knotenspannung

−𝐼𝑞2

)...